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1. 如图，等边$△ ABC$的边长为2，动点D在折线B-A-C上运动，过点D作BC边的垂线，交BC于点M，则$\mathrm{Rt}△ CDM$的面积$y$与线段BM的长度$x$之间的函数图象大致为（
D
）答案
D
解析
【分析】
这是动点分段函数类问题，解题需按动点D的位置分两段讨论：①D在BA边上运动；②D在AC边上运动。每段先利用等边三角形60°内角的三角函数值，表示出Rt△CDM的底CM和高DM，再用直角三角形面积公式列出对应区间的函数表达式，最后结合二次函数的图象特征判断匹配的图象即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点D在BA边上运动时，对应$0≤ x≤1$：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ B=60°$
在$Rt△ BDM$中，$BM=x$，
∴$DM=BM·\tan60°=\sqrt{3}x$，
又
∵$BC=2$，
∴$CM=BC-BM=2-x$，
则$Rt△ CDM$的面积：
$y=\frac{1}{2}· CM· DM=\frac{1}{2}(2-x)·\sqrt{3}x=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\sqrt{3}x$
这是开口向下的二次函数，在$[0,1]$区间内$y$随$x$增大而增大，当$x=1$时，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 当点D在AC边上运动时，对应$1≤ x≤2$：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ C=60°$，$CM=2-x$
在$Rt△ CDM$中，$DM=CM·\tan60°=\sqrt{3}(2-x)$，
则$Rt△ CDM$的面积：
$y=\frac{1}{2}· CM· DM=\frac{1}{2}(2-x)·\sqrt{3}(2-x)=\frac{\sqrt{3}}{2}(x-2)^2$
这是开口向上的二次函数，在$[1,2]$区间内$y$随$x$增大而减小，当$x=1$时$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x=2$时$y=0$。
综上，函数图象分为两段：0~1为开口向下的抛物线上升段，1~2为开口向上的抛物线下降段，只有选项D符合特征。
【答案】
D
【知识点】
动点分段函数、二次函数图象、等边三角形性质
【点评】
本题核心考查动点问题的函数图象判断，解题关键是按动点位置正确分段列函数解析式，结合二次函数的开口方向、增减性判断图象即可，需注意两段函数在衔接点处的函数值要保持一致。
【难度系数】
0.65
这是动点分段函数类问题，解题需按动点D的位置分两段讨论：①D在BA边上运动；②D在AC边上运动。每段先利用等边三角形60°内角的三角函数值，表示出Rt△CDM的底CM和高DM，再用直角三角形面积公式列出对应区间的函数表达式，最后结合二次函数的图象特征判断匹配的图象即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当点D在BA边上运动时，对应$0≤ x≤1$：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ B=60°$
在$Rt△ BDM$中，$BM=x$，
∴$DM=BM·\tan60°=\sqrt{3}x$，
又
∵$BC=2$，
∴$CM=BC-BM=2-x$，
则$Rt△ CDM$的面积：
$y=\frac{1}{2}· CM· DM=\frac{1}{2}(2-x)·\sqrt{3}x=-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\sqrt{3}x$
这是开口向下的二次函数，在$[0,1]$区间内$y$随$x$增大而增大，当$x=1$时，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 当点D在AC边上运动时，对应$1≤ x≤2$：
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ C=60°$，$CM=2-x$
在$Rt△ CDM$中，$DM=CM·\tan60°=\sqrt{3}(2-x)$，
则$Rt△ CDM$的面积：
$y=\frac{1}{2}· CM· DM=\frac{1}{2}(2-x)·\sqrt{3}(2-x)=\frac{\sqrt{3}}{2}(x-2)^2$
这是开口向上的二次函数，在$[1,2]$区间内$y$随$x$增大而减小，当$x=1$时$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$x=2$时$y=0$。
综上，函数图象分为两段：0~1为开口向下的抛物线上升段，1~2为开口向上的抛物线下降段，只有选项D符合特征。
