登录
1.一名同学用三根木棒拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个图形符合三角形的概念，首先需要明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的封闭图形叫做三角形。我们只需要依据定义中的几个关键要素：三条线段、不在同一直线、首尾顺次相接、封闭图形，逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
我们结合三角形的定义逐一分析选项：
A选项：竖直木棒的中部与斜向木棒的端点相接，不符合“首尾顺次相接”的要求，不属于三角形；
B选项：三根木棒两两相交于木棒的中部，没有做到首尾顺次相接，不属于三角形；
C选项：右侧木棒的下端点接在底部木棒的中部，不符合“首尾顺次相接”的要求，不属于三角形；
D选项：三根木棒不在同一直线上，且首尾顺次相接围成了封闭图形，符合三角形的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握三角形定义的几个关键特征，在判断时紧扣定义要素即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形符合三角形的概念，首先需要明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的封闭图形叫做三角形。我们只需要依据定义中的几个关键要素：三条线段、不在同一直线、首尾顺次相接、封闭图形，逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
我们结合三角形的定义逐一分析选项：
A选项：竖直木棒的中部与斜向木棒的端点相接，不符合“首尾顺次相接”的要求，不属于三角形；
B选项：三根木棒两两相交于木棒的中部，没有做到首尾顺次相接，不属于三角形；
C选项：右侧木棒的下端点接在底部木棒的中部，不符合“首尾顺次相接”的要求，不属于三角形；
D选项：三根木棒不在同一直线上，且首尾顺次相接围成了封闭图形，符合三角形的定义。
【答案】
D
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握三角形定义的几个关键特征，在判断时紧扣定义要素即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 观察图形，并填空.
(1)图中共有
(2)图中以AB为边的三角形分别是
(1)图中共有
3
个三角形,其中$△ ABD$的三边分别是AB, BD 和 AD
;$△ ABC$的三个角分别是∠BAC, ∠B(或∠ABC)和∠C(或∠ACB)
.(2)图中以AB为边的三角形分别是
△ABC 和△ABD
;以$∠ C$为内角的三角形分别是△ABC 和△ACD
;在$△ ACD$中,边AC所对的角是∠ADC
.答案
2.(1)3;AB, BD 和 AD;∠BAC, ∠B(或∠ABC)和∠C(或∠ACB)
(2)△ABC 和△ABD;△ABC 和△ACD;∠ADC
(2)△ABC 和△ABD;△ABC 和△ACD;∠ADC
解析
【分析】
解决本题首先要回忆三角形的相关定义：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形；②组成三角形的三条线段是三角形的边；③三角形相邻两边组成的角是三角形的内角；④三角形中一条边所对的角是不包含这条边两个端点的内角。解题时先按顺序数三角形（可按从小到大或者以某条边为公共边分类计数，避免漏数、多数），再根据对应的定义找边、角即可。
【解析】
(1) 计数三角形：先数单个小三角形，有△ABD、△ACD，再数由两个小三角形组成的大三角形△ABC，合计共3个三角形。
△ABD由线段AB、BD、AD首尾顺次连接组成，因此三边为AB、BD、AD。
△ABC的三个内角是三个顶点处的内角，分别是顶点A处的∠BAC，顶点B处的∠B（也可写作∠ABC），顶点C处的∠C（也可写作∠ACB）。
(2) 筛选以AB为边的三角形：观察所有三角形，△ABD、△ABC都包含AB边，符合要求。
筛选以∠C为内角的三角形：△ABC、△ACD的内角都包含∠C，符合要求。
在△ACD中，边AC的两个端点是A和C，剩余顶点是D，因此AC所对的角是顶点D处的∠ADC。
【答案】
(1)3;AB, BD 和 AD;∠BAC, ∠B(或∠ABC)和∠C(或∠ACB)
(2)△ABC 和△ABD;△ABC 和△ACD;∠ADC
【知识点】
三角形的计数，三角形的边与角，对角识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时注意按顺序计数三角形避免漏数或多数，牢记三角形边、内角、对边的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆三角形的相关定义：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形；②组成三角形的三条线段是三角形的边；③三角形相邻两边组成的角是三角形的内角；④三角形中一条边所对的角是不包含这条边两个端点的内角。解题时先按顺序数三角形（可按从小到大或者以某条边为公共边分类计数，避免漏数、多数），再根据对应的定义找边、角即可。
【解析】
(1) 计数三角形：先数单个小三角形，有△ABD、△ACD，再数由两个小三角形组成的大三角形△ABC，合计共3个三角形。
△ABD由线段AB、BD、AD首尾顺次连接组成，因此三边为AB、BD、AD。
