登录
1.有一个平行四边形框架ABCD,下列条件中,能使该平行四边形框架成为菱形框架的是()
A.框架的两条对角线AC=BD
B.框架的边AB=DC
C.框架的两条对角线AC与BD互相垂直
D.框架的边AD与BC互相平行
A.框架的两条对角线AC=BD
B.框架的边AB=DC
C.框架的两条对角线AC与BD互相垂直
D.框架的边AD与BC互相平行
答案
C
解析
【分析】
首先明确题目给出的四边形已经是平行四边形，解题核心是回忆平行四边形判定为菱形的相关定理，再逐一分析每个选项对应的结论，排除不符合要求的选项即可得到答案。平行四边形判定为菱形的常用定理有两个：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，结合相关性质和判定规则分析各选项：
1. 平行四边形的对边平行且相等，因此B选项“AB=DC”、D选项“AD与BC互相平行”都是平行四边形本身就具备的性质，无法推出其为菱形，故B、D错误；
2. 分析A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，因此AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，不是菱形，故A错误；
3. 分析C选项：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要准确区分平行四边形、矩形、菱形的性质和判定条件，避免混淆不同特殊四边形的判定规则。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出的四边形已经是平行四边形，解题核心是回忆平行四边形判定为菱形的相关定理，再逐一分析每个选项对应的结论，排除不符合要求的选项即可得到答案。平行四边形判定为菱形的常用定理有两个：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，结合相关性质和判定规则分析各选项：
1. 平行四边形的对边平行且相等，因此B选项“AB=DC”、D选项“AD与BC互相平行”都是平行四边形本身就具备的性质，无法推出其为菱形，故B、D错误；
2. 分析A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，因此AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，不是菱形，故A错误；
3. 分析C选项：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定、平行四边形的性质、矩形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，需要准确区分平行四边形、矩形、菱形的性质和判定条件，避免混淆不同特殊四边形的判定规则。
【难度系数】
0.8
2.如图，小明按下列步骤作四边形ABCD:①作∠MAN;②以点A为圆心，1个单位长度为半径作弧，分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，1个单位长度为半径作弧，两弧相交于点C;④连接BC,CD,BD。若∠A=44°，则∠CDB的度数是。
答案
$\boldsymbol{68}$
解析
【分析】
解题时首先从尺规作图的步骤提取边长的等量关系：步骤②可推出AB=AD=1，步骤③可推出BC=CD=1，因此四边形ABCD四条边都相等，可判定为菱形。要求∠CDB的度数，结合菱形对边平行的性质，可知∠CDB与∠ABD是内错角，二者相等。再看△ABD是等腰三角形，已知顶角∠A=44°，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°即可算出∠ABD的度数，最终得到∠CDB的度数。
【解析】
解：由作图步骤可知：
$AB=AD=1$，$BC=CD=1$，
$\therefore AB=AD=BC=CD$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形（四边相等的四边形是菱形），
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ CDB=∠ ABD$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ A=44°$，
$\therefore △ ABD$为等腰三角形，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-44°}{2}=68°$，
$\therefore ∠ CDB=68°$。
【答案】
$68$
【知识点】
菱形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质，解题的核心是正确从作图步骤中得到边相等的条件，判定四边形为菱形，再结合等腰三角形的角度计算即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先从尺规作图的步骤提取边长的等量关系：步骤②可推出AB=AD=1，步骤③可推出BC=CD=1，因此四边形ABCD四条边都相等，可判定为菱形。要求∠CDB的度数，结合菱形对边平行的性质，可知∠CDB与∠ABD是内错角，二者相等。再看△ABD是等腰三角形，已知顶角∠A=44°，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°即可算出∠ABD的度数，最终得到∠CDB的度数。
【解析】
解：由作图步骤可知：
$AB=AD=1$，$BC=CD=1$，
$\therefore AB=AD=BC=CD$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是菱形（四边相等的四边形是菱形），
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ CDB=∠ ABD$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ ABD$中，$AB=AD$，$∠ A=44°$，
$\therefore △ ABD$为等腰三角形，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-44°}{2}=68°$，
$\therefore ∠ CDB=68°$。
【答案】
$68$
【知识点】
菱形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查基础几何性质，解题的核心是正确从作图步骤中得到边相等的条件，判定四边形为菱形，再结合等腰三角形的角度计算即可求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
3.如图,将一张长16 cm、宽12 cm的矩形纸片先从下往上对折,再从左往右对折后,沿所得矩形两条邻边中点的连线剪下,展开后得到的四边形的面积为 cm²。
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
解题时先明确两次对折后得到的小矩形的长和宽：原矩形上下对折后宽变为原来的一半，再左右对折后长变为原来的一半，即可得到小矩形的尺寸。再分析剪切特征：沿小矩形邻边中点连线剪下，展开后得到的是菱形，可通过两种思路求解面积：一是利用菱形面积=对角线乘积的一半，确定菱形两条对角线长度后代入计算；二是先算出单个剪下的直角三角形的面积，展开后四边形由4个全等的该类直角三角形组成，求和即可得到总面积。
【解析】
解：1. 计算两次对折后小矩形的尺寸：
原矩形长为16cm，左右对折后小矩形的长为 $16÷2=8\ \mathrm{cm}$；
原矩形宽为12cm，上下对折后小矩形的宽为 $12÷2=6\ \mathrm{cm}$。
2. 分析剪下图形的特征：
沿小矩形两条邻边中点的连线剪下，得到的直角三角形的两条直角边分别为小矩形长的一半 $8÷2=4\ \mathrm{cm}$，小矩形宽的一半 $6÷2=3\ \mathrm{cm}$。
3. 计算展开后四边形的面积：
