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1.下列条件中,能判定$△ ABC$为等腰三角形的是 （）
A.$∠ A=30°,∠ B=60°$
B.$AB=AC=2,BC=4$
C.$∠ A=50°,∠ B=80°$
D.$AB=3,BC=7$,周长为13
A.$∠ A=30°,∠ B=60°$
B.$AB=AC=2,BC=4$
C.$∠ A=50°,∠ B=80°$
D.$AB=3,BC=7$,周长为13
答案
C
解析
逐个分析选项：
1. 选项A：计算得∠C=180°-30°-60°=90°，三个内角均不相等，不是等腰三角形。
2. 选项B：AB+AC=2+2=4=BC，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
3. 选项C：计算得∠C=180°-50°-80°=50°，∠A=∠C，根据等角对等边，可得AB=BC，△ABC是等腰三角形。
4. 选项D：第三边AC=13-3-7=3，三边为3,7,3，3+3＜7，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
综上，只有选项C符合要求。
1. 选项A：计算得∠C=180°-30°-60°=90°，三个内角均不相等，不是等腰三角形。
2. 选项B：AB+AC=2+2=4=BC，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
3. 选项C：计算得∠C=180°-50°-80°=50°，∠A=∠C，根据等角对等边，可得AB=BC，△ABC是等腰三角形。
4. 选项D：第三边AC=13-3-7=3，三边为3,7,3，3+3＜7，不满足三角形三边关系，无法构成三角形。
综上，只有选项C符合要求。
2.如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，下列条件中，不能判定$△ ABC$为等腰三角形的是（）
A.$∠ BAC=60°$
B.$∠ B=∠ C$
C.$AB=AC$
D.$BD=CD$
A.$∠ BAC=60°$
B.$∠ B=∠ C$
C.$AB=AC$
D.$BD=CD$
答案
A
解析
逐一分析各选项：
1. 选项B：根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，由∠B=∠C可直接推出AB=AC，能判定△ABC为等腰三角形。
2. 选项C：根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，AB=AC直接说明△ABC是等腰三角形。
3. 选项D：AD⊥BC且BD=CD，即AD是线段BC的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AB=AC，能判定△ABC为等腰三角形。
4. 选项A：仅∠BAC=60°，无法推出另外两个角相等，也无法推出两边相等，不能判定△ABC为等腰三角形。
1. 选项B：根据等腰三角形判定定理“等角对等边”，由∠B=∠C可直接推出AB=AC，能判定△ABC为等腰三角形。
2. 选项C：根据等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形，AB=AC直接说明△ABC是等腰三角形。
3. 选项D：AD⊥BC且BD=CD，即AD是线段BC的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得AB=AC，能判定△ABC为等腰三角形。
4. 选项A：仅∠BAC=60°，无法推出另外两个角相等，也无法推出两边相等，不能判定△ABC为等腰三角形。
3.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是 （）
A.有一个内角是$60°$
B.有一个外角是$120°$
C.有两个角相等
D.腰与底边相等
A.有一个内角是$60°$
B.有一个外角是$120°$
C.有两个角相等
D.腰与底边相等
答案
C
解析
根据等腰三角形、等边三角形的判定逐一分析：
1. 选项A：等腰三角形有一个内角是60°，无论该角是顶角还是底角，三个内角均为60°，一定是等边三角形；
2. 选项B：有一个外角是120°，则对应的内角为60°，同理可得该等腰三角形一定是等边三角形；
3. 选项C：等腰三角形本身就具备两个角相等的性质，补充该条件后仍为普通等腰三角形，不一定是等边三角形；
4. 选项D：等腰三角形腰与底边相等，则三条边都相等，一定是等边三角形。
1. 选项A：等腰三角形有一个内角是60°，无论该角是顶角还是底角，三个内角均为60°，一定是等边三角形；
2. 选项B：有一个外角是120°，则对应的内角为60°，同理可得该等腰三角形一定是等边三角形；
3. 选项C：等腰三角形本身就具备两个角相等的性质，补充该条件后仍为普通等腰三角形，不一定是等边三角形；
4. 选项D：等腰三角形腰与底边相等，则三条边都相等，一定是等边三角形。
4.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=36°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$.若$△ ABD$的周长比$△ BCD$的周长多1 cm，则$BD$的长是（）
A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