△ABC的三个内角是三个顶点处的内角，分别是顶点A处的∠BAC，顶点B处的∠B（也可写作∠ABC），顶点C处的∠C（也可写作∠ACB）。
(2) 筛选以AB为边的三角形：观察所有三角形，△ABD、△ABC都包含AB边，符合要求。
筛选以∠C为内角的三角形：△ABC、△ACD的内角都包含∠C，符合要求。
在△ACD中，边AC的两个端点是A和C，剩余顶点是D，因此AC所对的角是顶点D处的∠ADC。
【答案】
(1)3;AB, BD 和 AD;∠BAC, ∠B(或∠ABC)和∠C(或∠ACB)
(2)△ABC 和△ABD;△ABC 和△ACD;∠ADC
【知识点】
三角形的计数，三角形的边与角，对角识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时注意按顺序计数三角形避免漏数或多数，牢记三角形边、内角、对边的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 如图是三角形的分类图，下列说法正确的是（
A.M 表示等腰三角形，N 表示等边三角形，P 表示不等边三角形
B.M 表示等边三角形，N 表示等腰三角形，P 表示不等边三角形
C.M 表示不等边三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形
D.M 表示不等边三角形，N 表示等边三角形，P 表示等腰三角形
D
）A.M 表示等腰三角形，N 表示等边三角形，P 表示不等边三角形
B.M 表示等边三角形，N 表示等腰三角形，P 表示不等边三角形
C.M 表示不等边三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形
D.M 表示不等边三角形，N 表示等边三角形，P 表示等腰三角形
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形按边分类的层级关系：三角形按边首先分为两类，分别是不等边三角形、等腰三角形，其中等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集。再结合韦恩图的逻辑关系判断：整个大圆代表全部三角形，M和（P+N）是并列互斥的两类，属于第一层级的分类；N完全包含在P内部，说明N是P的特殊类型，属于第二层级的分类。将分类关系和图形对应后即可匹配选项。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
1. 第一层级分类：分为不等边三角形（三边都不相等）和等腰三角形（至少有两边相等），二者为并列关系，覆盖所有三角形；
2. 第二层级分类：等腰三角形又分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形（三边都相等），其中等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集。
结合题图：
①M和（P+N）是第一层级的并列分类，因此M为不等边三角形，剩余的P+N对应等腰三角形范畴；
②N是P内部的子集，因此P为等腰三角形，N为特殊的等腰三角形即等边三角形。
综上可知M表示不等边三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类；等腰与等边三角形的包含关系；韦恩图含义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查三角形按边分类的层级逻辑，解题时要先明确分类的先后顺序，再结合韦恩图的并列、包含关系对应不同类型的三角形，熟记分类标准是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形按边分类的层级关系：三角形按边首先分为两类，分别是不等边三角形、等腰三角形，其中等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集。再结合韦恩图的逻辑关系判断：整个大圆代表全部三角形，M和（P+N）是并列互斥的两类，属于第一层级的分类；N完全包含在P内部，说明N是P的特殊类型，属于第二层级的分类。将分类关系和图形对应后即可匹配选项。
【解析】
三角形按边的相等关系分类如下：
1. 第一层级分类：分为不等边三角形（三边都不相等）和等腰三角形（至少有两边相等），二者为并列关系，覆盖所有三角形；
2. 第二层级分类：等腰三角形又分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形（三边都相等），其中等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集。
结合题图：
①M和（P+N）是第一层级的并列分类，因此M为不等边三角形，剩余的P+N对应等腰三角形范畴；
②N是P内部的子集，因此P为等腰三角形，N为特殊的等腰三角形即等边三角形。
综上可知M表示不等边三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形，对应选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类；等腰与等边三角形的包含关系；韦恩图含义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查三角形按边分类的层级逻辑，解题时要先明确分类的先后顺序，再结合韦恩图的并列、包含关系对应不同类型的三角形，熟记分类标准是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. [2025·合肥瑶海区期末]下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（
