登录
9.如图，在$□ ABCD$中，$∠ C=110°$，$AB=2$，以AB为直径的$\odot O$交BC于点E，则$\overset{\frown}{AE}$的长为（
A.$\frac{π}{9}$
B.$\frac{7π}{18}$
C.$\frac{7π}{9}$
D.$\frac{2π}{9}$
C
）A.$\frac{π}{9}$
B.$\frac{7π}{18}$
C.$\frac{7π}{9}$
D.$\frac{2π}{9}$
答案
9.C
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{AE}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定两个未知量：$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角度数，以及$\odot O$的半径。首先利用平行四边形邻角互补的性质求出$∠ B$的度数，再结合同圆半径相等得到等腰$△ OBE$，求出$∠ BOE$的度数，进而得到$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角$∠ AOE$的度数，再根据$AB$的长度得到半径，最后代入公式计算即可。
【解析】
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$∠ C=110°$
$\therefore ∠ B + ∠ C = 180°$，得$∠ B = 180° - 110° = 70°$
$\because OB$、$OE$都是$\odot O$的半径
$\therefore OB=OE$，即$△ OBE$是等腰三角形
$\therefore ∠ OEB = ∠ B = 70°$
$\therefore ∠ BOE = 180° - ∠ B - ∠ OEB = 180° - 70° -70° =40°$
$\therefore \overset{\frown}{AE}$所对的圆心角$∠ AOE = 180° - ∠ BOE = 180° -40°=140°$
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AB=2$
$\therefore \odot O$的半径$r = \frac{AB}{2}=1$
代入弧长公式得：$\overset{\frown}{AE}$的长$l=\frac{140×π×1}{180}=\frac{7π}{9}$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，弧长的计算
【点评】
本题属于基础综合题，将平行四边形、等腰三角形和弧长计算的知识点结合考查，解题的核心是准确求出弧对应的圆心角度数，熟记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求$\overset{\frown}{AE}$的长，需使用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定两个未知量：$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角度数，以及$\odot O$的半径。首先利用平行四边形邻角互补的性质求出$∠ B$的度数，再结合同圆半径相等得到等腰$△ OBE$，求出$∠ BOE$的度数，进而得到$\overset{\frown}{AE}$对应的圆心角$∠ AOE$的度数，再根据$AB$的长度得到半径，最后代入公式计算即可。
【解析】
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$∠ C=110°$
$\therefore ∠ B + ∠ C = 180°$，得$∠ B = 180° - 110° = 70°$
$\because OB$、$OE$都是$\odot O$的半径
$\therefore OB=OE$，即$△ OBE$是等腰三角形
$\therefore ∠ OEB = ∠ B = 70°$
$\therefore ∠ BOE = 180° - ∠ B - ∠ OEB = 180° - 70° -70° =40°$
$\therefore \overset{\frown}{AE}$所对的圆心角$∠ AOE = 180° - ∠ BOE = 180° -40°=140°$
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AB=2$
$\therefore \odot O$的半径$r = \frac{AB}{2}=1$
代入弧长公式得：$\overset{\frown}{AE}$的长$l=\frac{140×π×1}{180}=\frac{7π}{9}$
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，弧长的计算
【点评】
本题属于基础综合题，将平行四边形、等腰三角形和弧长计算的知识点结合考查，解题的核心是准确求出弧对应的圆心角度数，熟记弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10. [2025苏州中考改编]“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m（即最高点离水面平台MN的距离），圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发直到到达点B，所经过的路径(即$\overset{\frown}{AB}$)长度为$40π$ m，则该轿厢从点A到点B所用的时间为
10
min.答案
10.10
解析
【分析】
要计算轿厢从点A到点B的时间，已知摩天轮匀速旋转一圈用时30min，只需先求出弧$\overset{\frown}{AB}$的长度占整个圆周长的比例，再用总时间乘该比例即可。首先根据最高点到水面的距离和圆心到水面的距离求出摩天轮的半径，其次计算圆的周长，然后求出弧$\overset{\frown}{AB}$占周长的比例，最后结合总时间算出运动时间。
【解析】
1. 求摩天轮的半径$r$：
摩天轮最高点离水面平台$MN$的距离为128m，圆心$O$到$MN$的距离为68m，因此半径$r=128-68=60\ \mathrm{m}$。
2. 计算摩天轮旋转一周的周长$C$：
根据圆的周长公式$C=2π r$，代入$r=60$得：
$C=2π×60=120π\ \mathrm{m}$。
3. 计算轿厢从A到B的运动时间：
摩天轮匀速旋转，运动时间与经过的弧长成正比。设所求时间为$t$，则：
$\frac{t}{30}=\frac{40π}{120π}$
化简得$\frac{t}{30}=\frac{1}{3}$，解得$t=10\ \mathrm{min}$。
【答案】
10
【知识点】
圆的周长计算，弧长应用，比例的应用
【点评】
