登录
例1 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$AB+BC=12$，设$AB=x$，$△ ABC$的面积为$S$。
(1)求面积$S$关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围。
(2)求$S$的最大值。
(1)求面积$S$关于$x$的函数表达式，并写出自变量$x$的取值范围。
(2)求$S$的最大值。
答案
解:(1)如图，过点 A 作$AD⊥BC$于点 D。
在$△ABD$中，因为$∠ADB=90°,∠B=30°$，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$，
所以$S=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}(12-x)· \frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}x^2+3x$，
所以面积 S 关于 x 的函数表达式为$S=-\frac{1}{4}x^2+3x(0＜x＜12)$。
(2)当$x=6$时，$S_{最大值}=-\frac{1}{4}×6^2+3×6=9$。
解析
【分析】
(1)要推导△ABC的面积S关于x的函数表达式，首先回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$。已知$AB=x$，$AB+BC=12$，可得$BC=12-x$，还需要求出BC边上的高。结合已知$∠B=30°$，我们可以过点A作$AD⊥BC$于D，构造直角三角形ABD，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，即可求出高AD的长度，代入面积公式就能得到S的表达式；自变量x是线段AB的长度，因此x和BC的长度都要大于0，据此求出自变量取值范围。
(2)第一问得到的S是关于x的二次函数，且二次项系数为负，函数图像开口向下，在顶点处取得最大值，可通过二次函数顶点坐标公式或者配方法求出最大值。
【解析】
(1)过点A作$AD⊥BC$于点D。
在$Rt△ABD$中，$∠ADB=90°$，$∠B=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质，得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$
又因为$AB+BC=12$，$AB=x$，所以$BC=12-x$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}·BC·AD=\frac{1}{2}(12-x)·\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}x^2+3x$
由于线段长度为正，因此$x＞0$且$12-x＞0$，即自变量x的取值范围是$0＜x＜12$。
(2)函数$S=-\frac{1}{4}x^2+3x$是二次函数，其中$a=-\frac{1}{4}＜0$，因此S存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(-\frac{1}{4})}=6$时，S取得最大值：
$S_{最大值}=-\frac{1}{4}×6^2+3×6=9$
【答案】
(1)$S=-\frac{1}{4}x^2+3x(0＜x＜12)$
(2)$9$
【知识点】
含30°直角三角形的性质、二次函数的表达式、二次函数的最值
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是通过作高构造直角三角形求出三角形的高，进而得到面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1)要推导△ABC的面积S关于x的函数表达式，首先回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$。已知$AB=x$，$AB+BC=12$，可得$BC=12-x$，还需要求出BC边上的高。结合已知$∠B=30°$，我们可以过点A作$AD⊥BC$于D，构造直角三角形ABD，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，即可求出高AD的长度，代入面积公式就能得到S的表达式；自变量x是线段AB的长度，因此x和BC的长度都要大于0，据此求出自变量取值范围。
(2)第一问得到的S是关于x的二次函数，且二次项系数为负，函数图像开口向下，在顶点处取得最大值，可通过二次函数顶点坐标公式或者配方法求出最大值。
【解析】
(1)过点A作$AD⊥BC$于点D。
在$Rt△ABD$中，$∠ADB=90°$，$∠B=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质，得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}x$
又因为$AB+BC=12$，$AB=x$，所以$BC=12-x$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}·BC·AD=\frac{1}{2}(12-x)·\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4}x^2+3x$