A.3,4,8
B.5,6,11
C.7,8,14
D.2,4,2
C
）A.3,4,8
B.5,6,11
C.7,8,14
D.2,4,2
答案
4.C
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。解题时可以用简便方法减少计算量：先找出三条线段中的最长边，只需验证另外两条较短线段的和是否大于最长边即可，因为若较短两边之和大于最长边，那么剩余的两边之和组合必然也满足大于第三边的要求。接下来我们逐个验证选项即可得出正确答案。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，采用简便判断方法：比较较短两边之和与最长边的大小。
A选项：三条线段长为3，4，8，最长边是8，较短两边和为3+4=7，7＜8，不满足要求，不能组成三角形；
B选项：三条线段长为5，6，11，最长边是11，较短两边和为5+6=11，11=11，不满足“大于”的要求，不能组成三角形；
C选项：三条线段长为7，8，14，最长边是14，较短两边和为7+8=15，15＞14，满足要求，可以组成三角形；
D选项：三条线段长为2，4，2，最长边是4，较短两边和为2+2=4，4=4，不满足“大于”的要求，不能组成三角形。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形三边关系的实际应用，解题时掌握“较短两边之和大于最长边”的简便判断方法可以快速得到答案，需要特别注意的是，当两边之和等于第三边时，三条线段无法构成三角形，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。解题时可以用简便方法减少计算量：先找出三条线段中的最长边，只需验证另外两条较短线段的和是否大于最长边即可，因为若较短两边之和大于最长边，那么剩余的两边之和组合必然也满足大于第三边的要求。接下来我们逐个验证选项即可得出正确答案。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，采用简便判断方法：比较较短两边之和与最长边的大小。
A选项：三条线段长为3，4，8，最长边是8，较短两边和为3+4=7，7＜8，不满足要求，不能组成三角形；
B选项：三条线段长为5，6，11，最长边是11，较短两边和为5+6=11，11=11，不满足“大于”的要求，不能组成三角形；
C选项：三条线段长为7，8，14，最长边是14，较短两边和为7+8=15，15＞14，满足要求，可以组成三角形；
D选项：三条线段长为2，4，2，最长边是4，较短两边和为2+2=4，4=4，不满足“大于”的要求，不能组成三角形。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，核心考查三角形三边关系的实际应用，解题时掌握“较短两边之和大于最长边”的简便判断方法可以快速得到答案，需要特别注意的是，当两边之和等于第三边时，三条线段无法构成三角形，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.9
5. [易错题][教材P71习题13.1第1题改编]
如果三角形的两边长分别为5和8，第三边长为奇数，那么这个三角形的周长不可能是
（
A.26
B.24
C.22
D.20
如果三角形的两边长分别为5和8，第三边长为奇数，那么这个三角形的周长不可能是
（
A
）A.26
B.24
C.22
D.20
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合“第三边长为奇数”的条件筛选出所有符合要求的第三边长度，最后计算对应周长，对比选项即可找出不可能的周长值。第一步先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；第二步代入已知两边求出第三边范围；第三步筛选奇数，计算周长对比选项。
【解析】
设三角形第三边长为$ x $。
根据三角形三边关系可得：
$ 8 - 5 ＜ x ＜ 8 + 5 $
即 $ 3 ＜ x ＜ 13 $
已知第三边长为奇数，因此$ x $的可能取值为：5、7、9、11。
三角形的周长为三边之和，即$ 周长 = 5 + 8 + x = 13 + x $，代入$ x $的取值可得对应周长：
当$ x=5 $时，周长为$ 13+5=18 $；
当$ x=7 $时，周长为$ 13+7=20 $；
当$ x=9 $时，周长为$ 13+9=22 $；
当$ x=11 $时，周长为$ 13+11=24 $。
对比选项可知，周长不可能为26。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系；奇数的认识；三角形周长计算
【点评】
本题是易错题，解题时容易出现两种错误：一是忽略三边关系的限制，错误扩大第三边的取值范围；二是没看清题干要求选“不可能”的选项，导致误选符合要求的答案。解题时要严格按照三边关系确定取值范围，仔细审题即可得分。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合“第三边长为奇数”的条件筛选出所有符合要求的第三边长度，最后计算对应周长，对比选项即可找出不可能的周长值。第一步先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；第二步代入已知两边求出第三边范围；第三步筛选奇数，计算周长对比选项。
