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11. 如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=
第11题图 第12题图
90°
。第11题图 第12题图答案
11. 90°
解析
【分析】
首先明确三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，因此OA、OB、OC均为外接圆半径，长度相等，可得三个等腰三角形。再结合等边对等角的性质，将△ABC的三个内角用∠1、∠2、∠3表示，最后利用三角形内角和定理建立等量关系，即可求出三个角的和。
【解析】
∵O是△ABC的外心
∴OA=OB=OC（外心到三角形三个顶点的距离相等，为外接圆半径）
根据等边对等角可得：∠1=∠OCA，∠2=∠OBC，∠3=∠OAB
∵△ABC的内角和为180°，即∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
将三个内角拆分：
∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = ∠3 + ∠1
∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = ∠3 + ∠2
∠ACB = ∠OCB + ∠OCA = ∠2 + ∠1
代入内角和公式得：
(∠1+∠3)+(∠2+∠3)+(∠1+∠2) = 180°
整理得：2(∠1+∠2+∠3) = 180°
∴∠1+∠2+∠3 = 90°
【答案】
90°
【知识点】
三角形外心的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是利用外心性质得到等线段，进而转化为等角关系，结合三角形内角和即可求解，是几何性质的基础应用题目。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，因此OA、OB、OC均为外接圆半径，长度相等，可得三个等腰三角形。再结合等边对等角的性质，将△ABC的三个内角用∠1、∠2、∠3表示，最后利用三角形内角和定理建立等量关系，即可求出三个角的和。
【解析】
∵O是△ABC的外心
∴OA=OB=OC（外心到三角形三个顶点的距离相等，为外接圆半径）
根据等边对等角可得：∠1=∠OCA，∠2=∠OBC，∠3=∠OAB
∵△ABC的内角和为180°，即∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
将三个内角拆分：
∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = ∠3 + ∠1
∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = ∠3 + ∠2
∠ACB = ∠OCB + ∠OCA = ∠2 + ∠1
代入内角和公式得：
(∠1+∠3)+(∠2+∠3)+(∠1+∠2) = 180°
整理得：2(∠1+∠2+∠3) = 180°
∴∠1+∠2+∠3 = 90°
【答案】
90°
【知识点】
三角形外心的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题核心是利用外心性质得到等线段，进而转化为等角关系，结合三角形内角和即可求解，是几何性质的基础应用题目。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在$\odot O$中,AB是直径,点C,D,E都在圆周上,连结AE,CE,BD,CD。若$∠ E=50°$,则$∠ D$的度数为
140°
。答案
12. 140°
解析
【分析】
解题时先结合圆周角定理，由已知∠E的度数求出它所对的弧AC的度数；再利用AB是直径，得到弧AB的度数为180°，进而求出劣弧BC的度数；最后找到∠D所对的优弧BC的度数，再次用圆周角定理即可求出∠D的度数。也可以通过构造辅助线连接BC，利用同弧所对圆周角相等得到∠ABC=∠E，再结合圆内接四边形对角互补的性质求解。
【解析】
解法一：
∵∠E是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴弧AC的度数=2∠E=2×50°=100°，
∵AB是⊙O的直径，
∴弧AB的度数为180°，
∴劣弧BC的度数=180°-100°=80°，
∴优弧BC的度数=360°-80°=280°，
又
∵∠D是优弧BC所对的圆周角，
∴∠D=$\frac{1}{2}$×280°=140°。
解法二：
连接BC，
∵∠E和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠E=50°，
∵AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，对角互补，
∴∠D+∠CAB=180°，
∴∠D=180°-40°=140°。
【答案】
140°
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，核心考查圆周角相关性质的运用，解题的关键是找准圆周角对应的弧，或者合理构造辅助线利用圆内接四边形的性质求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合圆周角定理，由已知∠E的度数求出它所对的弧AC的度数；再利用AB是直径，得到弧AB的度数为180°，进而求出劣弧BC的度数；最后找到∠D所对的优弧BC的度数，再次用圆周角定理即可求出∠D的度数。也可以通过构造辅助线连接BC，利用同弧所对圆周角相等得到∠ABC=∠E，再结合圆内接四边形对角互补的性质求解。
【解析】
解法一：
∵∠E是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
∴弧AC的度数=2∠E=2×50°=100°，
∵AB是⊙O的直径，
∴弧AB的度数为180°，
∴劣弧BC的度数=180°-100°=80°，
∴优弧BC的度数=360°-80°=280°，
又
∵∠D是优弧BC所对的圆周角，
∴∠D=$\frac{1}{2}$×280°=140°。
解法二：
连接BC，