本题以生活中的摩天轮为背景，将圆的相关知识与匀速运动规律结合，解题关键是正确求出摩天轮的半径，再利用弧长与周长的比例关系求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
要计算轿厢从点A到点B的时间，已知摩天轮匀速旋转一圈用时30min，只需先求出弧$\overset{\frown}{AB}$的长度占整个圆周长的比例，再用总时间乘该比例即可。首先根据最高点到水面的距离和圆心到水面的距离求出摩天轮的半径，其次计算圆的周长，然后求出弧$\overset{\frown}{AB}$占周长的比例，最后结合总时间算出运动时间。
【解析】
1. 求摩天轮的半径$r$：
摩天轮最高点离水面平台$MN$的距离为128m，圆心$O$到$MN$的距离为68m，因此半径$r=128-68=60\ \mathrm{m}$。
2. 计算摩天轮旋转一周的周长$C$：
根据圆的周长公式$C=2π r$，代入$r=60$得：
$C=2π×60=120π\ \mathrm{m}$。
3. 计算轿厢从A到B的运动时间：
摩天轮匀速旋转，运动时间与经过的弧长成正比。设所求时间为$t$，则：
$\frac{t}{30}=\frac{40π}{120π}$
化简得$\frac{t}{30}=\frac{1}{3}$，解得$t=10\ \mathrm{min}$。
【答案】
10
【知识点】
圆的周长计算，弧长应用，比例的应用
【点评】
本题以生活中的摩天轮为背景，将圆的相关知识与匀速运动规律结合，解题关键是正确求出摩天轮的半径，再利用弧长与周长的比例关系求解，考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
11.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ ABC=60°$,$AB=12\ \mathrm{cm}$,将$△ ABC$以点$B$为旋转中心顺时针旋转,使点$C$旋转到边$AB$延长线上的点$D$处,则边$AC$扫过的图形(阴影部分)的面积是
36π
$\mathrm{cm}^2$.(结果保留$π$)答案
11.36π
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察阴影是AC旋转扫过的不规则区域，可利用旋转的性质转化为规则图形面积差求解：旋转前后三角形全等，所以△ABC和△EBD面积相等，抵消后阴影面积等于大扇形ABE与小扇形CBD的面积差。首先根据直角三角形边角关系求出BC的长度，再确定两个扇形的圆心角（即旋转角），最后代入扇形面积公式计算差值即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$AB=12\ \mathrm{cm}$
$\therefore ∠ BAC=30°$，$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{cm}$
由旋转的性质可得：$△ ABC≌△ EBD$，旋转角$∠ ABE=∠ CBD=180°-60°=120°$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ EBD}$
阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}ABE}+S_{△ EBD}-S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}CBD}\\&=S_{\mathrm{扇形}ABE}-S_{\mathrm{扇形}CBD}\end{aligned}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$：
$S_{\mathrm{扇形}ABE}=\frac{120π×12^2}{360}=48π\ \mathrm{cm}^2$
$S_{\mathrm{扇形}CBD}=\frac{120π×6^2}{360}=12π\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=48π-12π=36π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$36π$
【知识点】
扇形面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则扇形的面积差，大大简化计算过程，解题时要熟练运用旋转前后图形全等、对应边对应角相等的性质。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，首先观察阴影是AC旋转扫过的不规则区域，可利用旋转的性质转化为规则图形面积差求解：旋转前后三角形全等，所以△ABC和△EBD面积相等，抵消后阴影面积等于大扇形ABE与小扇形CBD的面积差。首先根据直角三角形边角关系求出BC的长度，再确定两个扇形的圆心角（即旋转角），最后代入扇形面积公式计算差值即可。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，$AB=12\ \mathrm{cm}$
$\therefore ∠ BAC=30°$，$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=6\ \mathrm{cm}$
由旋转的性质可得：$△ ABC≌△ EBD$，旋转角$∠ ABE=∠ CBD=180°-60°=120°$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ EBD}$
阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=S_{\mathrm{扇形}ABE}+S_{△ EBD}-S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}CBD}\\&=S_{\mathrm{扇形}ABE}-S_{\mathrm{扇形}CBD}\end{aligned}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$：
$S_{\mathrm{扇形}ABE}=\frac{120π×12^2}{360}=48π\ \mathrm{cm}^2$
$S_{\mathrm{扇形}CBD}=\frac{120π×6^2}{360}=12π\ \mathrm{cm}^2$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=48π-12π=36π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$36π$
【知识点】
扇形面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则扇形的面积差，大大简化计算过程，解题时要熟练运用旋转前后图形全等、对应边对应角相等的性质。
【难度系数】
0.7
