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7. 已知多项式$(17x^2 - 3x + 4) - (ax^2 + bx + c)$能被$5x$整除，且商为$2x + 1$，则$a - b + c = (\quad)$。
A.12
B.13
C.14
D.19
A.12
B.13
C.14
D.19
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先根据“被除式=除式×商式”的关系建立等式，再分别化简等式左右两边的多项式，利用两个多项式相等时同类项的系数对应相等的性质，求出参数a、b、c的值，最后代入式子a-b+c计算即可得到结果。
【解析】
根据题意可得：
$(17x^2 - 3x + 4) - (ax^2 + bx + c) = 5x(2x + 1)$
先化简等式左边：
$\begin{aligned}左边&=17x^2 - 3x + 4 - ax^2 - bx - c\\&=(17 - a)x^2 + (-3 - b)x + (4 - c)\end{aligned}$
再展开等式右边：
$右边=10x^2 + 5x$
因为两个多项式相等，对应同类项的系数相等，且右边无常数项，因此：
$\begin{cases}17 - a = 10\\-3 - b = 5\\4 - c = 0\end{cases}$
分别解得：
$a=7$，$b=-8$，$c=4$
代入$a - b + c$计算：
$a - b + c = 7 - (-8) + 4 = 7 + 8 + 4 = 19$
【答案】
D
【知识点】
整式乘除运算，多项式系数对应相等，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的典型题型，解题的核心是掌握除法运算中被除式、除式、商三者的数量关系，结合多项式相等的性质求解参数，计算过程中要注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“被除式=除式×商式”的关系建立等式，再分别化简等式左右两边的多项式，利用两个多项式相等时同类项的系数对应相等的性质，求出参数a、b、c的值，最后代入式子a-b+c计算即可得到结果。
【解析】
根据题意可得：
$(17x^2 - 3x + 4) - (ax^2 + bx + c) = 5x(2x + 1)$
先化简等式左边：
$\begin{aligned}左边&=17x^2 - 3x + 4 - ax^2 - bx - c\\&=(17 - a)x^2 + (-3 - b)x + (4 - c)\end{aligned}$
再展开等式右边：
$右边=10x^2 + 5x$
因为两个多项式相等，对应同类项的系数相等，且右边无常数项，因此：
$\begin{cases}17 - a = 10\\-3 - b = 5\\4 - c = 0\end{cases}$
分别解得：
$a=7$，$b=-8$，$c=4$
代入$a - b + c$计算：
$a - b + c = 7 - (-8) + 4 = 7 + 8 + 4 = 19$
【答案】
D
【知识点】
整式乘除运算，多项式系数对应相等，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的典型题型，解题的核心是掌握除法运算中被除式、除式、商三者的数量关系，结合多项式相等的性质求解参数，计算过程中要注意符号问题，避免出错。
【难度系数】
0.7
8. 如图①，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，并制成一个如图②所示的无盖纸盒. 若纸盒的容积为$4a^2b$，则纸盒底部长方形的周长为
$8a+2b$
. 答案
8. $8a+2b$
解析
【分析】要解决这道题，首先明确无盖纸盒的高等于四角切去的小正方形的边长a，长方体容积=底面积×高，我们可以先根据已知容积和高算出纸盒底部长方形的面积；再结合已知的底部长方形的一条边长为b，通过面积公式求出另一条边长；最后代入长方形周长公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意可知，无盖纸盒的高等于切去的正方形的边长，即高为a。
根据长方体容积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$，可得纸盒底部长方形的面积：
$S_{\mathrm{底}}=V÷ h=4a^2b÷ a=4ab$
