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1. [2026·阜阳校级一模]下列是$y$关于$x$的二次函数的是（
A.$y=3x$
B.$y=\dfrac{1}{x}$
C.$y=x^3+2$
D.$y=x^2+3$
D
）A.$y=3x$
B.$y=\dfrac{1}{x}$
C.$y=x^3+2$
D.$y=x^2+3$
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数的判断标准：第一，函数表达式是整式；第二，自变量$x$的最高次数为2；第三，二次项的系数不为0。解题时我们对照上述标准逐一分析每个选项的函数类型，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）的函数叫做二次函数。我们对各选项逐一判断：
选项A：$y=3x$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
选项B：$y=\dfrac{1}{x}$是分式，属于反比例函数，不是整式函数，不符合要求；
选项C：$y=x^3+2$中$x$的最高次数为3，属于三次函数，不符合要求；
选项D：$y=x^2+3$满足整式、$x$最高次数为2、二次项系数$1≠0$，符合二次函数的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；函数的分类
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查不同类型函数的区分，只要牢记二次函数的三个判断要点，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是掌握二次函数的判断标准：第一，函数表达式是整式；第二，自变量$x$的最高次数为2；第三，二次项的系数不为0。解题时我们对照上述标准逐一分析每个选项的函数类型，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）的函数叫做二次函数。我们对各选项逐一判断：
选项A：$y=3x$中$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
选项B：$y=\dfrac{1}{x}$是分式，属于反比例函数，不是整式函数，不符合要求；
选项C：$y=x^3+2$中$x$的最高次数为3，属于三次函数，不符合要求；
选项D：$y=x^2+3$满足整式、$x$最高次数为2、二次项系数$1≠0$，符合二次函数的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；函数的分类
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查不同类型函数的区分，只要牢记二次函数的三个判断要点，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
5. 用100 cm长的铁丝围成一个矩形模型，则矩形的面积$y$（单位：$\mathrm{cm}^2$）与其中一边长$x$（单位：cm）之间的函数表达式为
变式训练
不靠墙→一边靠墙
如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15 m长的
$y=x(50-x)$
，其中自变量$x$的取值范围是$0＜x＜50$
.变式训练
不靠墙→一边靠墙
如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15 m长的
答案
5. $y=x(50-x)$ $0＜x＜50$
解析
【分析】
解题时先明确题干的已知条件：100cm是矩形的周长，要求面积y与一边长x的函数关系。首先回忆矩形的周长和面积公式，第一步先根据周长和已知边长x，求出矩形相邻的另一边长；第二步用“面积=长×宽”的公式列出函数表达式；第三步确定自变量取值范围时，要结合实际意义：矩形的边长必须为正数，因此已知边长x和求出的相邻边长都要大于0，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 铁丝总长为100cm，即围成的矩形周长为100cm，
已知矩形的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，
∴ 与该边相邻的另一边长为 $\frac{100}{2}-x=50-x\ (\mathrm{cm})$。
根据矩形面积公式可得面积表达式：
$y=x(50-x)$
接下来确定自变量$x$的取值范围：
∵ 矩形的边长均为正数，
∴ $\begin{cases}x＞0 \\ 50-x＞0 \end{cases}$
解得 $0＜x＜50$。
【答案】
$y=x(50-x)$；$0＜x＜50$
【知识点】
1. 矩形的周长与面积公式
2. 二次函数解析式列写
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数几何实际应用的基础题型，核心是借助几何图形的性质推导未知边的长度，再对应代入面积公式列函数关系，解题时需注意实际问题中自变量的取值必须符合客观事实，不能仅从代数式本身判断取值范围。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题干的已知条件：100cm是矩形的周长，要求面积y与一边长x的函数关系。首先回忆矩形的周长和面积公式，第一步先根据周长和已知边长x，求出矩形相邻的另一边长；第二步用“面积=长×宽”的公式列出函数表达式；第三步确定自变量取值范围时，要结合实际意义：矩形的边长必须为正数，因此已知边长x和求出的相邻边长都要大于0，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 铁丝总长为100cm，即围成的矩形周长为100cm，
已知矩形的一边长为$x\ \mathrm{cm}$，
∴ 与该边相邻的另一边长为 $\frac{100}{2}-x=50-x\ (\mathrm{cm})$。
根据矩形面积公式可得面积表达式：
$y=x(50-x)$
接下来确定自变量$x$的取值范围：
∵ 矩形的边长均为正数，
∴ $\begin{cases}x＞0 \\ 50-x＞0 \end{cases}$
解得 $0＜x＜50$。
【答案】
$y=x(50-x)$；$0＜x＜50$
【知识点】
1. 矩形的周长与面积公式