12.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=2$,$AC=4$,$O$为$BC$的中点,以点$O$为圆心、$OB$长为半径作半圆,交$AC$于点$D$,则图中阴影部分的面积是$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
12.$\frac{5\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{2}$
解析
【分析】
本题是不规则阴影面积的求解问题，采用“割补法”中整体减空白的思路解题：首先结合直角三角形已知边长求出角的度数和BC的长度，得到半圆半径；再连接OD，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出扇形的圆心角；最后分别计算Rt△ABC、△OCD、扇形BOD的面积，用△ABC的面积减去△OCD和扇形BOD的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：连接OD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
∴ $\sin C=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ C=30°$，
由勾股定理得 $BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵ O是BC的中点，
∴ $OC=OB=OD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，
∵ OC=OD，
∴ $∠ ODC=∠ C=30°$，
∴ $∠ BOD=∠ C+∠ ODC=60°$，
过D作$DE⊥ BC$于点E，在Rt△ODE中，$∠ DOE=60°$，$OD=\sqrt{3}$，
∴ $DE=OD·\sin60°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$，
分别计算各部分面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× DE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
$S_{扇形BOD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{π}{2}$，
∴ $S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{△ OCD}-S_{扇形BOD}=2\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{2}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{2}$
【知识点】
直角三角形性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题是几何计算的常见题型，核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时需要熟练运用直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点，理清图形间的面积关系即可求解。
【难度系数】
0.6
本题是不规则阴影面积的求解问题，采用“割补法”中整体减空白的思路解题：首先结合直角三角形已知边长求出角的度数和BC的长度，得到半圆半径；再连接OD，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出扇形的圆心角；最后分别计算Rt△ABC、△OCD、扇形BOD的面积，用△ABC的面积减去△OCD和扇形BOD的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
解：连接OD，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，
∴ $\sin C=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴ $∠ C=30°$，
由勾股定理得 $BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
∵ O是BC的中点，
∴ $OC=OB=OD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，
∵ OC=OD，
∴ $∠ ODC=∠ C=30°$，
∴ $∠ BOD=∠ C+∠ ODC=60°$，
过D作$DE⊥ BC$于点E，在Rt△ODE中，$∠ DOE=60°$，$OD=\sqrt{3}$，
∴ $DE=OD·\sin60°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$，
分别计算各部分面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
$S_{△ OCD}=\frac{1}{2}× OC× DE=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
$S_{扇形BOD}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×(\sqrt{3})^2}{360}=\frac{π}{2}$，
∴ $S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{△ OCD}-S_{扇形BOD}=2\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{2}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{3}}{4}-\frac{π}{2}$
【知识点】
直角三角形性质，扇形面积计算，割补法求阴影面积
【点评】
本题是几何计算的常见题型，核心是将不规则阴影面积转化为规则图形面积的和差，解题时需要熟练运用直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点，理清图形间的面积关系即可求解。
【难度系数】
0.6
13. 新情境 “五一”国际劳动节即将来临，为落实劳动培养计划，小谷决定利用“五一”假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其中还蕴含了数学知识. 如图①，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图②，∠DBE=∠BEF=120°, BD=6 cm. 当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD'，此时BD'//EF（如图③）.