∵∠E和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠E=50°，
∵AB是⊙O的直径，直径所对的圆周角为直角，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，对角互补，
∴∠D+∠CAB=180°，
∴∠D=180°-40°=140°。
【答案】
140°
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，圆内接四边形的性质
【点评】
本题属于圆的基础应用题，核心考查圆周角相关性质的运用，解题的关键是找准圆周角对应的弧，或者合理构造辅助线利用圆内接四边形的性质求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
13. 如图，在$\odot O$中，四边形ABDC内接于圆，BC是直径，AB=AC。若$S_{\mathrm{四边形}ABDC}=6\ \mathrm{cm}^2$，则$AD=$
$2\sqrt{3}$
cm。答案
13. $2\sqrt{3}$
【解析】过点 A 作AE $⊥ AD$交 DB 的延长线于点 E，
。因为 BC 为$\odot O$的直径，所以$∠ BAC=90°$。
因为$AB=AC$，
所以$∠ ACB=∠ ABC=45°$，
所以$∠ ADE=∠ ACB=45°$。
因为$AE⊥ AD$，所以$∠ E=∠ ADE=45°$，所以$AE=AD$。
因为$∠ BAC=90°$，$AE⊥ AD$，
所以$∠ EAB + ∠ BAD = 90°$，$∠ CAD + ∠ BAD=90°$，
所以$∠ EAB=∠ CAD$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}AE=AD,\\∠ EAB=∠ CAD,\\AB=AC,\end{cases}$
所以$△ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS})$，
所以$S_{△ ABE}=S_{△ ACD}$，
所以$S_{\mathrm{四边形}ABDC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}+S_{△ ABE}=S_{△ AED}=6\ \mathrm{cm}^2$。
因为$S_{△ AED}=\frac{1}{2}AE· AD=\frac{1}{2}AD^2$，
所以$\frac{1}{2}AD^2=6$，所以$AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：BC是圆的直径，由直径所对圆周角为直角，结合AB=AC，可推得△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=45°。要求AD的长度，已知四边形ABDC的面积，直接分别计算两个三角形面积条件不足，因此考虑构造全等三角形做面积转化：利用AB=AC的条件，通过作AE⊥AD交DB延长线于E，证明△ABE和△ACD全等，将四边形面积转化为等腰直角△AED的面积，再借助等腰直角三角形的面积公式即可求出AD的长度。
【解析】
过点A作$AE ⊥ AD$交DB的延长线于点E，。
∵BC为$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ BAC=90°$。
∵$AB=AC$，
∴$∠ ACB=∠ ABC=45°$。
根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ ADE=∠ ACB=45°$。
∵$AE ⊥ AD$，
∴$∠ EAD=90°$，则$∠ E=90°-∠ ADE=45°=∠ ADE$，
∴$AE=AD$。
∵$∠ BAC=∠ EAD=90°$，
∴$∠ EAB+∠ BAD=∠ CAD+∠ BAD=90°$，即$∠ EAB=∠ CAD$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAB=∠ CAD \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ACD}$，
∴$S_{\mathrm{四边形}ABDC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}+S_{△ ABE}=S_{△ AED}=6\ \mathrm{cm}^2$。
∵$△ AED$是等腰直角三角形，
∴$S_{△ AED}=\frac{1}{2}AE · AD=\frac{1}{2}AD^2$，
代入面积得$\frac{1}{2}AD^2=6$，解得$AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负解）。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题核心是通过构造全等三角形实现不规则图形面积的转化，将四边形面积转化为熟悉的等腰直角三角形面积求解，要求熟练掌握圆的相关性质和全等三角形的辅助线构造方法，是几何中面积与线段长度结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先梳理已知条件：BC是圆的直径，由直径所对圆周角为直角，结合AB=AC，可推得△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=45°。要求AD的长度，已知四边形ABDC的面积，直接分别计算两个三角形面积条件不足，因此考虑构造全等三角形做面积转化：利用AB=AC的条件，通过作AE⊥AD交DB延长线于E，证明△ABE和△ACD全等，将四边形面积转化为等腰直角△AED的面积，再借助等腰直角三角形的面积公式即可求出AD的长度。
【解析】
过点A作$AE ⊥ AD$交DB的延长线于点E，
。∵BC为$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ BAC=90°$。
∵$AB=AC$，
∴$∠ ACB=∠ ABC=45°$。
根据同弧所对的圆周角相等，得$∠ ADE=∠ ACB=45°$。
∵$AE ⊥ AD$，
∴$∠ EAD=90°$，则$∠ E=90°-∠ ADE=45°=∠ ADE$，
∴$AE=AD$。
