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7. [教材P2问题1改编]如图，在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画.设整个挂画的总面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，金色纸边的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则$y$与$x$之间的函数表达式为（
A.$y=(x+80)(x+50)$
B.$y=(2x+80)(2x+50)$
C.$y=(x+80)(2x+50)$
D.$y=(2x+80)(x+50)$
B
）A.$y=(x+80)(x+50)$
B.$y=(2x+80)(2x+50)$
C.$y=(x+80)(2x+50)$
D.$y=(2x+80)(x+50)$
答案
7.B
解析
【分析】
要求y与x的函数表达式，首先需要确定镶金边后整个挂画的长和宽：原风景画长80cm、宽50cm，因为四周都要镶宽为x cm的金边，所以挂画的长需要在原长的基础上加上左右两侧金边的宽度，挂画的宽需要在原宽的基础上加上上下两侧金边的宽度，再根据矩形面积=长×宽，即可推导得到函数表达式。
【解析】
解：
∵金色纸边的宽为$x\ \mathrm{cm}$，且风景画四周均镶有纸边
∴镶边后挂画的长为：$80 + x + x = (2x + 80)\ \mathrm{cm}$
镶边后挂画的宽为：$50 + x + x = (2x + 50)\ \mathrm{cm}$
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得总面积：
$y=(2x+80)(2x+50)$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是正确表示出镶边后大矩形的长和宽，需注意四周镶边时，长和宽都要增加2倍的纸边宽度，避免出现只加单侧宽度的错误。
【难度系数】
0.8
要求y与x的函数表达式，首先需要确定镶金边后整个挂画的长和宽：原风景画长80cm、宽50cm，因为四周都要镶宽为x cm的金边，所以挂画的长需要在原长的基础上加上左右两侧金边的宽度，挂画的宽需要在原宽的基础上加上上下两侧金边的宽度，再根据矩形面积=长×宽，即可推导得到函数表达式。
【解析】
解：
∵金色纸边的宽为$x\ \mathrm{cm}$，且风景画四周均镶有纸边
∴镶边后挂画的长为：$80 + x + x = (2x + 80)\ \mathrm{cm}$
镶边后挂画的宽为：$50 + x + x = (2x + 50)\ \mathrm{cm}$
根据矩形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得总面积：
$y=(2x+80)(2x+50)$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是正确表示出镶边后大矩形的长和宽，需注意四周镶边时，长和宽都要增加2倍的纸边宽度，避免出现只加单侧宽度的错误。
【难度系数】
0.8
8.[2024·阜阳期末]如图,已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20 cm,AC与MN在同一条直线上,开始时点A,N重合,△ABC以2 cm/s的速度匀速向左运动,最终点A,M重合时停止运动,则重叠部分的面积 y(单位:cm²)与时间 t(单位:s)之间的函数表达式为
$y=\dfrac{1}{2}(20-2t)^2$
.答案
8. $y=\dfrac{1}{2}(20-2t)^2$
解析
【分析】
解题时先分析运动过程：等腰直角△ABC以2cm/s的速度向左运动，t秒后移动的距离为2t cm，可先求出重叠部分三角形的直角边长；再结合△ABC是等腰直角三角形的性质，可判断重叠部分也是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的面积公式即可推导得到y与t的函数表达式，同时需注意t的取值范围为$0≤ t≤10$，当t=10时点A与点M重合，运动停止。
【解析】
运动t秒后，△ABC向左移动的距离为$2t\ \mathrm{cm}$，
∴线段MA的长度为$(20-2t)\ \mathrm{cm}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为$(20-2t)\ \mathrm{cm}$，
根据等腰直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{直角边}^2$，可得：
$y=\dfrac{1}{2}(20-2t)^2\quad(0≤ t≤10)$
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}(20-2t)^2$
【知识点】
动点问题的函数解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数的应用
【点评】