(1)求点D转动到点D'的路径长；
(2)求点D到直线BD'的距离(结果精确到0.1 cm).（参考数据：$\sqrt{3}≈1.732$）
(1)求点D转动到点D'的路径长；
(2)求点D到直线BD'的距离(结果精确到0.1 cm).（参考数据：$\sqrt{3}≈1.732$）
答案
13.解：(1)点D转动到点D'的路径长为$2π$ cm.
(2)点D到直线BD'的距离约为5.2 cm.
(2)点D到直线BD'的距离约为5.2 cm.
解析
【分析】
（1）点D转动到D'的路径是以B为圆心、BD长为半径的圆弧，求弧长需先确定旋转角和半径：首先根据平行线的性质求出∠D'BE的度数，结合已知∠DBE的度数算出旋转角∠DBD'，再代入弧长公式计算即可。
（2）求点D到直线BD'的距离，可过D作BD'的垂线段，该垂线段就是所求距离，在直角三角形中利用三角函数即可求出其长度。
【解析】
(1)
∵ $BD'// EF$，$∠ BEF=120°$
∴ $∠ D'BE + ∠ BEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
解得 $∠ D'BE=180°-120°=60°$
又
∵ $∠ DBE=120°$
∴ 旋转角 $∠ DBD'=∠ DBE-∠ D'BE=120°-60°=60°$
已知旋转半径 $BD=6\mathrm{cm}$，根据弧长公式 $l=\frac{nπ r}{180}$，代入得：
$l=\frac{60π×6}{180}=2π(\mathrm{cm})$
(2) 过点D作$DH⊥ BD'$于H，DH即为点D到直线$BD'$的距离。
由旋转性质得 $BD=BD'=6\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ BDH$中：
$DH=BD·\sin∠ DBD'=6×\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx3×1.732\approx5.2(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $2π\ \mathrm{cm}$；(2) 约$5.2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
弧长计算，平行线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是明确旋转的性质，准确找到旋转角，再结合弧长公式、三角函数求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
（1）点D转动到D'的路径是以B为圆心、BD长为半径的圆弧，求弧长需先确定旋转角和半径：首先根据平行线的性质求出∠D'BE的度数，结合已知∠DBE的度数算出旋转角∠DBD'，再代入弧长公式计算即可。
（2）求点D到直线BD'的距离，可过D作BD'的垂线段，该垂线段就是所求距离，在直角三角形中利用三角函数即可求出其长度。
【解析】
(1)
∵ $BD'// EF$，$∠ BEF=120°$
∴ $∠ D'BE + ∠ BEF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
解得 $∠ D'BE=180°-120°=60°$
又
∵ $∠ DBE=120°$
∴ 旋转角 $∠ DBD'=∠ DBE-∠ D'BE=120°-60°=60°$
已知旋转半径 $BD=6\mathrm{cm}$，根据弧长公式 $l=\frac{nπ r}{180}$，代入得：
$l=\frac{60π×6}{180}=2π(\mathrm{cm})$
(2) 过点D作$DH⊥ BD'$于H，DH即为点D到直线$BD'$的距离。
由旋转性质得 $BD=BD'=6\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ BDH$中：
$DH=BD·\sin∠ DBD'=6×\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx3×1.732\approx5.2(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $2π\ \mathrm{cm}$；(2) 约$5.2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
弧长计算，平行线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际应用，解题的关键是明确旋转的性质，准确找到旋转角，再结合弧长公式、三角函数求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.65