【答案】
D
【知识点】
动点分段函数、二次函数图象、等边三角形性质
【点评】
本题核心考查动点问题的函数图象判断，解题关键是按动点位置正确分段列函数解析式，结合二次函数的开口方向、增减性判断图象即可，需注意两段函数在衔接点处的函数值要保持一致。
【难度系数】
0.65
2.已知二次函数$y=x^2$与一次函数$y=2x+1$相交于A,B两点，点C在线段AB上运动，点D在抛物线上，且CD平行于y轴，则点C在移动过程中，线段CD的最大值为
2
。答案
2
解析
【分析】
本题的解题突破口是CD平行于y轴的特征，由此可知C、D两点横坐标相同。首先我们设两点的横坐标为x，再结合一次函数和二次函数的解析式，分别表示出C、D两点的纵坐标；由于点C在点D上方，线段CD的长度等于C点纵坐标减去D点纵坐标，即可得到CD长度关于x的二次函数，最后利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
设点C的横坐标为$ x $，
∵ $ CD // y $轴，
∴ 点D的横坐标也为$ x $，
∵ 点C在一次函数$ y=2x+1 $的图象上，点D在二次函数$ y=x^2 $的图象上，
∴ 点C坐标为$ (x, 2x+1) $，点D坐标为$ (x, x^2) $，
由图象可知点C在点D上方，因此线段CD的长度为：
$ CD = (2x+1) - x^2 = -x^2 + 2x + 1 $
对上述二次函数配方得：
$ CD = -(x^2-2x) +1 = -(x^2-2x+1-1)+1 = -(x-1)^2 +2 $
∵ 二次项系数$ -1 ＜ 0 $，函数图象开口向下，
∴ 当$ x=1 $时，CD取得最大值，最大值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 平行于y轴的点的坐标特征；2. 二次函数的最值；3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的动点最值典型题，解题核心是利用平行线的坐标特征，将线段长度转化为二次函数表达式，再通过配方法求最值，掌握这种坐标转化的思路可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
本题的解题突破口是CD平行于y轴的特征，由此可知C、D两点横坐标相同。首先我们设两点的横坐标为x，再结合一次函数和二次函数的解析式，分别表示出C、D两点的纵坐标；由于点C在点D上方，线段CD的长度等于C点纵坐标减去D点纵坐标，即可得到CD长度关于x的二次函数，最后利用二次函数的性质求最大值即可。
【解析】
设点C的横坐标为$ x $，
∵ $ CD // y $轴，
∴ 点D的横坐标也为$ x $，
∵ 点C在一次函数$ y=2x+1 $的图象上，点D在二次函数$ y=x^2 $的图象上，
∴ 点C坐标为$ (x, 2x+1) $，点D坐标为$ (x, x^2) $，
由图象可知点C在点D上方，因此线段CD的长度为：
$ CD = (2x+1) - x^2 = -x^2 + 2x + 1 $
对上述二次函数配方得：
$ CD = -(x^2-2x) +1 = -(x^2-2x+1-1)+1 = -(x-1)^2 +2 $
∵ 二次项系数$ -1 ＜ 0 $，函数图象开口向下，
∴ 当$ x=1 $时，CD取得最大值，最大值为2。
【答案】
2
【知识点】
1. 平行于y轴的点的坐标特征；2. 二次函数的最值；3. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的动点最值典型题，解题核心是利用平行线的坐标特征，将线段长度转化为二次函数表达式，再通过配方法求最值，掌握这种坐标转化的思路可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
3.如图,抛物线经过点$O(0,0),E(10,0)$,矩形$ABCD$的边$AB$在线段$OE$上(点$B$在点$A$的左侧),点$C,D$在抛物线上,设点$B(t,0)$,当$t=2$时,$BC=4$.
(1)求抛物线对应的函数表达式.
(2)当$t$为何值时,矩形$ABCD$的周长有最大值?最大值是多少?
(1)求抛物线对应的函数表达式.
(2)当$t$为何值时,矩形$ABCD$的周长有最大值?最大值是多少?
答案
(1)抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x$.
(2)由抛物线的对称性得 $AE=OB=t$,
$\therefore AB=10-2t$. 当 $x=t$ 时,$BC=-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t$,
$\therefore$ 矩形 $ABCD$ 的周长为 $2(AB+BC)=2[(10-2t)+(-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t)]=-\frac{1}{2}t^2+t+20=-\frac{1}{2}(t-1)^2+\frac{41}{2}$.