展开后得到的四边形由4个全等的上述直角三角形组成，单个直角三角形的面积为 $\frac{1}{2}×4×3=6\ \mathrm{cm}^2$，因此总面积为 $4×6=24\ \mathrm{cm}^2$。
（或：展开后所得四边形为菱形，两条对角线的长度分别为8cm和6cm，根据菱形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab$（a、b为对角线长），得面积为 $\frac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm}^2$）
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
图形折叠性质、菱形面积计算、剪展图形对称性
【点评】
本题结合折叠、剪切操作考察图形性质和面积计算，解题的关键是准确判断折叠后图形的边长变化，以及展开后所得图形的形状特征，侧重对空间想象能力的考察。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两次对折后得到的小矩形的长和宽：原矩形上下对折后宽变为原来的一半，再左右对折后长变为原来的一半，即可得到小矩形的尺寸。再分析剪切特征：沿小矩形邻边中点连线剪下，展开后得到的是菱形，可通过两种思路求解面积：一是利用菱形面积=对角线乘积的一半，确定菱形两条对角线长度后代入计算；二是先算出单个剪下的直角三角形的面积，展开后四边形由4个全等的该类直角三角形组成，求和即可得到总面积。
【解析】
解：1. 计算两次对折后小矩形的尺寸：
原矩形长为16cm，左右对折后小矩形的长为 $16÷2=8\ \mathrm{cm}$；
原矩形宽为12cm，上下对折后小矩形的宽为 $12÷2=6\ \mathrm{cm}$。
2. 分析剪下图形的特征：
沿小矩形两条邻边中点的连线剪下，得到的直角三角形的两条直角边分别为小矩形长的一半 $8÷2=4\ \mathrm{cm}$，小矩形宽的一半 $6÷2=3\ \mathrm{cm}$。
3. 计算展开后四边形的面积：
展开后得到的四边形由4个全等的上述直角三角形组成，单个直角三角形的面积为 $\frac{1}{2}×4×3=6\ \mathrm{cm}^2$，因此总面积为 $4×6=24\ \mathrm{cm}^2$。
（或：展开后所得四边形为菱形，两条对角线的长度分别为8cm和6cm，根据菱形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab$（a、b为对角线长），得面积为 $\frac{1}{2}×8×6=24\ \mathrm{cm}^2$）
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
图形折叠性质、菱形面积计算、剪展图形对称性
【点评】
本题结合折叠、剪切操作考察图形性质和面积计算，解题的关键是准确判断折叠后图形的边长变化，以及展开后所得图形的形状特征，侧重对空间想象能力的考察。
【难度系数】
0.7
4.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是边BC上的中线,点E,F在射线AD上,且DE=DF。求证:四边形BECF是菱形。
答案
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
又∵ DE=DF，BD=DC，
∴ 四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又∵ EF⊥BC，
∴ 平行四边形BECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
又∵ DE=DF，BD=DC，
∴ 四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又∵ EF⊥BC，
∴ 平行四边形BECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
解析
【分析】
要证明四边形BECF是菱形，可按照“先证平行四边形，再证菱形”的思路推导：首先根据等腰三角形的性质，结合AD是BC的中线，可得到BD=CD且AD⊥BC；再结合已知DE=DF，可知四边形BECF的对角线互相平分，能判定它是平行四边形；最后利用EF与BC垂直的条件，结合菱形的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
又
∵ DE=DF，BD=DC，
∴ 四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵ EF⊥BC，
∴ 平行四边形BECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
又
∵ DE=DF，BD=DC，
∴ 四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵ EF⊥BC，
∴ 平行四边形BECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【知识点】
等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查特殊四边形的判定和等腰三角形性质的综合应用，解题时只需牢记相关定理，结合已知条件逐步推导即可完成。
【难度系数】
0.8
要证明四边形BECF是菱形，可按照“先证平行四边形，再证菱形”的思路推导：首先根据等腰三角形的性质，结合AD是BC的中线，可得到BD=CD且AD⊥BC；再结合已知DE=DF，可知四边形BECF的对角线互相平分，能判定它是平行四边形；最后利用EF与BC垂直的条件，结合菱形的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
又
∵ DE=DF，BD=DC，
∴ 四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵ EF⊥BC，
∴ 平行四边形BECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
证明：
∵ AB=AC，AD是边BC上的中线，
∴ BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
又
∵ DE=DF，BD=DC，
∴ 四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵ EF⊥BC，
∴ 平行四边形BECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【知识点】
等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查特殊四边形的判定和等腰三角形性质的综合应用，解题时只需牢记相关定理，结合已知条件逐步推导即可完成。
【难度系数】
0.8
5. 提升题 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AC⊥BD于点O,O是AC的中点。
(1)求证:四边形ABCD是菱形。
(2)若OB=1,AB=3,求CD与AB之间的距离。
(1)求证:四边形ABCD是菱形。
(2)若OB=1,AB=3,求CD与AB之间的距离。
答案
(1) 证明：
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ OCD$。
∵$O$是$AC$的中点，
∴$OA=OC$。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ OAB=∠ OCD \\OA=OC \\∠ AOB=∠ COD\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA})$，
∴$OB=OD$。
又∵$OA=OC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形。
又∵$AC⊥ BD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形。