本题属于动点结合几何面积的基础题，解题的核心是结合运动规律找到重叠图形的边长与运动时间的对应关系，再代入对应面积公式推导解析式，侧重考查对运动过程的分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时先分析运动过程：等腰直角△ABC以2cm/s的速度向左运动，t秒后移动的距离为2t cm，可先求出重叠部分三角形的直角边长；再结合△ABC是等腰直角三角形的性质，可判断重叠部分也是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的面积公式即可推导得到y与t的函数表达式，同时需注意t的取值范围为$0≤ t≤10$，当t=10时点A与点M重合，运动停止。
【解析】
运动t秒后，△ABC向左移动的距离为$2t\ \mathrm{cm}$，
∴线段MA的长度为$(20-2t)\ \mathrm{cm}$，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为$(20-2t)\ \mathrm{cm}$，
根据等腰直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{直角边}^2$，可得：
$y=\dfrac{1}{2}(20-2t)^2\quad(0≤ t≤10)$
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}(20-2t)^2$
【知识点】
动点问题的函数解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数的应用
【点评】
本题属于动点结合几何面积的基础题，解题的核心是结合运动规律找到重叠图形的边长与运动时间的对应关系，再代入对应面积公式推导解析式，侧重考查对运动过程的分析能力。
【难度系数】
0.7
9. 某学校去年的绿化投入为2万元，预计今明两年的绿化投入总费用为y万元。设绿化投入的年平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为
$y=2(1+x)+2(1+x)^2$
。（不要求化成一般形式）答案
9. $y=2(1+x)+2(1+x)^2$
解析
【分析】
解决本题需结合平均增长率的计算规律推导：首先回忆增长率公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。第一步先计算今年的绿化投入，以去年的2万元为基数，增长x后今年投入为2(1+x)万元；第二步计算明年的绿化投入，以今年的投入为基数，再增长x，因此明年投入为2(1+x)²万元；第三步，题目中y是今明两年的总投入，将两年的投入相加即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
根据平均增长率的计算规则：
1. 今年的绿化投入为：$2(1+x)$万元（去年投入2万元，增长x后得到今年投入）
2. 明年的绿化投入为：$2(1+x) × (1+x) = 2(1+x)^2$万元（在今年投入的基础上再增长x）
3. 由于y是今明两年的投入总费用，因此将两年投入求和可得：
$y=2(1+x)+2(1+x)^2$
【答案】
$y=2(1+x)+2(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率计算；列函数关系式
【点评】
本题是增长率实际应用的基础题型，解题关键是明确各年份投入的计算基数，注意所求为今明两年的总投入，不要误将去年的投入计入总和，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.8
解决本题需结合平均增长率的计算规律推导：首先回忆增长率公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。第一步先计算今年的绿化投入，以去年的2万元为基数，增长x后今年投入为2(1+x)万元；第二步计算明年的绿化投入，以今年的投入为基数，再增长x，因此明年投入为2(1+x)²万元；第三步，题目中y是今明两年的总投入，将两年的投入相加即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
根据平均增长率的计算规则：
1. 今年的绿化投入为：$2(1+x)$万元（去年投入2万元，增长x后得到今年投入）
2. 明年的绿化投入为：$2(1+x) × (1+x) = 2(1+x)^2$万元（在今年投入的基础上再增长x）
3. 由于y是今明两年的投入总费用，因此将两年投入求和可得：
$y=2(1+x)+2(1+x)^2$
【答案】
$y=2(1+x)+2(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率计算；列函数关系式
【点评】
本题是增长率实际应用的基础题型，解题关键是明确各年份投入的计算基数，注意所求为今明两年的总投入，不要误将去年的投入计入总和，属于常考的基础类题目。
【难度系数】
0.8
10. [与T4互为孪生题][分类讨论思想]若函数$y=mx^{|m|}-2x^2+3x-m$（$m$是常数）是二次函数，求$m$的值.