2. 二次函数解析式列写
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数几何实际应用的基础题型，核心是借助几何图形的性质推导未知边的长度，再对应代入面积公式列函数关系，解题时需注意实际问题中自变量的取值必须符合客观事实，不能仅从代数式本身判断取值范围。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数$y=x^2 -6x -1$的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
A.$1,-6,-1$
B.$1,6,1$
C.$0,-6,1$
D.$0,6,-1$
A
）A.$1,-6,-1$
B.$1,6,1$
C.$0,-6,1$
D.$0,6,-1$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆二次函数的一般形式，明确各项系数的定义。解题时将题目给出的二次函数和一般形式逐一对应即可，注意提取系数时要连同项前面的正负号一起，避免因符号疏漏出错。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题目所给的二次函数$y=x^2 -6x -1$与一般形式对比：
1. 二次项为$x^2$，对应系数$a=1$；
2. 一次项为$-6x$，对应系数$b=-6$；
3. 常数项为$-1$，即$c=-1$。
因此三项系数分别为1、-6、-1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数的一般形式
2.多项式系数识别
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对二次函数各项系数定义的理解，易错点是容易忽略项前面的负号，只要牢记系数要包含符号即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆二次函数的一般形式，明确各项系数的定义。解题时将题目给出的二次函数和一般形式逐一对应即可，注意提取系数时要连同项前面的正负号一起，避免因符号疏漏出错。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题目所给的二次函数$y=x^2 -6x -1$与一般形式对比：
1. 二次项为$x^2$，对应系数$a=1$；
2. 一次项为$-6x$，对应系数$b=-6$；
3. 常数项为$-1$，即$c=-1$。
因此三项系数分别为1、-6、-1，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数的一般形式
2.多项式系数识别
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对二次函数各项系数定义的理解，易错点是容易忽略项前面的负号，只要牢记系数要包含符号即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3. 在二次函数$y=x^2 -2x +1$中，自变量$x$的取值范围是 （
A.$x＞0$
B.$x＜0$
C.$x=0$
D.全体实数
D
）A.$x＞0$
B.$x＜0$
C.$x=0$
D.全体实数
答案
3.D
解析
【分析】
要确定二次函数自变量的取值范围，首先明确取值范围的判定原则：如果是纯代数式形式的函数，只需保证代数式有意义即可。观察该二次函数的表达式，右侧$x^2-2x+1$属于整式，整式不存在分母不为0、被开方数非负这类限制，任意实数代入整式都能得到唯一确定的函数值，据此即可判断自变量的取值范围。
【解析】
解：函数自变量的取值范围需保证函数表达式有意义。
本题中二次函数$y=x^2-2x+1$的表达式为整式，整式在全体实数范围内均有意义，因此自变量$x$的取值范围是全体实数。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
函数自变量取值范围；整式的性质；二次函数的概念
【点评】
本题属于基础题型，考查整式类函数的自变量取值范围判断，掌握整式没有自变量取值限制的特点即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要确定二次函数自变量的取值范围，首先明确取值范围的判定原则：如果是纯代数式形式的函数，只需保证代数式有意义即可。观察该二次函数的表达式，右侧$x^2-2x+1$属于整式，整式不存在分母不为0、被开方数非负这类限制，任意实数代入整式都能得到唯一确定的函数值，据此即可判断自变量的取值范围。
【解析】
解：函数自变量的取值范围需保证函数表达式有意义。
本题中二次函数$y=x^2-2x+1$的表达式为整式，整式在全体实数范围内均有意义，因此自变量$x$的取值范围是全体实数。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
函数自变量取值范围；整式的性质；二次函数的概念
【点评】
本题属于基础题型，考查整式类函数的自变量取值范围判断，掌握整式没有自变量取值限制的特点即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
4. [与T10互为孪生题]若关于$x$的函数$y=(2-a)x^2 - 2x + 1$是二次函数，则$a$的取值范围是（
A.$a≠0$
B.$a≠2$
C.$a＜2$
D.$a＞2$
B
）A.$a≠0$
B.$a≠2$
C.$a＜2$
D.$a＞2$
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数，核心要求是最高次项为二次，且二次项系数不能为0。本题中给出的函数二次项系数是$2-a$，因此只需要让二次项系数不为0，解出对应的$a$的取值范围即可。
【解析】
根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得：
$2-a\ne0$
解这个不等式，移项得：$a\ne2$
因此$a$的取值范围是$a\ne2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的限制条件，避免忽略该限制导致错选。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数叫做二次函数，核心要求是最高次项为二次，且二次项系数不能为0。本题中给出的函数二次项系数是$2-a$，因此只需要让二次项系数不为0，解出对应的$a$的取值范围即可。