由于线段长度为正，因此$x＞0$且$12-x＞0$，即自变量x的取值范围是$0＜x＜12$。
(2)函数$S=-\frac{1}{4}x^2+3x$是二次函数，其中$a=-\frac{1}{4}＜0$，因此S存在最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(-\frac{1}{4})}=6$时，S取得最大值：
$S_{最大值}=-\frac{1}{4}×6^2+3×6=9$
【答案】
(1)$S=-\frac{1}{4}x^2+3x(0＜x＜12)$
(2)$9$
【知识点】
含30°直角三角形的性质、二次函数的表达式、二次函数的最值
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是通过作高构造直角三角形求出三角形的高，进而得到面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能很好地考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
变式 如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,动点E从点D出发向终点A运动,连结BE,以BE为边在BE上方作正方形BEFG,在点E运动的过程中,阴影部分的面积最小值为
$\frac{15}{4}$
。答案
$\frac{15}{4}$
解析
【分析】
要求阴影部分面积的最小值，首先观察图形可知，阴影部分面积等于正方形BEFG的面积减去空白$△ ABE$的面积。我们可以先设$AE$的长度为$x$（$0≤ x≤3$），分别用含$x$的式子表示出正方形的面积和$△ ABE$的面积，进而得到阴影面积关于$x$的二次函数，最后利用二次函数的性质求出最小值即可。
【解析】
设$AE=x$，$\because AD=3$，$\therefore x$的取值范围是$0≤ x≤3$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ A=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=2$，由勾股定理得：
$BE^2=AB^2+AE^2=2^2+x^2=x^2+4$。
$\because$四边形$BEFG$是正方形，$\therefore S_{\mathrm{正方形}BEFG}=BE^2=x^2+4$。
又$\because S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× AE=\frac{1}{2}×2× x=x$，
$\therefore$阴影部分面积$S=S_{\mathrm{正方形}BEFG}-S_{△ ABE}=x^2+4-x=x^2-x+4$。
该二次函数开口向上，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，且$\frac{1}{2}$在$0≤ x≤3$的范围内，
$\therefore$当$x=\frac{1}{2}$时，$S$取得最小值，最小值为$(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+4=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
二次函数的最值，勾股定理，特殊四边形的性质
【点评】
本题将动点问题与二次函数最值相结合，解题的关键是合理设未知数，用含未知数的式子表示出阴影部分的面积，再结合二次函数性质求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分面积的最小值，首先观察图形可知，阴影部分面积等于正方形BEFG的面积减去空白$△ ABE$的面积。我们可以先设$AE$的长度为$x$（$0≤ x≤3$），分别用含$x$的式子表示出正方形的面积和$△ ABE$的面积，进而得到阴影面积关于$x$的二次函数，最后利用二次函数的性质求出最小值即可。
【解析】
设$AE=x$，$\because AD=3$，$\therefore x$的取值范围是$0≤ x≤3$。
$\because$四边形$ABCD$是矩形，$\therefore ∠ A=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AB=2$，由勾股定理得：
$BE^2=AB^2+AE^2=2^2+x^2=x^2+4$。
$\because$四边形$BEFG$是正方形，$\therefore S_{\mathrm{正方形}BEFG}=BE^2=x^2+4$。
又$\because S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AB× AE=\frac{1}{2}×2× x=x$，
$\therefore$阴影部分面积$S=S_{\mathrm{正方形}BEFG}-S_{△ ABE}=x^2+4-x=x^2-x+4$。
该二次函数开口向上，对称轴为$x=\frac{1}{2}$，且$\frac{1}{2}$在$0≤ x≤3$的范围内，
$\therefore$当$x=\frac{1}{2}$时，$S$取得最小值，最小值为$(\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}+4=\frac{15}{4}$。
【答案】
$\frac{15}{4}$
【知识点】