$\because -\frac{1}{2}＜0,\therefore$ 当 $t=1$ 时,矩形 $ABCD$ 的周长有最大值,最大值为$\frac{41}{2}$.
(2)由抛物线的对称性得 $AE=OB=t$,
$\therefore AB=10-2t$. 当 $x=t$ 时,$BC=-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t$,
$\therefore$ 矩形 $ABCD$ 的周长为 $2(AB+BC)=2[(10-2t)+(-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t)]=-\frac{1}{2}t^2+t+20=-\frac{1}{2}(t-1)^2+\frac{41}{2}$.
$\because -\frac{1}{2}＜0,\therefore$ 当 $t=1$ 时,矩形 $ABCD$ 的周长有最大值,最大值为$\frac{41}{2}$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线过原点O(0,0)和点E(10,0)，可设抛物线的交点式简化计算，再结合t=2时BC=4得到C点坐标，代入解析式即可求出未知系数，得到抛物线表达式。
(2) 先利用抛物线的对称性得到AB的长度表达式，再将x=t代入抛物线解析式得到BC的长度，根据矩形周长公式列出周长关于t的二次函数，将其转化为顶点式，结合二次函数的开口方向即可求出周长的最大值及对应的t值。
【解析】
(1) 解：
∵抛物线过点O(0,0)、E(10,0)，
∴设抛物线的函数表达式为$y=ax(x-10)(a≠0)$，
当$t=2$时，点B坐标为$(2,0)$，$BC=4$，且点C在x轴下方的抛物线上，
∴点C的坐标为$(2,-4)$，
将$C(2,-4)$代入$y=ax(x-10)$得：
$-4=a×2×(2-10)$，
解得$a=\frac{1}{4}$，
∴抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x(x-10)=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x$。
(2) 解：由抛物线的对称性可知，点B与点A关于抛物线对称轴$x=5$对称，
∴$AE=OB=t$，
∴$AB=OE-OB-AE=10-2t$，
当$x=t$时，点C的纵坐标为$y=\frac{1}{4}t^2-\frac{5}{2}t$，
∴$BC=0-(\frac{1}{4}t^2-\frac{5}{2}t)=-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t$，
设矩形ABCD的周长为$L$，则：
$L=2(AB+BC)$
$=2[(10-2t)+(-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t)]$
$=-\frac{1}{2}t^2+t+20$
$=-\frac{1}{2}(t-1)^2+\frac{41}{2}$，
∵$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，且$0＜t＜5$，
∴当$t=1$时，$L$取得最大值，最大值为$\frac{41}{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x$；
(2) 当$t=1$时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为$\frac{41}{2}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值应用
【点评】
本题属于二次函数与几何图形结合的常规题型，将几何图形的边长用含参数的代数式表示是解题的关键，解题过程中需要结合数形结合思想分析变量关系，同时要注意结合二次函数的性质求最值。
【难度系数】
0.65
(1) 已知抛物线过原点O(0,0)和点E(10,0)，可设抛物线的交点式简化计算，再结合t=2时BC=4得到C点坐标，代入解析式即可求出未知系数，得到抛物线表达式。
(2) 先利用抛物线的对称性得到AB的长度表达式，再将x=t代入抛物线解析式得到BC的长度，根据矩形周长公式列出周长关于t的二次函数，将其转化为顶点式，结合二次函数的开口方向即可求出周长的最大值及对应的t值。
【解析】
(1) 解：
∵抛物线过点O(0,0)、E(10,0)，
∴设抛物线的函数表达式为$y=ax(x-10)(a≠0)$，
当$t=2$时，点B坐标为$(2,0)$，$BC=4$，且点C在x轴下方的抛物线上，
∴点C的坐标为$(2,-4)$，
将$C(2,-4)$代入$y=ax(x-10)$得：
$-4=a×2×(2-10)$，
解得$a=\frac{1}{4}$，
∴抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{4}x(x-10)=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x$。