【解析】
设三角形第三边长为$ x $。
根据三角形三边关系可得：
$ 8 - 5 ＜ x ＜ 8 + 5 $
即 $ 3 ＜ x ＜ 13 $
已知第三边长为奇数，因此$ x $的可能取值为：5、7、9、11。
三角形的周长为三边之和，即$ 周长 = 5 + 8 + x = 13 + x $，代入$ x $的取值可得对应周长：
当$ x=5 $时，周长为$ 13+5=18 $；
当$ x=7 $时，周长为$ 13+7=20 $；
当$ x=9 $时，周长为$ 13+9=22 $；
当$ x=11 $时，周长为$ 13+11=24 $。
对比选项可知，周长不可能为26。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系；奇数的认识；三角形周长计算
【点评】
本题是易错题，解题时容易出现两种错误：一是忽略三边关系的限制，错误扩大第三边的取值范围；二是没看清题干要求选“不可能”的选项，导致误选符合要求的答案。解题时要严格按照三边关系确定取值范围，仔细审题即可得分。
【难度系数】
0.7
变式训练
第三边的长为奇数→第三边的长为偶数
若一个三角形的两边长分别为3和9，第三边长为偶数，则第三边长为
第三边的长为奇数→第三边的长为偶数
若一个三角形的两边长分别为3和9，第三边长为偶数，则第三边长为
8或10
。答案
【变式训练】8或10
解析
【分析】
解题时首先要用到三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。第一步先根据已知的两条边长，列出关于第三边的不等式，求出第三边的取值范围；第二步再结合题目给出的“第三边长为偶数”的限制条件，从取值范围内筛选出符合要求的偶数即可。
【解析】
设第三边的长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 9 - 3 ＜ x ＜ 9 + 3 $
即$ 6 ＜ x ＜ 12 $
已知第三边长为偶数，因此在$ 6 ＜ x ＜ 12 $范围内的偶数为8和10。
【答案】
8或10
【知识点】
三角形三边关系，偶数的概念
【点评】
本题属于三角形边长计算的基础题型，解题核心是先利用三边关系确定未知边的取值范围，再结合限定条件筛选结果，注意取值范围不包含端点，避免出现多算6、12或者漏解的问题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要用到三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。第一步先根据已知的两条边长，列出关于第三边的不等式，求出第三边的取值范围；第二步再结合题目给出的“第三边长为偶数”的限制条件，从取值范围内筛选出符合要求的偶数即可。
【解析】
设第三边的长为$ x $，根据三角形三边关系可得：
$ 9 - 3 ＜ x ＜ 9 + 3 $
即$ 6 ＜ x ＜ 12 $
已知第三边长为偶数，因此在$ 6 ＜ x ＜ 12 $范围内的偶数为8和10。
【答案】
8或10
【知识点】
三角形三边关系，偶数的概念
【点评】
本题属于三角形边长计算的基础题型，解题核心是先利用三边关系确定未知边的取值范围，再结合限定条件筛选结果，注意取值范围不包含端点，避免出现多算6、12或者漏解的问题。
【难度系数】
0.8
6. [教材P72习题13.1第7题改编]若三角形的三边长分别为$3,2a-1,8$,则$a$的取值范围是
$3＜a＜6$
.答案
6.$3＜a＜6$
解析
【分析】
要确定a的取值范围，需运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条确定的边长为3和8，因此第三条边长2a-1需要满足“两边之差＜第三边＜两边之和”的关系，列出关于a的不等式后求解即可。
【解析】
根据三角形三边关系，可得：
$8 - 3 ＜ 2a - 1 ＜ 8 + 3$
化简不等式得：
$5 ＜ 2a - 1 ＜ 11$
不等式三边同时加1，得：
$6 ＜ 2a ＜ 12$
不等式三边同时除以2，得：
$3 ＜ a ＜ 6$
【答案】
$3＜a＜6$
【知识点】
三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握三角形三边的大小关系，正确列出关于未知边长的不等式，求解时注意不等式的运算规则即可。
【难度系数】
0.7
要确定a的取值范围，需运用三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条确定的边长为3和8，因此第三条边长2a-1需要满足“两边之差＜第三边＜两边之和”的关系，列出关于a的不等式后求解即可。
【解析】
根据三角形三边关系，可得：
$8 - 3 ＜ 2a - 1 ＜ 8 + 3$
化简不等式得：
$5 ＜ 2a - 1 ＜ 11$
不等式三边同时加1，得：
$6 ＜ 2a ＜ 12$
不等式三边同时除以2，得：
$3 ＜ a ＜ 6$
【答案】
$3＜a＜6$
【知识点】
三角形三边关系；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握三角形三边的大小关系，正确列出关于未知边长的不等式，求解时注意不等式的运算规则即可。
【难度系数】
0.7
7. 判断以下列长度的三条线段为边能否构成三角形，并说明理由.