已知纸盒底部长方形的一条边长为b，则另一条边长为：
$4ab÷ b=4a$
根据长方形周长公式，底部长方形的周长为：
$C=2×(4a + b)=8a + 2b$
【答案】$8a+2b$
【知识点】整式的除法；长方体容积计算；长方形周长计算
【点评】本题结合生活中的折纸场景，将几何图形性质和整式运算结合考查，解题关键是找准折叠后纸盒的高、底部边长和原图的对应关系，再正确进行整式除法运算即可。
【难度系数】0.7
【解析】
解：由题意可知，无盖纸盒的高等于切去的正方形的边长，即高为a。
根据长方体容积公式$V=S_{\mathrm{底}}× h$，可得纸盒底部长方形的面积：
$S_{\mathrm{底}}=V÷ h=4a^2b÷ a=4ab$
已知纸盒底部长方形的一条边长为b，则另一条边长为：
$4ab÷ b=4a$
根据长方形周长公式，底部长方形的周长为：
$C=2×(4a + b)=8a + 2b$
【答案】$8a+2b$
【知识点】整式的除法；长方体容积计算；长方形周长计算
【点评】本题结合生活中的折纸场景，将几何图形性质和整式运算结合考查，解题关键是找准折叠后纸盒的高、底部边长和原图的对应关系，再正确进行整式除法运算即可。
【难度系数】0.7
9. 计算:
(1) $[a^4 · a^2 - (3a^3)^2] ÷ (2a^2)^2$;
(2) $[(a - 3b)^2 - (a + 2b)(a - 2b)] ÷ (-2b)$.
(1) $[a^4 · a^2 - (3a^3)^2] ÷ (2a^2)^2$;
(2) $[(a - 3b)^2 - (a + 2b)(a - 2b)] ÷ (-2b)$.
答案
9. 解：(1) 原式$=(a^6 - 9a^6) ÷ (4a^4) = (- 8a^6) ÷ (4a^4) = -2a^2$.
(2) 原式$=[a^2 - 3ab - 3ab + 9b^2 - (a^2 - 2ab + 2ab - 4b^2)] ÷ (- 2b) = (a^2 - 6ab + 9b^2 - a^2 + 4b^2 ) ÷ (- 2b) = (- 6ab + 13b^2 ) ÷ (- 2b) = 3a - \dfrac{13}{2}b$.
(2) 原式$=[a^2 - 3ab - 3ab + 9b^2 - (a^2 - 2ab + 2ab - 4b^2)] ÷ (- 2b) = (a^2 - 6ab + 9b^2 - a^2 + 4b^2 ) ÷ (- 2b) = (- 6ab + 13b^2 ) ÷ (- 2b) = 3a - \dfrac{13}{2}b$.
解析
【分析】
这两道题都是整式的混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。第(1)题先计算括号内的同底数幂乘法、积的乘方，合并同类项后再计算括号外的积的乘方，最后做整式除法即可；第(2)题先利用完全平方公式、平方差公式展开括号内的式子，去括号合并同类项后，再按多项式除以单项式的法则计算，运算时要注意去括号的符号变化，以及每一项除法运算的符号、系数、指数计算规则。
【解析】
(1) 先计算括号内的运算：
根据同底数幂乘法法则，得$a^4 · a^2 = a^{4+2}=a^6$，
根据积的乘方法则，得$(3a^3)^2 = 3^2 · (a^3)^2 = 9a^6$，
括号内合并同类项：$a^6 - 9a^6 = -8a^6$，
计算除数：$(2a^2)^2 = 2^2 · (a^2)^2 = 4a^4$，
最后做除法：$(-8a^6) ÷ 4a^4 = -2a^{6-4} = -2a^2$。
(2) 先利用乘法公式展开括号内的式子：
根据完全平方公式，得$(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$，
根据平方差公式，得$(a+2b)(a-2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$，
代入原式括号内：$[a^2 -6ab +9b^2 - (a^2 -4b^2)]$，
去括号合并同类项：$a^2 -6ab +9b^2 -a^2 +4b^2 = -6ab +13b^2$，
按多项式除以单项式法则计算：$(-6ab +13b^2) ÷ (-2b) = (-6ab)÷(-2b) + 13b^2÷(-2b) = 3a - \frac{13}{2}b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2a^2}$；(2) $\boldsymbol{3a - \dfrac{13}{2}b}$