二次函数的最值，勾股定理，特殊四边形的性质
【点评】
本题将动点问题与二次函数最值相结合，解题的关键是合理设未知数，用含未知数的式子表示出阴影部分的面积，再结合二次函数性质求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
例2 如图，两条抛物线$y_1=-x^2+4$，$y_2=-\dfrac{1}{5}x^2+bx+c$相交于A，B两点，点A在x轴的负半轴上，且为抛物线$y_2$的最高点。
(1)求抛物线$y_2$的函数表达式和点B的坐标。
(2)点C是抛物线$y_1$上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交$y_2$于点D，求线段CD长的最大值。
(1)求抛物线$y_2$的函数表达式和点B的坐标。
(2)点C是抛物线$y_1$上A，B之间的一点，过点C作x轴的垂线交$y_2$于点D，求线段CD长的最大值。
答案
解:(1)当$y_1=0$，即$-x^2+4=0$时，解得$x=2$或$x=-2$。又点 A 在 x 轴的负半轴上，所以$A(-2,0)$。
因为点$A(-2,0)$是抛物线$y_2$的最高点，
所以$-\frac{b}{2×(-\frac{1}{5})}=-2$，解得$b=-\frac{4}{5}$。
把点$A(-2,0)$的坐标代入$y_2=-\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5}x+c$，得$c=-\frac{4}{5}$。
所以抛物线$y_2$的函数表达式为$y_2=-\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$。
由$\begin{cases} y_1=-x^2+4, \\ y_2=-\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}, \end{cases}$得$\begin{cases} x=-2, \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=3, \\ y=-5, \end{cases}$
因为$A(-2,0)$，所以$B(3,-5)$。
(2)由题意得，
$CD=y_1-y_2=-x^2+4-(-\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{4}{5})=-\frac{4}{5}x^2+\frac{4}{5}x+\frac{24}{5}(-2＜x＜3)$，
当$x=\frac{1}{2}$时，$CD_{最大值}=-\frac{4}{5}×\frac{1}{4}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+\frac{24}{5}=5$。
因为点$A(-2,0)$是抛物线$y_2$的最高点，
所以$-\frac{b}{2×(-\frac{1}{5})}=-2$，解得$b=-\frac{4}{5}$。
把点$A(-2,0)$的坐标代入$y_2=-\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5}x+c$，得$c=-\frac{4}{5}$。
所以抛物线$y_2$的函数表达式为$y_2=-\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$。
由$\begin{cases} y_1=-x^2+4, \\ y_2=-\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}, \end{cases}$得$\begin{cases} x=-2, \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=3, \\ y=-5, \end{cases}$
因为$A(-2,0)$，所以$B(3,-5)$。
(2)由题意得，
$CD=y_1-y_2=-x^2+4-(-\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{4}{5})=-\frac{4}{5}x^2+\frac{4}{5}x+\frac{24}{5}(-2＜x＜3)$，
当$x=\frac{1}{2}$时，$CD_{最大值}=-\frac{4}{5}×\frac{1}{4}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+\frac{24}{5}=5$。
解析
【分析】
(1) 第一步先求点A坐标：点A是抛物线$y_1$与x轴负半轴的交点，令$y_1=0$解方程即可得到A点坐标；第二步求$y_2$的解析式：A是$y_2$的最高点即顶点，根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$y_2$的二次项系数和顶点横坐标（A的横坐标）可求出b，再将A点坐标代入$y_2$求出c，即可得到$y_2$的解析式；第三步求点B坐标：联立两个抛物线的解析式，解方程组，除A点外的解就是点B的坐标。
(2) 线段CD是竖直方向的线段，长度等于同一x值下上方函数$y_1$的函数值减去下方函数$y_2$的函数值，据此得到CD关于x的二次函数表达式，再求该二次函数在A、B横坐标范围内的最大值即可。
【解析】
(1) 令$y_1=0$，即$-x^2+4=0$，解得$x=2$或$x=-2$，