∵$∠ BAC=∠ EAD=90°$，
∴$∠ EAB+∠ BAD=∠ CAD+∠ BAD=90°$，即$∠ EAB=∠ CAD$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AE=AD \\∠ EAB=∠ CAD \\AB=AC\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$，
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ACD}$，
∴$S_{\mathrm{四边形}ABDC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=S_{△ ABD}+S_{△ ABE}=S_{△ AED}=6\ \mathrm{cm}^2$。
∵$△ AED$是等腰直角三角形，
∴$S_{△ AED}=\frac{1}{2}AE · AD=\frac{1}{2}AD^2$，
代入面积得$\frac{1}{2}AD^2=6$，解得$AD=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$（线段长度为正，舍去负解）。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题核心是通过构造全等三角形实现不规则图形面积的转化，将四边形面积转化为熟悉的等腰直角三角形面积求解，要求熟练掌握圆的相关性质和全等三角形的辅助线构造方法，是几何中面积与线段长度结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共35分)
14. (8分)如图，在$\odot O$中，直径$AB⊥$弦$CD$，若$∠ OCD=25°$，求$∠ BAD$的度数。
14. (8分)如图，在$\odot O$中，直径$AB⊥$弦$CD$，若$∠ OCD=25°$，求$∠ BAD$的度数。
答案
14. 解:因为$OC=OD$，$∠ OCD=25°$，
所以$∠ ODC=25°$。
因为$AB⊥ CD$，
所以$∠ BOD=90°-25°=65°$，
所以$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=32.5°$。
所以$∠ ODC=25°$。
因为$AB⊥ CD$，
所以$∠ BOD=90°-25°=65°$，
所以$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD=32.5°$。
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，根据圆的半径相等，可知OC=OD，△OCD为等腰三角形，结合已知∠OCD=25°，就能得到∠ODC的度数；第二步，利用AB⊥CD的垂直条件，在包含∠ODC的直角三角形中，根据直角三角形两锐角互余，求出弧BD所对的圆心角∠BOD的度数；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可算出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵ OC、OD均为⊙O的半径，
∴ OC=OD，
∴ ∠ODC=∠OCD=25°。
∵ AB⊥CD，
∴ ∠BOD=90°-∠ODC=90°-25°=65°。
∵ ∠BAD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，
∴ ∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×65°=32.5°。
【答案】
32.5°
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角，结合三角形的基础性质即可推导求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题可按三步推导：第一步，根据圆的半径相等，可知OC=OD，△OCD为等腰三角形，结合已知∠OCD=25°，就能得到∠ODC的度数；第二步，利用AB⊥CD的垂直条件，在包含∠ODC的直角三角形中，根据直角三角形两锐角互余，求出弧BD所对的圆心角∠BOD的度数；第三步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可算出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵ OC、OD均为⊙O的半径，
∴ OC=OD，
∴ ∠ODC=∠OCD=25°。
∵ AB⊥CD，
∴ ∠BOD=90°-∠ODC=90°-25°=65°。
∵ ∠BAD是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角，
∴ ∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×65°=32.5°。
【答案】
32.5°
【知识点】
等腰三角形性质，直角三角形两锐角互余，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质基础应用题，解题的核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角，结合三角形的基础性质即可推导求解，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
15. (12分)如图，AD为$\odot O$的直径，E为弦BC的中点，连结AB，AC。
(1)求证：$△ ABC$为等腰三角形。
(2)连结BD，CD，若$AD=10$，四边形ABDC的面积为40，求DE的长。
(1)求证：$△ ABC$为等腰三角形。
(2)连结BD，CD，若$AD=10$，四边形ABDC的面积为40，求DE的长。
答案
15. 解:(1)证明:因为 E 为弦 BC 的中点，AD 为直径，
所以$AD⊥ BC$，$BE=CE$，
所以$AB=AC$，
所以$△ ABC$为等腰三角形。
(2)如图，连结 OB，
由条件可得$\frac{1}{2}×10× BC=40$，
所以$BC=8$，
所以$BE=4$。