答案
10. $-2或-1或0或1$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，核心要求是最高次项的次数为2，且二次项系数不为0。本题中函数第一项的次数为$|m|$，系数为$m$，需结合$|m|$的不同取值分类讨论：首先排除$|m|＞2$的情况（此时最高次超过2，不是二次函数），再分别讨论$|m|=2$、$|m|=1$、$|m|=0$三种情况，判断每种情况合并同类项后二次项系数是否不为0，是否满足二次函数的定义即可。
【解析】
解：根据二次函数的定义，分情况讨论如下：
1. 当$|m|=2$时，第一项为二次项，此时$m=\pm2$：
若$m=2$，代入函数得$y=2x^2-2x^2+3x-2=3x-2$，是一次函数，不符合要求；
若$m=-2$，代入函数得$y=-2x^2-2x^2+3x+2=-4x^2+3x+2$，二次项系数$-4≠0$，是二次函数，符合要求；
2. 当$|m|=1$时，第一项为一次项，此时$m=\pm1$，函数的二次项为$-2x^2$，二次项系数$-2≠0$，最高次为2，均是二次函数，符合要求；
3. 当$|m|=0$时，即$m=0$，第一项为常数0，函数化简为$y=-2x^2+3x$，二次项系数$-2≠0$，是二次函数，符合要求；
4. 当$|m|＞2$时，第一项的次数大于2，函数最高次超过2，不是二次函数，不符合要求。
综上，$m$的取值为$-2、-1、0、1$。
【答案】
$-2或-1或0或1$
【知识点】
二次函数的定义，分类讨论思想，绝对值的性质
【点评】
本题重点考查二次函数的定义，解题时需注意分类讨论含参数的最高次项的次数，避免遗漏$|m|=1$和$m=0$的情况，同时要注意当同类二次项合并后系数为0的情况需排除，不要误判。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数，核心要求是最高次项的次数为2，且二次项系数不为0。本题中函数第一项的次数为$|m|$，系数为$m$，需结合$|m|$的不同取值分类讨论：首先排除$|m|＞2$的情况（此时最高次超过2，不是二次函数），再分别讨论$|m|=2$、$|m|=1$、$|m|=0$三种情况，判断每种情况合并同类项后二次项系数是否不为0，是否满足二次函数的定义即可。
【解析】
解：根据二次函数的定义，分情况讨论如下：
1. 当$|m|=2$时，第一项为二次项，此时$m=\pm2$：
若$m=2$，代入函数得$y=2x^2-2x^2+3x-2=3x-2$，是一次函数，不符合要求；
若$m=-2$，代入函数得$y=-2x^2-2x^2+3x+2=-4x^2+3x+2$，二次项系数$-4≠0$，是二次函数，符合要求；
2. 当$|m|=1$时，第一项为一次项，此时$m=\pm1$，函数的二次项为$-2x^2$，二次项系数$-2≠0$，最高次为2，均是二次函数，符合要求；
3. 当$|m|=0$时，即$m=0$，第一项为常数0，函数化简为$y=-2x^2+3x$，二次项系数$-2≠0$，是二次函数，符合要求；
4. 当$|m|＞2$时，第一项的次数大于2，函数最高次超过2，不是二次函数，不符合要求。
综上，$m$的取值为$-2、-1、0、1$。
【答案】
$-2或-1或0或1$
【知识点】
二次函数的定义，分类讨论思想，绝对值的性质
【点评】
本题重点考查二次函数的定义，解题时需注意分类讨论含参数的最高次项的次数，避免遗漏$|m|=1$和$m=0$的情况，同时要注意当同类二次项合并后系数为0的情况需排除，不要误判。
【难度系数】
0.6
11.[新课标—情境题]某经销商按市场价收购某种海鲜 500 kg 放养在池塘内(假设放养期内每个海鲜的质量基本保持不变),当天市场价为每千克 60 元.据市场行情推测,此后该海鲜的市场价每天每千克可上涨 2 元,但是平均每天有 5 kg 海鲜死去.假设死去的海鲜均于当天以每千克 40 元的价格全部售出.
(1)用含 x 的代数式填空:
①x 天后每千克海鲜的市场价为
②x 天后死去的海鲜共有
③x 天后活着的海鲜还有
(2)如果放养 x 天后将活着的海鲜一次性出售,加上已经售出的死去的海鲜,销售总额为$y_1$,写出$y_1$与 x 之间的函数表达式.(结果化为一般形式)
(3)若每放养一天需支出各种费用共 400 元,写出经销商此次经销活动获得的总利润$y_2$与放养天数 x 之间的函数表达式.
(1)用含 x 的代数式填空:
①x 天后每千克海鲜的市场价为
$(60+2x)$
元;②x 天后死去的海鲜共有
$5x$
kg,死去的海鲜的销售总额为$200x$
元;③x 天后活着的海鲜还有
$(500-5x)$
kg.(2)如果放养 x 天后将活着的海鲜一次性出售,加上已经售出的死去的海鲜,销售总额为$y_1$,写出$y_1$与 x 之间的函数表达式.(结果化为一般形式)
(3)若每放养一天需支出各种费用共 400 元,写出经销商此次经销活动获得的总利润$y_2$与放养天数 x 之间的函数表达式.