---
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OB=1$，$AB=3$，
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。
∴$AC=2OA=4\sqrt{2}$，$BD=2OB=2$。
设$CD$与$AB$之间的距离为$h$，
菱形$ABCD$的面积可表示为$\frac{1}{2}· AC· BD$，也可表示为$AB· h$，
因此：
$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2=3h$
解得$h=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
答：$CD$与$AB$之间的距离为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ OCD$。
∵$O$是$AC$的中点，
∴$OA=OC$。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ OAB=∠ OCD \\OA=OC \\∠ AOB=∠ COD\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA})$，
∴$OB=OD$。
又∵$OA=OC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形。
又∵$AC⊥ BD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形。
---
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OB=1$，$AB=3$，
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。
∴$AC=2OA=4\sqrt{2}$，$BD=2OB=2$。
设$CD$与$AB$之间的距离为$h$，
菱形$ABCD$的面积可表示为$\frac{1}{2}· AC· BD$，也可表示为$AB· h$，
因此：
$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2=3h$
解得$h=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
答：$CD$与$AB$之间的距离为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形ABCD是菱形，需先证它是平行四边形，再结合对角线垂直的条件判定。首先由AB//CD可得内错角相等，结合O是AC中点的条件，可通过ASA证明△AOB≌△COD，得到对角线互相平分，即可判定为平行四边形，再加上AC⊥BD的条件，即可证得四边形ABCD是菱形。
(2) 求CD与AB之间的距离，本质是求菱形的高。先在Rt△AOB中利用勾股定理求出OA的长度，进而得到两条对角线的总长，再利用菱形面积的两种计算方法：对角线乘积的一半、底乘对应高，列等式即可求出高，也就是两条平行线的距离。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ OCD$。
∵$O$是$AC$的中点，
∴$OA=OC$。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ OAB=∠ OCD \\OA=OC \\∠ AOB=∠ COD\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA})$，
∴$OB=OD$。
又
∵$OA=OC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形。
又
∵$AC⊥ BD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OB=1$，$AB=3$，
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。
∴$AC=2OA=4\sqrt{2}$，$BD=2OB=2$。
设$CD$与$AB$之间的距离为$h$，
菱形$ABCD$的面积可表示为$\frac{1}{2}· AC· BD$，也可表示为$AB· h$，
因此：
$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2=3h$
解得$h=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是菱形，证明成立；
(2) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
菱形的判定、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题综合考查了三角形全等的判定、平行四边形和菱形的判定与性质，以及等面积法的应用，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的相关定理，灵活运用菱形面积的两种表示方法求解线段长度，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明四边形ABCD是菱形，需先证它是平行四边形，再结合对角线垂直的条件判定。首先由AB//CD可得内错角相等，结合O是AC中点的条件，可通过ASA证明△AOB≌△COD，得到对角线互相平分，即可判定为平行四边形，再加上AC⊥BD的条件，即可证得四边形ABCD是菱形。
(2) 求CD与AB之间的距离，本质是求菱形的高。先在Rt△AOB中利用勾股定理求出OA的长度，进而得到两条对角线的总长，再利用菱形面积的两种计算方法：对角线乘积的一半、底乘对应高，列等式即可求出高，也就是两条平行线的距离。
【解析】
(1) 证明：
∵$AB// CD$，
∴$∠ OAB=∠ OCD$。
∵$O$是$AC$的中点，
∴$OA=OC$。
在$△ AOB$和$△ COD$中，
$\begin{cases}∠ OAB=∠ OCD \\OA=OC \\∠ AOB=∠ COD\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ COD(\mathrm{ASA})$，
∴$OB=OD$。
又
∵$OA=OC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形。
又
∵$AC⊥ BD$，
∴平行四边形$ABCD$是菱形。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$OB=1$，$AB=3$，
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。
∴$AC=2OA=4\sqrt{2}$，$BD=2OB=2$。
设$CD$与$AB$之间的距离为$h$，
菱形$ABCD$的面积可表示为$\frac{1}{2}· AC· BD$，也可表示为$AB· h$，
因此：
$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×2=3h$
解得$h=\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是菱形，证明成立；
(2) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$
【知识点】
菱形的判定、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题综合考查了三角形全等的判定、平行四边形和菱形的判定与性质，以及等面积法的应用，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的相关定理，灵活运用菱形面积的两种表示方法求解线段长度，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.7
