1.如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$能用公式法求解，那么必须满足的条件是________，此时实数根为$x=\_\_\_\_\_\_$.

解：$b^2 - 4ac ≥ 0$；$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

2.判断关于$x$的方程$x^2 - 3kx - 2 = 0$的根的情况：.

解：在方程$x^2 - 3kx - 2 = 0$中，
$a=1$，$b=-3k$，$c=-2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-3k)^2 - 4×1×(-2) = 9k^2 + 8$。
∵ 对任意实数$k$，都有$k^2 ≥ 0$，
∴ $9k^2 + 8 ≥ 8 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$恒成立，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。

3.一元二次方程$x^2 -5x=2$的根的判别式的值是。

$\boldsymbol{33}$

解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 5x - 2 = 0$
可得 $a=1$，$b=-5$，$c=-2$。
代入根的判别式公式计算：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4×1×(-2) = 25 + 8 = 33$
最终

4. 提升题 若关于$x$的一元二次方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$有两个实数根，则$k$的取值范围是.

解：
∵ 关于$x$的方程$kx^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程，
∴ $k ≠ 0$。
又∵ 方程有两个实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4 · k · 1 ≥ 0$，
即$4 - 4k ≥ 0$，
解得$k ≤ 1$。
综上，$k$的取值范围是$k ≤ 1$且$k ≠ 0$。

5. 提升题 若关于$x$的方程$kx^2 -2x +1=0$有实数根，则$k$的取值范围是。

解：分两种情况讨论：
1. 当$k=0$时，原方程为一元一次方程$-2x+1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根，符合题意。
2. 当$k≠0$时，原方程为一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta=(-2)^2 - 4· k· 1 ≥ 0$
即$4-4k≥0$，解得$k≤1$，结合$k≠0$，得$k≤1$且$k≠0$。
综合两种情况，$k$的取值范围是$k≤1$。

6.用公式法解方程：
(1)$x^2 -5x +3=0$；
(2)$2x^2 -2\sqrt{3}x + \frac{3}{2}=0$；
(3)$3y^2=-4-6y$；
(4)$3x(x-3)=2(x-1)(x+1)$。

解：(1) 对于方程$x^2 -5x +3=0$，
$a=1$，$b=-5$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 - 4×1×3 = 13＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 对于方程$2x^2 -2\sqrt{3}x + \frac{3}{2}=0$，
$a=2$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=\frac{3}{2}$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×2×\frac{3}{2}=0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(3) 将方程$3y^2=-4-6y$整理为一般形式：
$3y^2+6y+4=0$，
$a=3$，$b=6$，$c=4$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = 6^2 - 4×3×4 = -12＜0$，
$\therefore$ 原方程无实数根。
(4) 将方程$3x(x-3)=2(x-1)(x+1)$整理为一般形式：
$3x^2-9x=2x^2-2$，
$x^2-9x+2=0$，
$a=1$，$b=-9$，$c=2$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-9)^2 - 4×1×2 =73＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{9\pm\sqrt{73}}{2}$，
$\therefore x_1=\frac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{73}}{2}$。

7. 提升题 我们规定:对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac−bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如[3,2]*[5,1]=3×5−2×1=13.
(1)已知[x,3]*[x−1,4]的值为0,求x的值;
(2)若关于x的方程[x,2x−1]*[mx+1,m]=0有实数根,求m的取值范围.

解：
(1) 根据题中的新定义运算规则可得：
$x(x-1) - 3×4 = 0$
整理得：$x^2 - x - 12 = 0$
因式分解得：$(x-4)(x+3)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=-3$。
(2) 根据题中的新定义运算规则化简方程：
$x(mx+1) - m(2x-1) = 0$
整理得：$mx^2 + (1-2m)x + m = 0$。
分两种情况讨论：
① 当$m=0$时，方程变为$x=0$，是一元一次方程，有实数根$x=0$，符合题意；
② 当$m≠0$时，方程为一元二次方程，由方程有实数根得判别式$\Delta≥0$：
$\Delta=(1-2m)^2 - 4· m· m = 1 - 4m ≥ 0$
解得：$m≤ \frac{1}{4}$，且$m≠0$。
综合两种情况，得$m$的取值范围是$m≤ \frac{1}{4}$。