【知识点】
幂的运算、整式乘除、乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察幂的运算法则、完全平方公式和平方差公式的应用，能有效检验学生对整式运算规则的掌握熟练度，解题时需格外注意运算顺序和符号变化，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
这两道题都是整式的混合运算，解题遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序。第(1)题先计算括号内的同底数幂乘法、积的乘方，合并同类项后再计算括号外的积的乘方，最后做整式除法即可；第(2)题先利用完全平方公式、平方差公式展开括号内的式子，去括号合并同类项后，再按多项式除以单项式的法则计算，运算时要注意去括号的符号变化，以及每一项除法运算的符号、系数、指数计算规则。
【解析】
(1) 先计算括号内的运算：
根据同底数幂乘法法则，得$a^4 · a^2 = a^{4+2}=a^6$，
根据积的乘方法则，得$(3a^3)^2 = 3^2 · (a^3)^2 = 9a^6$，
括号内合并同类项：$a^6 - 9a^6 = -8a^6$，
计算除数：$(2a^2)^2 = 2^2 · (a^2)^2 = 4a^4$，
最后做除法：$(-8a^6) ÷ 4a^4 = -2a^{6-4} = -2a^2$。
(2) 先利用乘法公式展开括号内的式子：
根据完全平方公式，得$(a-3b)^2 = a^2 - 6ab + 9b^2$，
根据平方差公式，得$(a+2b)(a-2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$，
代入原式括号内：$[a^2 -6ab +9b^2 - (a^2 -4b^2)]$，
去括号合并同类项：$a^2 -6ab +9b^2 -a^2 +4b^2 = -6ab +13b^2$，
按多项式除以单项式法则计算：$(-6ab +13b^2) ÷ (-2b) = (-6ab)÷(-2b) + 13b^2÷(-2b) = 3a - \frac{13}{2}b$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2a^2}$；(2) $\boldsymbol{3a - \dfrac{13}{2}b}$
【知识点】
幂的运算、整式乘除、乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考察幂的运算法则、完全平方公式和平方差公式的应用，能有效检验学生对整式运算规则的掌握熟练度，解题时需格外注意运算顺序和符号变化，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
10. 先阅读材料，再解答问题.
类比于两数相除可以用竖式计算，多项式除以多项式也可以用竖式计算，其步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用0补齐）；
②用竖式进行计算；
③当余式的次数低于除式的次数时，计算终止，得到商式和余式.
例如：求$(5x^4 + 3x^3 + 2x - 4)÷(x^2 + 1)$的商式和余式.
解：
∴商式是$5x^2 + 3x - 5$，余式是$-x + 1$.
(1)$(2x^2 - x - 3)÷(x + 1)=$
(2)求$(6x^5 - 9x^4 + 7x^2 - 20x + 3)÷(2x^2 - x - 5)$的商式和余式.
类比于两数相除可以用竖式计算，多项式除以多项式也可以用竖式计算，其步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用0补齐）；
②用竖式进行计算；
③当余式的次数低于除式的次数时，计算终止，得到商式和余式.
例如：求$(5x^4 + 3x^3 + 2x - 4)÷(x^2 + 1)$的商式和余式.
解：
∴商式是$5x^2 + 3x - 5$，余式是$-x + 1$.
(1)$(2x^2 - x - 3)÷(x + 1)=$
$2x-3$
；(2)求$(6x^5 - 9x^4 + 7x^2 - 20x + 3)÷(2x^2 - x - 5)$的商式和余式.
答案
10. (1) $2x-3$
(2) 解：
∴商式是 $3x^3 - 3x^2 + 6x - 1$，余式是 $9x - 2$.