A.0.5 cm
B.1 cm
C.1.5 cm
D.2 cm
答案
B
解析
1. 由AB=AC，∠A=36°，可得∠ABC=∠C=72°；BD平分∠ABC，因此∠ABD=∠DBC=36°。
2. 根据等角对等边，由∠ABD=∠A=36°得AD=BD；由∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C得BD=BC。
3. 计算周长差：$C_{△ ABD}-C_{△ BCD}=(AB+AD+BD)-(BC+CD+BD)=AB+AD-BC-CD$。
4. 代入AD=BD、BC=BD，且AB=AC=AD+CD，化简可得周长差等于AD=BD，已知周长差为1cm，因此BD=1cm。
2. 根据等角对等边，由∠ABD=∠A=36°得AD=BD；由∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C得BD=BC。
3. 计算周长差：$C_{△ ABD}-C_{△ BCD}=(AB+AD+BD)-(BC+CD+BD)=AB+AD-BC-CD$。
4. 代入AD=BD、BC=BD，且AB=AC=AD+CD，化简可得周长差等于AD=BD，已知周长差为1cm，因此BD=1cm。
5.如图,在$△ ABC$中,$BF$,$CF$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$,过点$F$作$DE // BC$交$AB$于点$D$,交$AC$于点$E$.那么下列结论:①$△ BDF$和$△ CEF$都是等腰三角形;②$∠ DFB=∠ EFC$;③$△ ADE$的周长等于$AB$与$AC$的和;④$BF=CF$.其中正确的是________.(填序号)
答案
解：
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB。
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB。
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形，故①正确。
由推导得∠DFB=∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠EFC=∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
题中未给出∠ABC=∠ACB的条件，因此∠DFB与∠EFC不一定相等，故②错误。
△ADE的周长$=AD+DE+AE=AD+DF+FE+AE$，
∵DF=DB，FE=EC，
∴△ADE的周长$=AD+DB+EC+AE=AB+AC$，故③正确。
若BF=CF，则需∠FBC=∠FCB，即$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACB，题中无对应条件，因此BF与CF不一定相等，故④错误。
综上，正确的是$\boldsymbol{①③}$。
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB。
∵DE//BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB。
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形，故①正确。
由推导得∠DFB=∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠EFC=∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
题中未给出∠ABC=∠ACB的条件，因此∠DFB与∠EFC不一定相等，故②错误。
△ADE的周长$=AD+DE+AE=AD+DF+FE+AE$，
∵DF=DB，FE=EC，
∴△ADE的周长$=AD+DB+EC+AE=AB+AC$，故③正确。
若BF=CF，则需∠FBC=∠FCB，即$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACB，题中无对应条件，因此BF与CF不一定相等，故④错误。
综上，正确的是$\boldsymbol{①③}$。
6.如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$EG // AD$.找出图中的等腰三角形，并给出证明. 
答案
证明：图中的等腰三角形是$△ AEF$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$。
又$\because EG // AD$，
$\therefore ∠ E = ∠ CAD$，$∠ EFA = ∠ BAD$，
$\therefore ∠ E = ∠ EFA$，
$\therefore AE = AF$（在同一个三角形中，等角对等边），
即$△ AEF$是等腰三角形。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$。
又$\because EG // AD$，
$\therefore ∠ E = ∠ CAD$，$∠ EFA = ∠ BAD$，
$\therefore ∠ E = ∠ EFA$，
$\therefore AE = AF$（在同一个三角形中，等角对等边），
即$△ AEF$是等腰三角形。