(2) 解：由抛物线的对称性可知，点B与点A关于抛物线对称轴$x=5$对称，
∴$AE=OB=t$，
∴$AB=OE-OB-AE=10-2t$，
当$x=t$时，点C的纵坐标为$y=\frac{1}{4}t^2-\frac{5}{2}t$，
∴$BC=0-(\frac{1}{4}t^2-\frac{5}{2}t)=-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t$，
设矩形ABCD的周长为$L$，则：
$L=2(AB+BC)$
$=2[(10-2t)+(-\frac{1}{4}t^2+\frac{5}{2}t)]$
$=-\frac{1}{2}t^2+t+20$
$=-\frac{1}{2}(t-1)^2+\frac{41}{2}$，
∵$-\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，且$0＜t＜5$，
∴当$t=1$时，$L$取得最大值，最大值为$\frac{41}{2}$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x$；
(2) 当$t=1$时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为$\frac{41}{2}$。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值应用
【点评】
本题属于二次函数与几何图形结合的常规题型，将几何图形的边长用含参数的代数式表示是解题的关键，解题过程中需要结合数形结合思想分析变量关系，同时要注意结合二次函数的性质求最值。
【难度系数】
0.65
4. [2024·六安一模]如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$O$($O$为原点),$A(4,0)$两点,且经过点$(-2,6)$.
(1)求二次函数的表达式;
(2)已知$y$轴上一点$B(0,4)$,$P$是二次函数图象上位于$x$轴下方的一点,连接$PA$,$PB$,$AB$.设点$P$的横坐标为$t$,$△ PAB$的面积为$S$.
①求直线$AB$的表达式;
②当$S$取最大值时,求点$P$的坐标.
(1)求二次函数的表达式;
(2)已知$y$轴上一点$B(0,4)$,$P$是二次函数图象上位于$x$轴下方的一点,连接$PA$,$PB$,$AB$.设点$P$的横坐标为$t$,$△ PAB$的面积为$S$.
①求直线$AB$的表达式;
②当$S$取最大值时,求点$P$的坐标.
答案
(1)$y=\frac{1}{2}x^2-2x$
(2) ①$y=-x+4$
②点 $P$ 的坐标为$(1,-\frac{3}{2})$.
(2) ①$y=-x+4$
②点 $P$ 的坐标为$(1,-\frac{3}{2})$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数过原点$O$和点$A(4,0)$，可设交点式$y=ax(x-4)$，代入已知点$(-2,6)$即可求出参数$a$，整理得到二次函数表达式；
(2) ① 已知直线$AB$过$A(4,0)$、$B(0,4)$两点，使用待定系数法设一次函数表达式，代入两点坐标求解参数，即可得到直线$AB$的表达式；
② 求$△ PAB$面积最大值，采用铅垂高法：过点$P$作$y$轴平行线交$AB$于点$Q$，用$t$分别表示$P$、$Q$的纵坐标，得到$PQ$的长度，再根据三角形面积公式建立$S$关于$t$的二次函数，结合二次函数性质求最值对应的$t$值，即可得到$P$点坐标，注意$P$在$x$轴下方，需限定$t$的取值范围。
【解析】
(1) 解：$\because$二次函数图象与$x$轴交于$O(0,0)$、$A(4,0)$两点，
$\therefore$设二次函数的表达式为$y=ax(x-4)$（$a≠0$），
将点$(-2,6)$代入表达式得：
$6=a×(-2)×(-2-4)$，
解得$a=\frac{1}{2}$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x(x-4)=\frac{1}{2}x^2-2x$。
(2) ① 解：设直线$AB$的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入得：
$\begin{cases}0=4k+b\\b=4\end{cases}$，
解得$k=-1$，$b=4$，
$\therefore$直线$AB$的表达式为$y=-x+4$。
② 解：过点$P$作$PQ// y$轴，交$AB$于点$Q$，
$\because$点$P$的横坐标为$t$，且$P$在抛物线上、位于$x$轴下方，
$\therefore P$的纵坐标为$\frac{1}{2}t^2-2t$，且$0＜t＜4$，
$\because Q$在直线$AB$上，横坐标为$t$，