∵点A在x轴负半轴上，
∴$A(-2,0)$。
∵$A(-2,0)$是抛物线$y_2$的顶点，$y_2$中$a=-\dfrac{1}{5}$，
由顶点横坐标公式得：$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{5})}=-2$，解得$b=-\dfrac{4}{5}$。
将$A(-2,0)$代入$y_2=-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x+c$，得$-\dfrac{1}{5}×(-2)^2-\dfrac{4}{5}×(-2)+c=0$，解得$c=-\dfrac{4}{5}$，
∴抛物线$y_2$的表达式为$y_2=-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x-\dfrac{4}{5}$。
联立两个抛物线解析式：$\begin{cases} y=-x^2+4 \\ y=-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x-\dfrac{4}{5} \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x=-2 \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=3 \\ y=-5 \end{cases}$，
∵$A(-2,0)$，
∴点B的坐标为$(3,-5)$。
(2) 设点C的横坐标为x，由题意知x的取值范围是$-2＜x＜3$，
∵CD垂直于x轴，C在$y_1$上，D在$y_2$上，且$y_1$在$y_2$上方，
∴$CD=y_1-y_2=-x^2+4-(-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x-\dfrac{4}{5})$
化简得：$CD=-\dfrac{4}{5}x^2+\dfrac{4}{5}x+\dfrac{24}{5}$，
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=-\dfrac{\dfrac{4}{5}}{2×(-\dfrac{4}{5})}=\dfrac{1}{2}$，在$-2＜x＜3$范围内，
将$x=\dfrac{1}{2}$代入得：
$CD_{\mathrm{最大值}}=-\dfrac{4}{5}×(\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{4}{5}×\dfrac{1}{2}+\dfrac{24}{5}=5$。
【答案】
(1) 抛物线$y_2$的函数表达式为$y_2=-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x-\dfrac{4}{5}$，点B的坐标为$(3,-5)$；
(2) 线段CD长的最大值为5。
【知识点】
二次函数顶点性质，二次函数解析式求解，二次函数最值计算
【点评】
本题是二次函数的常见综合题型，先通过交点性质和顶点特征求函数解析式，再将线段长度转化为二次函数求最值，解题的关键是理解竖直方向线段长度的计算方法，掌握二次函数的基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 第一步先求点A坐标：点A是抛物线$y_1$与x轴负半轴的交点，令$y_1=0$解方程即可得到A点坐标；第二步求$y_2$的解析式：A是$y_2$的最高点即顶点，根据二次函数顶点横坐标公式$x=-\dfrac{b}{2a}$，代入$y_2$的二次项系数和顶点横坐标（A的横坐标）可求出b，再将A点坐标代入$y_2$求出c，即可得到$y_2$的解析式；第三步求点B坐标：联立两个抛物线的解析式，解方程组，除A点外的解就是点B的坐标。
(2) 线段CD是竖直方向的线段，长度等于同一x值下上方函数$y_1$的函数值减去下方函数$y_2$的函数值，据此得到CD关于x的二次函数表达式，再求该二次函数在A、B横坐标范围内的最大值即可。
【解析】
(1) 令$y_1=0$，即$-x^2+4=0$，解得$x=2$或$x=-2$，
∵点A在x轴负半轴上，
∴$A(-2,0)$。
∵$A(-2,0)$是抛物线$y_2$的顶点，$y_2$中$a=-\dfrac{1}{5}$，
由顶点横坐标公式得：$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{5})}=-2$，解得$b=-\dfrac{4}{5}$。
将$A(-2,0)$代入$y_2=-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x+c$，得$-\dfrac{1}{5}×(-2)^2-\dfrac{4}{5}×(-2)+c=0$，解得$c=-\dfrac{4}{5}$，
∴抛物线$y_2$的表达式为$y_2=-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x-\dfrac{4}{5}$。
联立两个抛物线解析式：$\begin{cases} y=-x^2+4 \\ y=-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x-\dfrac{4}{5} \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x=-2 \\ y=0 \end{cases}$或$\begin{cases} x=3 \\ y=-5 \end{cases}$，