答案
11.(1)①$(60+2x)$ ②$5x$ $200x$ ③$(500-5x)$
(2) $y_1=(500-5x)(60+2x)+200x=-10x^2+900x+30000.$
(3) $y_2=y_1-30000-400x=-10x^2+500x.$
(2) $y_1=(500-5x)(60+2x)+200x=-10x^2+900x+30000.$
(3) $y_2=y_1-30000-400x=-10x^2+500x.$
解析
【分析】
解题时需逐问梳理数量关系：
1. 第(1)问抓住“市场价每天涨2元”“每天有5kg海鲜死亡”两个核心变化量，结合初始值即可写出对应代数式，再根据“销售额=单价×重量”计算死亡海鲜销售额。
2. 第(2)问明确销售总额由存活海鲜销售额、死亡海鲜销售额两部分组成，分别计算两部分后代入化简即可得到函数表达式。
3. 第(3)问根据“总利润=总销售额-收购总成本-放养总支出”的等量关系，代入对应表达式化简即可。
【解析】
(1)① 初始市场价为60元/千克，每天上涨2元，x天后共上涨2x元，因此x天后市场价为$60+2x$元；
② 每天死亡5kg海鲜，x天共死亡$5x$kg；死亡海鲜单价为40元/千克，销售总额为$40×5x=200x$元；
③ 总重量为500kg，死亡$5x$kg，因此存活海鲜重量为$500-5x$kg。
(2) 销售总额$y_1$=存活海鲜销售额+死亡海鲜销售额：
存活海鲜销售额为$(500-5x)(60+2x)$，死亡海鲜销售额为$200x$，因此：
$\begin{aligned}y_1&=(500-5x)(60+2x)+200x\\&=30000+1000x-300x-10x^2+200x\\&=-10x^2+900x+30000\end{aligned}$
(3) 总利润$y_2$=销售总额$y_1$-收购总成本-放养总支出，其中收购总成本为$500×60=30000$元，放养总支出为$400x$元，因此：
$\begin{aligned}y_2&=y_1-30000-400x\\&=(-10x^2+900x+30000)-30000-400x\\&=-10x^2+500x\end{aligned}$
【答案】
(1)①$\boxed{(60+2x)}$；②$\boxed{5x}$，$\boxed{200x}$；③$\boxed{(500-5x)}$
(2) $\boxed{y_1=-10x^2+900x+30000}$
(3) $\boxed{y_2=-10x^2+500x}$
【知识点】
列代数式；二次函数应用；利润计算
【点评】
本题结合实际经销情境考查代数式表示与二次函数解析式的建立，解题核心是理清各数量之间的对应关系，注意计算总利润时不要遗漏收购成本和放养支出，是二次函数实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时需逐问梳理数量关系：
1. 第(1)问抓住“市场价每天涨2元”“每天有5kg海鲜死亡”两个核心变化量，结合初始值即可写出对应代数式，再根据“销售额=单价×重量”计算死亡海鲜销售额。
2. 第(2)问明确销售总额由存活海鲜销售额、死亡海鲜销售额两部分组成，分别计算两部分后代入化简即可得到函数表达式。
3. 第(3)问根据“总利润=总销售额-收购总成本-放养总支出”的等量关系，代入对应表达式化简即可。
【解析】
(1)① 初始市场价为60元/千克，每天上涨2元，x天后共上涨2x元，因此x天后市场价为$60+2x$元；
② 每天死亡5kg海鲜，x天共死亡$5x$kg；死亡海鲜单价为40元/千克，销售总额为$40×5x=200x$元；
③ 总重量为500kg，死亡$5x$kg，因此存活海鲜重量为$500-5x$kg。
(2) 销售总额$y_1$=存活海鲜销售额+死亡海鲜销售额：
存活海鲜销售额为$(500-5x)(60+2x)$，死亡海鲜销售额为$200x$，因此：
$\begin{aligned}y_1&=(500-5x)(60+2x)+200x\\&=30000+1000x-300x-10x^2+200x\\&=-10x^2+900x+30000\end{aligned}$
(3) 总利润$y_2$=销售总额$y_1$-收购总成本-放养总支出，其中收购总成本为$500×60=30000$元，放养总支出为$400x$元，因此：
$\begin{aligned}y_2&=y_1-30000-400x\\&=(-10x^2+900x+30000)-30000-400x\\&=-10x^2+500x\end{aligned}$
【答案】
(1)①$\boxed{(60+2x)}$；②$\boxed{5x}$，$\boxed{200x}$；③$\boxed{(500-5x)}$
(2) $\boxed{y_1=-10x^2+900x+30000}$
(3) $\boxed{y_2=-10x^2+500x}$
【知识点】
列代数式；二次函数应用；利润计算
【点评】
本题结合实际经销情境考查代数式表示与二次函数解析式的建立，解题核心是理清各数量之间的对应关系，注意计算总利润时不要遗漏收购成本和放养支出，是二次函数实际应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
