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1. 下列等式中，$y$是$x$的反比例函数的是（
A.$\frac{y}{x}=-1$
B.$y-1=3x$
C.$xy=12$
D.$y=\frac{3}{x+1}$
C
）A.$\frac{y}{x}=-1$
B.$y-1=3x$
C.$xy=12$
D.$y=\frac{3}{x+1}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断y是否是x的反比例函数，首先要明确反比例函数的核心定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式。解题时先将每个选项的解析式变形，再对照定义逐一排查即可：首先排除不符合反比例形式的一次函数、正比例函数，再注意自变量只能是单独的$x$，不能带有加减项，最终选出正确选项。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，可变形为$xy=k$（$k≠0$）的形式。
对各选项逐一分析：
选项A：将$\frac{y}{x}=-1$变形得$y=-x$，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项B：将$y-1=3x$变形得$y=3x+1$，属于一次函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项C：将$xy=12$变形得$y=\frac{12}{x}$，满足$k=12≠0$，符合反比例函数的定义，当选；
选项D：$y=\frac{3}{x+1}$的分母为$x+1$，即$y$是$x+1$的反比例函数，不是$x$的反比例函数，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题关键是熟练掌握反比例函数的三种表达形式，判断时要注意自变量是单独的$x$，不要误将分母含$x$加减项的函数当成$x$的反比例函数。
【难度系数】
0.8
要判断y是否是x的反比例函数，首先要明确反比例函数的核心定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式。解题时先将每个选项的解析式变形，再对照定义逐一排查即可：首先排除不符合反比例形式的一次函数、正比例函数，再注意自变量只能是单独的$x$，不能带有加减项，最终选出正确选项。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，可变形为$xy=k$（$k≠0$）的形式。
对各选项逐一分析：
选项A：将$\frac{y}{x}=-1$变形得$y=-x$，属于正比例函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项B：将$y-1=3x$变形得$y=3x+1$，属于一次函数，不符合反比例函数定义，排除；
选项C：将$xy=12$变形得$y=\frac{12}{x}$，满足$k=12≠0$，符合反比例函数的定义，当选；
选项D：$y=\frac{3}{x+1}$的分母为$x+1$，即$y$是$x+1$的反比例函数，不是$x$的反比例函数，排除。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义
【点评】
本题是反比例函数概念的基础考查题，解题关键是熟练掌握反比例函数的三种表达形式，判断时要注意自变量是单独的$x$，不要误将分母含$x$加减项的函数当成$x$的反比例函数。
【难度系数】
0.8
2. y与x-2成反比例，则x的取值范围是（
A.x＞-2
B.x＜2
C.x≠2
D.x≠-2
C
）A.x＞-2
B.x＜2
C.x≠2
D.x≠-2
答案
2.C 点拨:$\because y$与$x-2$成反比例,$\therefore$设$y=\frac{k}{x-2}(k≠0)$.由分母不等于0,易得$x$的取值范围.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例关系的定义：如果两个量成反比例，那么可以表示为形如$a=\frac{k}{b}$（$k$为常数，且$k≠0$）的形式。本题中y和$x-2$成反比例，可先把$x-2$看作整体作为分母列出表达式，再根据分式有意义的条件（分母不能为0），即可求出x的取值范围。
【解析】
解：$\because y$与$x-2$成反比例，
$\therefore$ 根据反比例的定义，可设解析式为$y=\frac{k}{x-2}$（$k$为常数，且$k≠0$）。
要使该分式有意义，分母不能为0，即：
$x-2≠0$
解得$x≠2$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题，重点考查对反比例关系的理解，解题时要注意将$x-2$作为整体作为反比例的分母，牢记分式分母不为0的要求即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆反比例关系的定义：如果两个量成反比例，那么可以表示为形如$a=\frac{k}{b}$（$k$为常数，且$k≠0$）的形式。本题中y和$x-2$成反比例，可先把$x-2$看作整体作为分母列出表达式，再根据分式有意义的条件（分母不能为0），即可求出x的取值范围。
【解析】
解：$\because y$与$x-2$成反比例，
$\therefore$ 根据反比例的定义，可设解析式为$y=\frac{k}{x-2}$（$k$为常数，且$k≠0$）。
要使该分式有意义，分母不能为0，即：
$x-2≠0$
解得$x≠2$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题，重点考查对反比例关系的理解，解题时要注意将$x-2$作为整体作为反比例的分母，牢记分式分母不为0的要求即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3.下列选项中,变量间成反比例关系的是(
A.圆的面积与半径
B.速度一定时,行驶路程与时间