【解析】
根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，可得：
$2-a\ne0$
解这个不等式，移项得：$a\ne2$
因此$a$的取值范围是$a\ne2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的限制条件，避免忽略该限制导致错选。
【难度系数】
0.9
(1)如果$y=x^{|m|}-3x+2$是关于x的二次函数，那么m的值为（
A.－2
B.2
C.$\pm2$
D.0
C
）A.－2
B.2
C.$\pm2$
D.0
答案
(1)C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，核心判定要点有两个：一是最高次项的次数为2，二是二次项系数不能为0。结合本题给出的函数表达式，最高次项是$x^{|m|}$，因此首先需要让该项的次数等于2，再验证二次项系数是否符合要求，即可求出$m$的取值。
【解析】
根据二次函数的定义可推导：
1. 要求最高次项的次数为2，即$|m|=2$，解绝对值方程可得$m=2$或$m=-2$；
2. 验证二次项系数：本题中$x^{|m|}$的系数为1，$1≠0$，满足二次项系数不为0的要求。
因此$m$的取值为$\pm2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，解题时需牢牢抓住二次函数的两个核心判定条件，本题二次项系数恒为1，因此只需满足次数要求即可，易错点是容易遗漏$m=-2$的情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，核心判定要点有两个：一是最高次项的次数为2，二是二次项系数不能为0。结合本题给出的函数表达式，最高次项是$x^{|m|}$，因此首先需要让该项的次数等于2，再验证二次项系数是否符合要求，即可求出$m$的取值。
【解析】
根据二次函数的定义可推导：
1. 要求最高次项的次数为2，即$|m|=2$，解绝对值方程可得$m=2$或$m=-2$；
2. 验证二次项系数：本题中$x^{|m|}$的系数为1，$1≠0$，满足二次项系数不为0的要求。
因此$m$的取值为$\pm2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题，解题时需牢牢抓住二次函数的两个核心判定条件，本题二次项系数恒为1，因此只需满足次数要求即可，易错点是容易遗漏$m=-2$的情况。
【难度系数】
0.8
(2)[易错题]已知$y=(m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-6$是关于x的二次函数，则m的值为
1
。答案
(2)1
解析
【分析】
要确定m的取值，需紧扣二次函数的定义拆解条件：二次函数需要同时满足两个核心要求：①含x的最高次项的次数为2；②二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。我们可以先根据最高次次数为2列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的限制排除不符合要求的解，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵$y=(m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-6$是关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
$\begin{cases}m^2+1=2 \quad \mathrm{（最高次项的次数为2）} \\m+1≠0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
先解方程$m^2+1=2$，移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$
再解不等式$m+1≠0$，得$m≠-1$
综合两个条件，m只能取1。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义；解一元二次方程；不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义相关的典型易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制，仅根据最高次次数为2得出错解，做题时要注意验证定义的所有限制条件都成立。
【难度系数】
0.6
要确定m的取值，需紧扣二次函数的定义拆解条件：二次函数需要同时满足两个核心要求：①含x的最高次项的次数为2；②二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。我们可以先根据最高次次数为2列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的限制排除不符合要求的解，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵$y=(m+1)x^{m^2+1}+(m-3)x-6$是关于x的二次函数
∴需同时满足以下两个条件：
$\begin{cases}m^2+1=2 \quad \mathrm{（最高次项的次数为2）} \\m+1≠0 \quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
先解方程$m^2+1=2$，移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$
再解不等式$m+1≠0$，得$m≠-1$
综合两个条件，m只能取1。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的定义；解一元二次方程；不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义相关的典型易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制，仅根据最高次次数为2得出错解，做题时要注意验证定义的所有限制条件都成立。
【难度系数】
0.6
变式训练
不靠墙→一边靠墙
