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1. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是高，用尺规作图的方法作出$△ ABC$的内心$O$，则下列作图中，正确的是（
C
）答案
1. C.
解析
【分析】
要确定△ABC的内心，首先明确内心的定义：三角形的内心是三个内角角平分线的交点。已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，AD已经是顶角∠BAC的角平分线，因此只需要再作出一个底角的角平分线，它与AD的交点即为内心。接下来逐一判断各选项的作图痕迹，区分尺规作角平分线和作垂直平分线的痕迹，判断哪个是作底角的角平分线即可。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点。
已知$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，$AD$平分$∠ BAC$，因此只需再作出$∠ B$或$∠ C$的角平分线，两条角平分线的交点就是$△ ABC$的内心。
对各选项分析如下：
选项A：作图痕迹是作线段$BC$的垂直平分线，垂直平分线的交点是三角形的外心，不符合内心的要求；
选项B：作图痕迹是作某条边的垂直平分线，不是角平分线，不符合要求；
选项C：作图痕迹是作$∠ C$的角平分线，与$AD$（即$∠ BAC$的角平分线）交于点$O$，符合内心的定义，作图正确；
选项D：作图痕迹是作线段$AC$的垂直平分线，不是角平分线，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心定义；等腰三角形的性质；尺规作角平分线
【点评】
本题是基础概念应用题，需要准确掌握三角形内心的定义、等腰三角形三线合一的性质，同时能区分尺规作角平分线和作线段垂直平分线的痕迹，即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.7
要确定△ABC的内心，首先明确内心的定义：三角形的内心是三个内角角平分线的交点。已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，AD已经是顶角∠BAC的角平分线，因此只需要再作出一个底角的角平分线，它与AD的交点即为内心。接下来逐一判断各选项的作图痕迹，区分尺规作角平分线和作垂直平分线的痕迹，判断哪个是作底角的角平分线即可。
【解析】
三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点。
已知$AB=AC$，$AD$是$BC$边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，$AD$平分$∠ BAC$，因此只需再作出$∠ B$或$∠ C$的角平分线，两条角平分线的交点就是$△ ABC$的内心。
对各选项分析如下：
选项A：作图痕迹是作线段$BC$的垂直平分线，垂直平分线的交点是三角形的外心，不符合内心的要求；
选项B：作图痕迹是作某条边的垂直平分线，不是角平分线，不符合要求；
选项C：作图痕迹是作$∠ C$的角平分线，与$AD$（即$∠ BAC$的角平分线）交于点$O$，符合内心的定义，作图正确；
选项D：作图痕迹是作线段$AC$的垂直平分线，不是角平分线，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心定义；等腰三角形的性质；尺规作角平分线
【点评】
本题是基础概念应用题，需要准确掌握三角形内心的定义、等腰三角形三线合一的性质，同时能区分尺规作角平分线和作线段垂直平分线的痕迹，即可快速判断正确选项。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知AP、CP分别平分∠BAC、∠DCA。如果△PAC的高PE＝8 cm，那么点P到直线AB、CD的距离分别等于多少？
答案
2. 8 cm，8 cm.
解析
【分析】
解题时首先提取题干条件：AP平分∠BAC、CP平分∠DCA，PE是△PAC的高即P到AC的距离为8cm，要求P到AB、CD的距离。我们回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先看∠BAC的两边是AB和AC，P在角平分线AP上，因此P到AB的距离等于P到AC的距离PE；再看∠DCA的两边是AC和CD，P在角平分线CP上，因此P到CD的距离也等于PE，据此即可求出两个距离。
【解析】
过点P作PF⊥AB于点F，作PG⊥CD于点G。
1. 因为AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $ PF = PE = 8\ \mathrm{cm} $，即点P到直线AB的距离为8 cm。
2. 因为CP平分∠DCA，PE⊥AC，PG⊥CD，同理可得 $ PG = PE = 8\ \mathrm{cm} $，即点P到直线CD的距离为8 cm。
【答案】
8 cm，8 cm
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，解题的关键是明确角平分线对应的两条边，结合点到直线距离的定义，利用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干条件：AP平分∠BAC、CP平分∠DCA，PE是△PAC的高即P到AC的距离为8cm，要求P到AB、CD的距离。我们回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先看∠BAC的两边是AB和AC，P在角平分线AP上，因此P到AB的距离等于P到AC的距离PE；再看∠DCA的两边是AC和CD，P在角平分线CP上，因此P到CD的距离也等于PE，据此即可求出两个距离。
【解析】
过点P作PF⊥AB于点F，作PG⊥CD于点G。
1. 因为AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 $ PF = PE = 8\ \mathrm{cm} $，即点P到直线AB的距离为8 cm。
2. 因为CP平分∠DCA，PE⊥AC，PG⊥CD，同理可得 $ PG = PE = 8\ \mathrm{cm} $，即点P到直线CD的距离为8 cm。
【答案】
8 cm，8 cm
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，解题的关键是明确角平分线对应的两条边，结合点到直线距离的定义，利用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知：线段a及∠O. 在∠O内部求作一点P，使点P到∠O两边的距离相等，且OP=a.
答案
3. 图略. 提示：以点O为圆心、以线段a的长为半径作圆，这个圆与∠O的平分线的交点就是所求作的点P.
解析
【分析】
解题时先拆解题目要求的两个条件：一是点P到∠O两边的距离相等，二是OP=a。首先根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此P一定在∠O的角平分线上；再根据圆的定义，到定点O距离等于定长a的点都在以O为圆心、a为半径的圆上。同时满足两个条件的点就是两条轨迹的交点，结合P在∠O内部的要求，即可确定点P的位置。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠O的角平分线：
①以O为圆心，取任意适当长度为半径画弧，分别与∠O的两条边交于两点；
②分别以上述两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠O内部交于一点，过O和该交点作射线，即为∠O的角平分线。
2. 用圆规量取线段a的长度，以O为圆心、a为半径画弧，与上述角平分线在∠O内部的交点即为所求的点P。
【答案】
图略，作图方法：先作∠O的平分线，再以O为圆心、线段a的长为半径作弧，二者在∠O内部的交点即为点P。
【知识点】
角平分线的性质；尺规作图；圆的定义
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，解题关键是将题目给出的约束条件转化为对应的几何轨迹，通过求轨迹交点得到所求点，能够很好地检验对几何基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先拆解题目要求的两个条件：一是点P到∠O两边的距离相等，二是OP=a。首先根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此P一定在∠O的角平分线上；再根据圆的定义，到定点O距离等于定长a的点都在以O为圆心、a为半径的圆上。同时满足两个条件的点就是两条轨迹的交点，结合P在∠O内部的要求，即可确定点P的位置。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠O的角平分线：
①以O为圆心，取任意适当长度为半径画弧，分别与∠O的两条边交于两点；
②分别以上述两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠O内部交于一点，过O和该交点作射线，即为∠O的角平分线。
2. 用圆规量取线段a的长度，以O为圆心、a为半径画弧，与上述角平分线在∠O内部的交点即为所求的点P。
【答案】
图略，作图方法：先作∠O的平分线，再以O为圆心、线段a的长为半径作弧，二者在∠O内部的交点即为点P。
【知识点】
角平分线的性质；尺规作图；圆的定义
【点评】
本题是基础的尺规作图综合题，解题关键是将题目给出的约束条件转化为对应的几何轨迹，通过求轨迹交点得到所求点，能够很好地检验对几何基本性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