因为$AD=10$，所以$OB=OD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
所以$DE=OD-OE=5-3=2$。
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC为等腰三角形，核心是证明AB=AC。已知AD是圆的直径，E是弦BC的中点，可直接关联垂径定理：过弦中点的直径垂直平分弦，由此可得AD垂直平分BC，再根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即可推出AB=AC。
(2) 观察到四边形ABDC的对角线AD与BC互相垂直，因此它的面积可表示为两条对角线乘积的一半，结合已知面积和AD的长度可先求出BC的长，进而得到BE的长度；连接OB构造直角三角形，借助勾股定理求出OE的长度，最后用半径OD减去OE即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ E为弦BC的中点，AD为$\odot O$的直径，
∴ 根据垂径定理可得$AD⊥ BC$，$BE=CE$，即AD是BC的垂直平分线，
∴ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$为等腰三角形。
(2) 解：如图，连结OB，
∵ $AD⊥ BC$，
∴ 四边形ABDC的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ DBC}=\frac{1}{2}BC· AE+\frac{1}{2}BC· DE=\frac{1}{2}BC· AD$，
将四边形面积为40，$AD=10$代入得：$\frac{1}{2}×10× BC=40$，
解得$BC=8$，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=4$。
∵ $AD=10$为$\odot O$的直径，
∴ 半径$OB=OD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ $DE=OD-OE=5-3=2$。
【答案】
(1) △ABC为等腰三角形，证明成立；
(2) DE的长为2。
【知识点】
垂径定理、等腰三角形判定、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，侧重考查垂径定理的应用，同时结合了特殊四边形面积计算、勾股定理求线段长的知识点，解题时要注意从题干的条件出发，关联对应的几何定理，逐步推导所求量。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABC为等腰三角形，核心是证明AB=AC。已知AD是圆的直径，E是弦BC的中点，可直接关联垂径定理：过弦中点的直径垂直平分弦，由此可得AD垂直平分BC，再根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即可推出AB=AC。
(2) 观察到四边形ABDC的对角线AD与BC互相垂直，因此它的面积可表示为两条对角线乘积的一半，结合已知面积和AD的长度可先求出BC的长，进而得到BE的长度；连接OB构造直角三角形，借助勾股定理求出OE的长度，最后用半径OD减去OE即可得到DE的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ E为弦BC的中点，AD为$\odot O$的直径，
∴ 根据垂径定理可得$AD⊥ BC$，$BE=CE$，即AD是BC的垂直平分线，
∴ $AB=AC$，
∴ $△ ABC$为等腰三角形。
(2) 解：如图，连结OB，
∵ $AD⊥ BC$，
∴ 四边形ABDC的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ DBC}=\frac{1}{2}BC· AE+\frac{1}{2}BC· DE=\frac{1}{2}BC· AD$，
将四边形面积为40，$AD=10$代入得：$\frac{1}{2}×10× BC=40$，
解得$BC=8$，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=4$。
∵ $AD=10$为$\odot O$的直径，
∴ 半径$OB=OD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ OBE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
∴ $DE=OD-OE=5-3=2$。
【答案】
(1) △ABC为等腰三角形，证明成立；
(2) DE的长为2。
【知识点】
垂径定理、等腰三角形判定、勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，侧重考查垂径定理的应用，同时结合了特殊四边形面积计算、勾股定理求线段长的知识点，解题时要注意从题干的条件出发，关联对应的几何定理，逐步推导所求量。
【难度系数】
0.7
16. (15分)如图，AB是$\odot O$的直径，$CD=CB$，$CE ⊥ AB$于点E，连结BD交CE于点F。
(1)求证:$CF=BF$。
(2)若$CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，求弦BD的长。
(1)求证:$CF=BF$。
(2)若$CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，求弦BD的长。
答案
16. 解:(1)证明:因为 AB 是$\odot O$的直径，
所以$∠ ACB=90°$，
所以$∠ A=90°-∠ ABC$。
因为$CE⊥ AB$，
所以$∠ CEB=90°$，
所以$∠ ECB=90°-∠ ABC$，
所以$∠ ECB=∠ A$。
又因为$CD=CB$，
所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
所以$∠ DBC=∠ A$，
所以$∠ ECB=∠ DBC$，
所以$CF=BF$。
(2)连结 OC，交 BD 于点 G，
。因为$BC=CD$，
所以$OC⊥ BD$，$BD=2BG$。