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)5 cm,8 cm,2 cm；
(3)三条线段长度之比为$4:5:6$；
(4)$a+1,a+2,a+3(a＞0)$.
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)5 cm,8 cm,2 cm；
(3)三条线段长度之比为$4:5:6$；
(4)$a+1,a+2,a+3(a＞0)$.
答案
7.(1)(3)(4)能构成三角形,(2)不能构成三角形.理由略.
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，实际判断时只需先找出三条线段中的最长边，再验证另外两条较短线段的长度之和是否大于最长边即可：若满足则可构成三角形，若不满足则不能构成三角形。对于含比例、含参数的线段，先结合条件表示出三边长度，再按上述方法判断即可。
【解析】
判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较短两边之和大于最长边。
(1) 三条线段中最长边为10 cm，较短两边之和为6+8=14 cm，14＞10，满足三边关系，因此可以构成三角形。
(2) 三条线段中最长边为8 cm，较短两边之和为5+2=7 cm，7＜8，不满足三边关系，因此不能构成三角形。
(3) 设三条线段的长度分别为4k、5k、6k（k＞0），最长边为6k，较短两边之和为4k+5k=9k，9k＞6k，满足三边关系，因此可以构成三角形。
(4) 已知a＞0，三条线段中最长边为a+3，较短两边之和为(a+1)+(a+2)=2a+3，因为a＞0，所以2a+3 ＞ a+3，满足三边关系，因此可以构成三角形。
【答案】
(1)(3)(4)能构成三角形,(2)不能构成三角形。
【知识点】
1.三角形三边关系
2.比例的应用
3.代数式大小比较
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，解题时采用“验证较短两边之和大于最长边”的方法可简化计算步骤，遇到含参数的题目要注意结合参数的取值范围进行推导，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，实际判断时只需先找出三条线段中的最长边，再验证另外两条较短线段的长度之和是否大于最长边即可：若满足则可构成三角形，若不满足则不能构成三角形。对于含比例、含参数的线段，先结合条件表示出三边长度，再按上述方法判断即可。
【解析】
判断依据：三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较短两边之和大于最长边。
(1) 三条线段中最长边为10 cm，较短两边之和为6+8=14 cm，14＞10，满足三边关系，因此可以构成三角形。
(2) 三条线段中最长边为8 cm，较短两边之和为5+2=7 cm，7＜8，不满足三边关系，因此不能构成三角形。
(3) 设三条线段的长度分别为4k、5k、6k（k＞0），最长边为6k，较短两边之和为4k+5k=9k，9k＞6k，满足三边关系，因此可以构成三角形。
(4) 已知a＞0，三条线段中最长边为a+3，较短两边之和为(a+1)+(a+2)=2a+3，因为a＞0，所以2a+3 ＞ a+3，满足三边关系，因此可以构成三角形。
【答案】
(1)(3)(4)能构成三角形,(2)不能构成三角形。
【知识点】
1.三角形三边关系
2.比例的应用
3.代数式大小比较
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，解题时采用“验证较短两边之和大于最长边”的方法可简化计算步骤，遇到含参数的题目要注意结合参数的取值范围进行推导，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.8