∵$A(-2,0)$，
∴点B的坐标为$(3,-5)$。
(2) 设点C的横坐标为x，由题意知x的取值范围是$-2＜x＜3$，
∵CD垂直于x轴，C在$y_1$上，D在$y_2$上，且$y_1$在$y_2$上方，
∴$CD=y_1-y_2=-x^2+4-(-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x-\dfrac{4}{5})$
化简得：$CD=-\dfrac{4}{5}x^2+\dfrac{4}{5}x+\dfrac{24}{5}$，
该二次函数开口向下，顶点横坐标为$x=-\dfrac{\dfrac{4}{5}}{2×(-\dfrac{4}{5})}=\dfrac{1}{2}$，在$-2＜x＜3$范围内，
将$x=\dfrac{1}{2}$代入得：
$CD_{\mathrm{最大值}}=-\dfrac{4}{5}×(\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{4}{5}×\dfrac{1}{2}+\dfrac{24}{5}=5$。
【答案】
(1) 抛物线$y_2$的函数表达式为$y_2=-\dfrac{1}{5}x^2-\dfrac{4}{5}x-\dfrac{4}{5}$，点B的坐标为$(3,-5)$；
(2) 线段CD长的最大值为5。
【知识点】
二次函数顶点性质，二次函数解析式求解，二次函数最值计算
【点评】
本题是二次函数的常见综合题型，先通过交点性质和顶点特征求函数解析式，再将线段长度转化为二次函数求最值，解题的关键是理解竖直方向线段长度的计算方法，掌握二次函数的基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
变式 已知二次函数$y=x^2 -3x +m$的图象在x轴上截得的线段长为5，则此二次函数的表达式为
$y=x^2-3x-4$
。答案
$y=x^2-3x-4$
解析
【分析】
遇到二次函数在x轴上截得线段长的问题，首先要明确：线段的两个端点是二次函数与x轴的交点，交点的横坐标就是y=0时对应一元二次方程的两个根，线段长等于两根差的绝对值。解题可以从两个思路入手：①利用一元二次方程根与系数的关系，将两根差的绝对值转化为含两根和、两根积的式子，代入已知线段长即可求出未知参数m；②利用二次函数的对称性，先求对称轴，两个交点到对称轴的距离均为线段长的一半，可直接求出交点坐标，代入解析式求m，两种方法可灵活选择。
【解析】
解：令y=0，得到一元二次方程：$x^2 - 3x + m = 0$
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = m$
已知二次函数图象在x轴上截得的线段长为5，因此$|x_1 - x_2| = 5$
将等式两边平方得：$(x_1 - x_2)^2 = 25$
根据完全平方公式变形可得：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
代入$x_1 + x_2 = 3$、$x_1x_2 = m$得：
$3^2 - 4m = 25$
即$9 - 4m = 25$，解得$m = -4$
因此二次函数的表达式为$y = x^2 - 3x - 4$
【答案】
$y=x^2-3x-4$
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程根与系数关系、完全平方公式变形
【点评】
本题是二次函数的常考基础题型，核心是将x轴上截得的线段长度转化为对应一元二次方程两根差的绝对值，既可以用根与系数的关系快速求解，也可利用二次函数的对称性求出交点后代入计算，解题方法灵活，注重基础知识的综合运用。
【难度系数】
0.7
遇到二次函数在x轴上截得线段长的问题，首先要明确：线段的两个端点是二次函数与x轴的交点，交点的横坐标就是y=0时对应一元二次方程的两个根，线段长等于两根差的绝对值。解题可以从两个思路入手：①利用一元二次方程根与系数的关系，将两根差的绝对值转化为含两根和、两根积的式子，代入已知线段长即可求出未知参数m；②利用二次函数的对称性，先求对称轴，两个交点到对称轴的距离均为线段长的一半，可直接求出交点坐标，代入解析式求m，两种方法可灵活选择。
【解析】
解：令y=0，得到一元二次方程：$x^2 - 3x + m = 0$
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = m$
已知二次函数图象在x轴上截得的线段长为5，因此$|x_1 - x_2| = 5$
将等式两边平方得：$(x_1 - x_2)^2 = 25$
根据完全平方公式变形可得：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
代入$x_1 + x_2 = 3$、$x_1x_2 = m$得：
$3^2 - 4m = 25$
即$9 - 4m = 25$，解得$m = -4$
因此二次函数的表达式为$y = x^2 - 3x - 4$
【答案】
$y=x^2-3x-4$
【知识点】
二次函数与x轴交点、一元二次方程根与系数关系、完全平方公式变形
【点评】
本题是二次函数的常考基础题型，核心是将x轴上截得的线段长度转化为对应一元二次方程两根差的绝对值，既可以用根与系数的关系快速求解，也可利用二次函数的对称性求出交点后代入计算，解题方法灵活，注重基础知识的综合运用。
【难度系数】
0.7