因为$∠ ACB=90°$，$BC=CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，
所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(8\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2}=20$，
所以$\odot O$的半径为 10。
设$OG=x$，则$CG=10-x$，
由勾股定理，得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$，
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
解得$x=6$，
所以$BG=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
所以$BD=16$。
解析
【分析】
(1) 要证明$CF=BF$，只需证明两角对应的底角$∠ECB=∠DBC$即可。首先利用直径所对圆周角为直角、$CE⊥AB$的条件，通过同角的余角相等推得$∠ECB=∠A$；再结合$CD=CB$得到等弧，利用同弧所对圆周角相等得$∠DBC=∠A$，等量代换即可得到角相等，进而证边相等。
(2) 要求BD的长，首先根据AB是直径，用勾股定理算出直径AB的长度，得到圆的半径；再由$CD=CB$，根据垂径定理的推论，连接OC可得OC垂直平分BD，即$BD=2BG$；设$OG=x$，用勾股定理分别在$Rt△OBG$和$Rt△CBG$中表示$BG^2$，列方程求解x，再算出BG即可得到BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ACB=90°$，
∴ $∠A=90°-∠ABC$。
∵ $CE⊥AB$，
∴ $∠CEB=90°$，
∴ $∠ECB=90°-∠ABC$，
∴ $∠ECB=∠A$。
又
∵ $CD=CB$，
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ $∠DBC=∠A$，
∴ $∠ECB=∠DBC$，
∴ $CF=BF$。
(2) 解：连结OC，交BD于点G，。
∵ $BC=CD$，
∴ $OC⊥BD$，$BD=2BG$。
∵ $∠ACB=90°$，$BC=CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，
∴ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(8\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2}=20$，
∴ $\odot O$的半径为10。
设$OG=x$，则$CG=10-x$，
由勾股定理，得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$，
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
解得$x=6$，
∴ $BG=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴ $BD=2×8=16$。
【答案】
(1) $CF=BF$得证；
(2) 弦BD的长为$\boxed{16}$。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的综合应用题，第一问通过角的等量代换证明边相等，核心考查圆周角相关性质；第二问需要掌握圆中常见辅助线的做法，结合垂径定理与勾股定理，利用方程思想求解弦长，是圆中弦长计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$CF=BF$，只需证明两角对应的底角$∠ECB=∠DBC$即可。首先利用直径所对圆周角为直角、$CE⊥AB$的条件，通过同角的余角相等推得$∠ECB=∠A$；再结合$CD=CB$得到等弧，利用同弧所对圆周角相等得$∠DBC=∠A$，等量代换即可得到角相等，进而证边相等。
(2) 要求BD的长，首先根据AB是直径，用勾股定理算出直径AB的长度，得到圆的半径；再由$CD=CB$，根据垂径定理的推论，连接OC可得OC垂直平分BD，即$BD=2BG$；设$OG=x$，用勾股定理分别在$Rt△OBG$和$Rt△CBG$中表示$BG^2$，列方程求解x，再算出BG即可得到BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ACB=90°$，
∴ $∠A=90°-∠ABC$。
∵ $CE⊥AB$，
∴ $∠CEB=90°$，
∴ $∠ECB=90°-∠ABC$，
∴ $∠ECB=∠A$。
又
∵ $CD=CB$，
∴ $\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ $∠DBC=∠A$，
∴ $∠ECB=∠DBC$，
∴ $CF=BF$。
(2) 解：连结OC，交BD于点G，
。∵ $BC=CD$，
∴ $OC⊥BD$，$BD=2BG$。
∵ $∠ACB=90°$，$BC=CD=4\sqrt{5}$，$AC=8\sqrt{5}$，
∴ $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(8\sqrt{5})^2+(4\sqrt{5})^2}=20$，
∴ $\odot O$的半径为10。
设$OG=x$，则$CG=10-x$，
由勾股定理，得$BG^2=OB^2-OG^2=BC^2-CG^2$，
即$10^2-x^2=(4\sqrt{5})^2-(10-x)^2$，
解得$x=6$，
∴ $BG=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
∴ $BD=2×8=16$。
【答案】
(1) $CF=BF$得证；
(2) 弦BD的长为$\boxed{16}$。
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基本性质的综合应用题，第一问通过角的等量代换证明边相等，核心考查圆周角相关性质；第二问需要掌握圆中常见辅助线的做法，结合垂径定理与勾股定理，利用方程思想求解弦长，是圆中弦长计算的典型考法。
【难度系数】
0.7