C.平行四边形面积一定时,它的底与该底上的高
D.人的身高与年龄
C
)A.圆的面积与半径
B.速度一定时,行驶路程与时间
C.平行四边形面积一定时,它的底与该底上的高
D.人的身高与年龄
答案
3.C
解析
【分析】
要判断两个变量是否成反比例关系，首先明确反比例关系的判定标准：若两个相关联的变量的乘积为固定不变的非零常数，则这两个变量成反比例关系。解题时我们先逐个写出每个选项中两个变量的数量关系，再对照反比例、正比例关系的定义逐一判断即可。
【解析】
首先明确：如果两个变量$x$、$y$满足$xy=k$（$k$为非零常数），则$x$与$y$成反比例关系；如果满足$\frac{y}{x}=k$（$k$为非零常数），则成正比例关系。
对各选项逐一分析：
选项A：圆的面积公式为$S=π r^2$，可知$S$与$r^2$成正比例关系，与$r$既不是正比例也不是反比例关系，不符合要求。
选项B：速度$v$一定时，路程$s=vt$，即$\frac{s}{t}=v$（定值），所以行驶路程与时间成正比例关系，不符合要求。
选项C：设平行四边形面积为$S$（定值），底为$a$，对应底上的高为$h$，则$S=ah$，即$ah=S$（定值），符合反比例关系的定义，符合要求。
选项D：人的身高与年龄没有固定的函数对应关系，成年后身高不再随年龄增长变化，因此二者不成反比例关系，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例关系的判定 2.正比例关系的判定 3.常见数量关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分正反比例关系的判定标准，熟记常见几何、行程问题的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要判断两个变量是否成反比例关系，首先明确反比例关系的判定标准：若两个相关联的变量的乘积为固定不变的非零常数，则这两个变量成反比例关系。解题时我们先逐个写出每个选项中两个变量的数量关系，再对照反比例、正比例关系的定义逐一判断即可。
【解析】
首先明确：如果两个变量$x$、$y$满足$xy=k$（$k$为非零常数），则$x$与$y$成反比例关系；如果满足$\frac{y}{x}=k$（$k$为非零常数），则成正比例关系。
对各选项逐一分析：
选项A：圆的面积公式为$S=π r^2$，可知$S$与$r^2$成正比例关系，与$r$既不是正比例也不是反比例关系，不符合要求。
选项B：速度$v$一定时，路程$s=vt$，即$\frac{s}{t}=v$（定值），所以行驶路程与时间成正比例关系，不符合要求。
选项C：设平行四边形面积为$S$（定值），底为$a$，对应底上的高为$h$，则$S=ah$，即$ah=S$（定值），符合反比例关系的定义，符合要求。
选项D：人的身高与年龄没有固定的函数对应关系，成年后身高不再随年龄增长变化，因此二者不成反比例关系，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例关系的判定 2.正比例关系的判定 3.常见数量关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确区分正反比例关系的判定标准，熟记常见几何、行程问题的数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4.当三角形的面积为9 cm²时，它的底边长a(cm)关于该底边上的高h(cm)的函数解析式为
$a=\frac{18}{h}$
.答案
4.$a=\frac{18}{h}$
解析
【分析】
解题时先回忆三角形的面积计算公式，已知三角形面积固定为9cm²，我们需要通过面积公式把底边长a用含底边上的高h的代数式表示出来，推导时注意高h是线段长度，取值为正数，最终就能得到a关于h的函数解析式。核心思路是从已知的面积公式切入，代入固定面积值后通过等式变形分离出a即可。
【解析】
根据三角形的面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}ah$
已知三角形面积$S=9\ \mathrm{cm}^2$，将其代入公式得：
$9=\frac{1}{2}ah$
对等式变形求解a：
两边同时乘2，得$18=ah$
由于高h是正数（$h＞0$），两边同时除以h，得$a=\frac{18}{h}$
【答案】
$a=\frac{18}{h}$
【知识点】
三角形面积公式；反比例函数解析式；等式变形
【点评】
本题是基础应用题，结合几何面积公式考查反比例函数解析式的推导，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式，同时要注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形的面积计算公式，已知三角形面积固定为9cm²，我们需要通过面积公式把底边长a用含底边上的高h的代数式表示出来，推导时注意高h是线段长度，取值为正数，最终就能得到a关于h的函数解析式。核心思路是从已知的面积公式切入，代入固定面积值后通过等式变形分离出a即可。
【解析】
根据三角形的面积公式可得：
$S=\frac{1}{2}ah$
已知三角形面积$S=9\ \mathrm{cm}^2$，将其代入公式得：
$9=\frac{1}{2}ah$
对等式变形求解a：
两边同时乘2，得$18=ah$
由于高h是正数（$h＞0$），两边同时除以h，得$a=\frac{18}{h}$
【答案】
$a=\frac{18}{h}$
【知识点】
三角形面积公式；反比例函数解析式；等式变形
【点评】
本题是基础应用题，结合几何面积公式考查反比例函数解析式的推导，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式，同时要注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.9
5.学校图书馆有一批图书要分发给学生，学生人数和每名学生分得的图书本数如下表：
用y表示学生人数，x表示每名学生分得的图书本数，用式子表示y与x的关系为
用y表示学生人数，x表示每名学生分得的图书本数，用式子表示y与x的关系为