如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15 m长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库的总面积为y m².若设AB=x m，则y与x之间的函数表达式为
不靠墙→一边靠墙
如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15 m长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库的总面积为y m².若设AB=x m，则y与x之间的函数表达式为
$y=x(15-2x)$
.答案
$y=x(15-2x)$
解析
【分析】
首先明确铁栅栏只围了长方形的3条边：1条平行于墙面、2条垂直于墙面。已知AB为垂直于墙面的边，长度为x m，那么2条垂直边的总长度为2x m，用总栅栏长度减去2条垂直边的长度，就能得到平行于墙面的边的长度；再根据长方形面积=长×宽的公式，把两个边长相乘就能得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：由题意可知，AB为垂直于墙面的边，长度为x m，因此长方形另一条垂直于墙面的边长度也为x m。
平行于墙面的边的长度 = 总栅栏长度 - 2条垂直边的长度 = $15 - 2x$ m。
根据长方形面积公式：面积 = 长 × 宽，代入边长得：
$y = x(15 - 2x)$
【答案】
$y=x(15-2x)$
【知识点】
列函数关系式；长方形面积计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是实际场景下的函数关系式列写问题，解题核心是准确识别靠墙场景下栅栏对应的边，不要误将靠墙的边计入栅栏长度，再结合几何图形的面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确铁栅栏只围了长方形的3条边：1条平行于墙面、2条垂直于墙面。已知AB为垂直于墙面的边，长度为x m，那么2条垂直边的总长度为2x m，用总栅栏长度减去2条垂直边的长度，就能得到平行于墙面的边的长度；再根据长方形面积=长×宽的公式，把两个边长相乘就能得到y与x的函数表达式。
【解析】
解：由题意可知，AB为垂直于墙面的边，长度为x m，因此长方形另一条垂直于墙面的边长度也为x m。
平行于墙面的边的长度 = 总栅栏长度 - 2条垂直边的长度 = $15 - 2x$ m。
根据长方形面积公式：面积 = 长 × 宽，代入边长得：
$y = x(15 - 2x)$
【答案】
$y=x(15-2x)$
【知识点】
列函数关系式；长方形面积计算；二次函数实际应用
【点评】
本题是实际场景下的函数关系式列写问题，解题核心是准确识别靠墙场景下栅栏对应的边，不要误将靠墙的边计入栅栏长度，再结合几何图形的面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 某校九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第$ x $天($ 1≤x≤40 $且$ x $为正整数)的售价与销量的相关信息，如下表所示：
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为$ w $元，则$ w $与$ x $之间的函数表达式为 (
A.$ w=(x+35-30)(150-2x)(1≤x≤40) $
B.$ w=(x-30)(150-2x)(1≤x≤40) $
C.$ w=(x+35)(150-2x)(1≤x≤40) $
D.$ w=30(150-2x)(1≤x≤40) $
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为$ w $元，则$ w $与$ x $之间的函数表达式为 (
A
)A.$ w=(x+35-30)(150-2x)(1≤x≤40) $
B.$ w=(x-30)(150-2x)(1≤x≤40) $
C.$ w=(x+35)(150-2x)(1≤x≤40) $
D.$ w=30(150-2x)(1≤x≤40) $
答案
6.A
解析
【分析】
解题首先回忆销售问题的核心等量关系：每天总利润=每件商品的利润×每天的销售量。我们可以分三步推导：第一步计算单件商品的利润，单件利润=售价-进价，从表格中提取售价的代数式，结合已知的进价即可得到单件利润的表达式；第二步从表格中提取每天销量的代数式；第三步将上述两个代数式相乘，结合x的取值范围，即可得到w与x的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
根据销售利润的计算公式：$总利润=单件利润× 销售量$。
1. 计算单件利润：已知每件售价为$(x+35)$元，每件进价为30元，因此单件利润为$(x+35-30)$元；
2. 提取销量：表格给出每天销量为$(150-2x)$件；
3. 代入公式得利润表达式：$w=(x+35-30)(150-2x)$，且$1≤ x≤40$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式
【点评】
本题属于基础的函数关系式列写题，核心是牢记销售利润的计算逻辑，准确提取题干和表格中的对应量代入公式即可，解题时要注意不要遗漏减去进价的步骤。
【难度系数】
0.85
解题首先回忆销售问题的核心等量关系：每天总利润=每件商品的利润×每天的销售量。我们可以分三步推导：第一步计算单件商品的利润，单件利润=售价-进价，从表格中提取售价的代数式，结合已知的进价即可得到单件利润的表达式；第二步从表格中提取每天销量的代数式；第三步将上述两个代数式相乘，结合x的取值范围，即可得到w与x的函数表达式，再匹配选项即可。
【解析】
根据销售利润的计算公式：$总利润=单件利润× 销售量$。
1. 计算单件利润：已知每件售价为$(x+35)$元，每件进价为30元，因此单件利润为$(x+35-30)$元；
2. 提取销量：表格给出每天销量为$(150-2x)$件；
3. 代入公式得利润表达式：$w=(x+35-30)(150-2x)$，且$1≤ x≤40$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算，列函数关系式
【点评】
本题属于基础的函数关系式列写题，核心是牢记销售利润的计算逻辑，准确提取题干和表格中的对应量代入公式即可，解题时要注意不要遗漏减去进价的步骤。
【难度系数】
0.85