解析
【分析】
这道题考查类比整数竖式除法进行多项式除以多项式的运算，解题思路如下：首先明确多项式除法的核心步骤：①先将被除式和除式按同一字母降幂排列，缺项用0补齐；②仿照整数除法竖式计算，每次用当前被除部分的最高次项除以除式的最高次项，得到商的对应项，再将该项乘除式，与被除部分相减得到新的被除部分；③重复上述步骤，直到余式的次数低于除式的次数，即可得到最终的商式和余式。第(1)问的被除式和除式无缺项，可直接按步骤计算；第(2)问被除式缺$x^3$项，先补$0x^3$再按竖式步骤计算即可。
【解析】
(1) 计算$(2x^2 - x - 3)÷(x + 1)$：
首先将被除式、除式按$x$降幂排列，无缺项。列竖式计算：用被除式最高次项$2x^2$除以除式最高次项$x$得商的第一项$2x$，将$2x$乘$(x+1)$得$2x^2+2x$，与被除式相减得$-3x-3$；再用$-3x$除以$x$得商的第二项$-3$，将$-3$乘$(x+1)$得$-3x-3$，相减后余式为0，次数低于除式次数，计算终止，得商为$2x-3$。
(2) 计算$(6x^5 - 9x^4 + 7x^2 - 20x + 3)÷(2x^2 - x - 5)$：
先将被除式按$x$降幂排列，补缺项$x^3$得$6x^5 - 9x^4 + 0x^3 + 7x^2 - 20x + 3$，除式已按降幂排列，再按竖式步骤计算，最终得到的余式$9x-2$为一次式，次数低于除式的二次，计算终止。
【答案】
(1) $2x-3$
(2) 解：
∴商式是 $3x^3 - 3x^2 + 6x - 1$，余式是 $9x - 2$.
【知识点】
多项式除法、整式乘减运算、降幂排列
【点评】
本题通过类比整数竖式除法考查多项式除法的运算，核心是掌握运算步骤，注意缺项补0和计算过程中的符号问题，能够有效培养学生的知识迁移能力和运算细心度。
【难度系数】
0.7
这道题考查类比整数竖式除法进行多项式除以多项式的运算，解题思路如下：首先明确多项式除法的核心步骤：①先将被除式和除式按同一字母降幂排列，缺项用0补齐；②仿照整数除法竖式计算，每次用当前被除部分的最高次项除以除式的最高次项，得到商的对应项，再将该项乘除式，与被除部分相减得到新的被除部分；③重复上述步骤，直到余式的次数低于除式的次数，即可得到最终的商式和余式。第(1)问的被除式和除式无缺项，可直接按步骤计算；第(2)问被除式缺$x^3$项，先补$0x^3$再按竖式步骤计算即可。
【解析】
(1) 计算$(2x^2 - x - 3)÷(x + 1)$：
首先将被除式、除式按$x$降幂排列，无缺项。列竖式计算：用被除式最高次项$2x^2$除以除式最高次项$x$得商的第一项$2x$，将$2x$乘$(x+1)$得$2x^2+2x$，与被除式相减得$-3x-3$；再用$-3x$除以$x$得商的第二项$-3$，将$-3$乘$(x+1)$得$-3x-3$，相减后余式为0，次数低于除式次数，计算终止，得商为$2x-3$。
(2) 计算$(6x^5 - 9x^4 + 7x^2 - 20x + 3)÷(2x^2 - x - 5)$：
先将被除式按$x$降幂排列，补缺项$x^3$得$6x^5 - 9x^4 + 0x^3 + 7x^2 - 20x + 3$，除式已按降幂排列，再按竖式步骤计算，最终得到的余式$9x-2$为一次式，次数低于除式的二次，计算终止。
【答案】
(1) $2x-3$
(2) 解：
∴商式是 $3x^3 - 3x^2 + 6x - 1$，余式是 $9x - 2$.
【知识点】
多项式除法、整式乘减运算、降幂排列
【点评】
本题通过类比整数竖式除法考查多项式除法的运算，核心是掌握运算步骤，注意缺项补0和计算过程中的符号问题，能够有效培养学生的知识迁移能力和运算细心度。
【难度系数】
0.7