$\therefore Q$的纵坐标为$-t+4$，
$\therefore PQ=(-t+4)-(\frac{1}{2}t^2-2t)=-\frac{1}{2}t^2+t+4$，
$△ PAB$的面积$S=\frac{1}{2}× PQ×|x_A-x_B|=\frac{1}{2}× PQ×4=2PQ$，
代入$PQ$的表达式得：
$S=2×(-\frac{1}{2}t^2+t+4)=-t^2+2t+8$，
该函数为开口向下的二次函数，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，满足$0＜t＜4$，
将$t=1$代入二次函数表达式，得$P$的纵坐标为$\frac{1}{2}×1^2-2×1=-\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(1,-\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-2x$
(2) ① $y=-x+4$
② $(1,-\frac{3}{2})$
【知识点】
二次函数解析式求解，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，核心考查待定系数法求函数解析式、铅垂法表示三角形面积、二次函数的最值性质，解题关键是通过作辅助线将三角形面积转化为可量化的表达式，结合函数性质求解。
【难度系数】
0.65
(1) 已知二次函数过原点$O$和点$A(4,0)$，可设交点式$y=ax(x-4)$，代入已知点$(-2,6)$即可求出参数$a$，整理得到二次函数表达式；
(2) ① 已知直线$AB$过$A(4,0)$、$B(0,4)$两点，使用待定系数法设一次函数表达式，代入两点坐标求解参数，即可得到直线$AB$的表达式；
② 求$△ PAB$面积最大值，采用铅垂高法：过点$P$作$y$轴平行线交$AB$于点$Q$，用$t$分别表示$P$、$Q$的纵坐标，得到$PQ$的长度，再根据三角形面积公式建立$S$关于$t$的二次函数，结合二次函数性质求最值对应的$t$值，即可得到$P$点坐标，注意$P$在$x$轴下方，需限定$t$的取值范围。
【解析】
(1) 解：$\because$二次函数图象与$x$轴交于$O(0,0)$、$A(4,0)$两点，
$\therefore$设二次函数的表达式为$y=ax(x-4)$（$a≠0$），
将点$(-2,6)$代入表达式得：
$6=a×(-2)×(-2-4)$，
解得$a=\frac{1}{2}$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x(x-4)=\frac{1}{2}x^2-2x$。
(2) ① 解：设直线$AB$的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），
将$A(4,0)$、$B(0,4)$代入得：
$\begin{cases}0=4k+b\\b=4\end{cases}$，
解得$k=-1$，$b=4$，
$\therefore$直线$AB$的表达式为$y=-x+4$。
② 解：过点$P$作$PQ// y$轴，交$AB$于点$Q$，
$\because$点$P$的横坐标为$t$，且$P$在抛物线上、位于$x$轴下方，
$\therefore P$的纵坐标为$\frac{1}{2}t^2-2t$，且$0＜t＜4$，
$\because Q$在直线$AB$上，横坐标为$t$，
$\therefore Q$的纵坐标为$-t+4$，
$\therefore PQ=(-t+4)-(\frac{1}{2}t^2-2t)=-\frac{1}{2}t^2+t+4$，
$△ PAB$的面积$S=\frac{1}{2}× PQ×|x_A-x_B|=\frac{1}{2}× PQ×4=2PQ$，
代入$PQ$的表达式得：
$S=2×(-\frac{1}{2}t^2+t+4)=-t^2+2t+8$，
该函数为开口向下的二次函数，顶点横坐标为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，满足$0＜t＜4$，
将$t=1$代入二次函数表达式，得$P$的纵坐标为$\frac{1}{2}×1^2-2×1=-\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$P$的坐标为$(1,-\frac{3}{2})$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}x^2-2x$
(2) ① $y=-x+4$
② $(1,-\frac{3}{2})$
【知识点】
二次函数解析式求解，待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值应用
【点评】
本题是二次函数与一次函数的综合题，核心考查待定系数法求函数解析式、铅垂法表示三角形面积、二次函数的最值性质，解题关键是通过作辅助线将三角形面积转化为可量化的表达式，结合函数性质求解。
【难度系数】
0.65