$y=\frac{600}{x}$
，y与x成反
比例关系。答案
5.$y=\frac{600}{x}$ 反
解析
【分析】
解题时首先要抓住隐含的不变量：这批图书的总数量是固定的。第一步先通过表格给出的对应数据计算出总图书数，验证总数量为定值；第二步根据“每名学生分得的本数×学生人数=总图书数”这一基础数量关系，推导y和x的函数关系式；最后结合反比例的定义，判断二者的比例关系即可。
【解析】
1. 计算总图书数量：
根据表格数据：当每人分2本时，有300名学生，总图书数为$2×300=600$本；
验证：$3×200=600$，$4×150=600$，确认总图书数为定值600。
2. 推导y与x的关系式：
由数量关系：每名学生分得本数×学生人数=总图书数，代入字母可得$x· y=600$，变形后得$y=\frac{600}{x}$。
3. 判断比例关系：
两种相关联的量，若乘积为定值，则二者成反比例关系。此处x与y的乘积恒为600（定值），因此y与x成反比例关系。
【答案】
$y=\frac{600}{x}$；反
【知识点】
反比例函数的定义；反比例关系判定；归总类数量关系
【点评】
本题是反比例相关的基础题，解题关键是抓住图书总量不变的隐含条件，结合基础数量关系推导表达式，再依据反比例定义即可完成判断，主要考查对反比例概念的理解和基础应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住隐含的不变量：这批图书的总数量是固定的。第一步先通过表格给出的对应数据计算出总图书数，验证总数量为定值；第二步根据“每名学生分得的本数×学生人数=总图书数”这一基础数量关系，推导y和x的函数关系式；最后结合反比例的定义，判断二者的比例关系即可。
【解析】
1. 计算总图书数量：
根据表格数据：当每人分2本时，有300名学生，总图书数为$2×300=600$本；
验证：$3×200=600$，$4×150=600$，确认总图书数为定值600。
2. 推导y与x的关系式：
由数量关系：每名学生分得本数×学生人数=总图书数，代入字母可得$x· y=600$，变形后得$y=\frac{600}{x}$。
3. 判断比例关系：
两种相关联的量，若乘积为定值，则二者成反比例关系。此处x与y的乘积恒为600（定值），因此y与x成反比例关系。
【答案】
$y=\frac{600}{x}$；反
【知识点】
反比例函数的定义；反比例关系判定；归总类数量关系
【点评】
本题是反比例相关的基础题，解题关键是抓住图书总量不变的隐含条件，结合基础数量关系推导表达式，再依据反比例定义即可完成判断，主要考查对反比例概念的理解和基础应用能力。
【难度系数】
0.8
6.【易错题】已知$y=(m^2+2m)x^{m^2-10}$是反比例函数，求$m$的值.
答案
6.解:由反比例函数定义知$\begin{cases}m^2+2m≠0,\\m^2-10=-1.\end{cases}$
解得$m=\pm3$.
点拨:反比例函数$y=\frac{k}{x}=kx^{-1}$本身蕴含两个约束条件:(1)$x$的指数恒为$-1$;(2)$k≠0$.判断时,两个条件缺一不可.
解得$m=\pm3$.
点拨:反比例函数$y=\frac{k}{x}=kx^{-1}$本身蕴含两个约束条件:(1)$x$的指数恒为$-1$;(2)$k≠0$.判断时,两个条件缺一不可.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的定义：形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，该定义隐含两个约束条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是$x$的系数不为0。我们需要根据这两个条件分别列方程和不等式，再求解后取公共解即可得到$m$的取值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列条件组：
$\begin{cases}m^2+2m\ne0 \quad \mathrm{①}\\m^2-10=-1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：因式分解得$m(m+2)\ne0$，即$m\ne0$且$m\ne-2$；
解方程②：移项得$m^2=9$，开平方得$m=\pm3$；
验证可知$m=3$和$m=-3$均满足不等式①的要求，因此$m$的值为$\pm3$。
【答案】
$m=\pm3$
【知识点】
反比例函数的概念;解一元二次方程;不等式求解
【点评】
本题是反比例函数相关的常见易错题，解题时很容易忽略“系数不为0”的隐含约束条件，需要牢记定义的两个必要条件，同时满足才能避免多解、错解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数的定义：形如$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，该定义隐含两个约束条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是$x$的系数不为0。我们需要根据这两个条件分别列方程和不等式，再求解后取公共解即可得到$m$的取值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列条件组：
$\begin{cases}m^2+2m\ne0 \quad \mathrm{①}\\m^2-10=-1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：因式分解得$m(m+2)\ne0$，即$m\ne0$且$m\ne-2$；
解方程②：移项得$m^2=9$，开平方得$m=\pm3$；
验证可知$m=3$和$m=-3$均满足不等式①的要求，因此$m$的值为$\pm3$。
【答案】
$m=\pm3$
【知识点】
反比例函数的概念;解一元二次方程;不等式求解
【点评】
本题是反比例函数相关的常见易错题，解题时很容易忽略“系数不为0”的隐含约束条件，需要牢记定义的两个必要条件，同时满足才能避免多解、错解。
【难度系数】
0.7
