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8.某工厂进行治污改造，其月利润$ y $（单位：万元）与月份$ x $之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分.下列选项错误的是（
A.4月份的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D.9月份该厂利润达到200万元
C
）A.4月份的利润为50万元
B.治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C.治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D.9月份该厂利润达到200万元
答案
8.C
解析
【分析】
本题分为两段函数求解：首先治污完成前（1≤x≤4）为反比例函数，已知点(1,200)，可用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出4月份利润验证A选项；治污完成后（x≥4）为一次函数，已知点(4,50)和(6,110)，求出一次函数解析式，根据一次函数斜率验证B选项；分别在两段函数中求解y＜100时x的取值范围，统计符合条件的月份数验证C选项；将x=9代入一次函数解析式计算y值验证D选项，最终选出错误选项即可。
【解析】
1. 求治污完成前的反比例函数解析式
设1≤x≤4时，反比例函数为$ y = \frac{k}{x} $，将点(1,200)代入得：
$ 200 = \frac{k}{1} $，解得$ k=200 $，即$ y = \frac{200}{x} (1≤x≤4) $。
验证A选项：当x=4时，$ y = \frac{200}{4} = 50 $万元，A正确，不符合题意。
2. 求治污完成后的一次函数解析式
设x≥4时，一次函数为$ y = ax + b $，将点(4,50)、(6,110)代入得方程组：
$ \begin{cases} 4a + b = 50 \\ 6a + b = 110 \end{cases} $
用第二个方程减第一个方程得：$ 2a = 60 $，解得$ a=30 $，代入$ 4×30 + b = 50 $得$ b=-70 $，即$ y = 30x -70 (x≥4) $。
验证B选项：一次函数斜率为30，说明每月利润比前一个月增加30万元，B正确，不符合题意。
3. 验证C选项：求利润低于100万元的月份
① 反比例函数段：令$ \frac{200}{x} ＜ 100 $，解得$ x＞2 $，结合1≤x≤4，x为正整数，得x=3、4；
② 一次函数段：令$ 30x -70 ＜ 100 $，解得$ x ＜ \frac{17}{3} ≈5.67 $，结合x≥4，x为正整数，得x=4、5；
综上，利润低于100万元的月份是3月、4月、5月，共3个月，C选项表述为4个月，错误，符合题意。
4. 验证D选项：当x=9时，$ y = 30×9 -70 = 200 $万元，即9月份利润达到200万元，D正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合治污改造的实际场景考查分段函数的应用，核心是利用待定系数法求出两段函数的解析式，再结合函数性质逐个分析选项，需要注意“低于100万元”不包含等于100万元的情况，避免统计月份时出错。
【难度系数】
0.7
本题分为两段函数求解：首先治污完成前（1≤x≤4）为反比例函数，已知点(1,200)，可用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出4月份利润验证A选项；治污完成后（x≥4）为一次函数，已知点(4,50)和(6,110)，求出一次函数解析式，根据一次函数斜率验证B选项；分别在两段函数中求解y＜100时x的取值范围，统计符合条件的月份数验证C选项；将x=9代入一次函数解析式计算y值验证D选项，最终选出错误选项即可。
【解析】
1. 求治污完成前的反比例函数解析式
设1≤x≤4时，反比例函数为$ y = \frac{k}{x} $，将点(1,200)代入得：
$ 200 = \frac{k}{1} $，解得$ k=200 $，即$ y = \frac{200}{x} (1≤x≤4) $。
验证A选项：当x=4时，$ y = \frac{200}{4} = 50 $万元，A正确，不符合题意。
2. 求治污完成后的一次函数解析式
设x≥4时，一次函数为$ y = ax + b $，将点(4,50)、(6,110)代入得方程组：
$ \begin{cases} 4a + b = 50 \\ 6a + b = 110 \end{cases} $
用第二个方程减第一个方程得：$ 2a = 60 $，解得$ a=30 $，代入$ 4×30 + b = 50 $得$ b=-70 $，即$ y = 30x -70 (x≥4) $。
验证B选项：一次函数斜率为30，说明每月利润比前一个月增加30万元，B正确，不符合题意。
3. 验证C选项：求利润低于100万元的月份
① 反比例函数段：令$ \frac{200}{x} ＜ 100 $，解得$ x＞2 $，结合1≤x≤4，x为正整数，得x=3、4；
② 一次函数段：令$ 30x -70 ＜ 100 $，解得$ x ＜ \frac{17}{3} ≈5.67 $，结合x≥4，x为正整数，得x=4、5；
综上，利润低于100万元的月份是3月、4月、5月，共3个月，C选项表述为4个月，错误，符合题意。
4. 验证D选项：当x=9时，$ y = 30×9 -70 = 200 $万元，即9月份利润达到200万元，D正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，一次函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合治污改造的实际场景考查分段函数的应用，核心是利用待定系数法求出两段函数的解析式，再结合函数性质逐个分析选项，需要注意“低于100万元”不包含等于100万元的情况，避免统计月份时出错。
【难度系数】
0.7
9. [新课标—跨学科题]在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁产生的压强$p$(单位:kPa)与汽缸内气体的体积$V$(单位:mL)成反比例,$p$关于$V$的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa,则气体体积压缩了
20
mL.答案
9.20
解析
【分析】
已知压强$p$与体积$V$成反比例，可先设反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$），结合图象给出的$V=100\mathrm{mL}$时$p=60\mathrm{kPa}$的条件，代入求出常数$k$，得到$p$与$V$的函数关系式；再分别计算压强为75kPa、100kPa对应的气体体积，两个体积的差值就是压缩的体积。
【解析】
设$p$关于$V$的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0, V＞0$）。
由图象可知，当$V=100\mathrm{mL}$时，$p=60\mathrm{kPa}$，代入解析式得：
$60=\frac{k}{100}$，解得$k=60×100=6000$，
因此函数解析式为$p=\frac{6000}{V}$，变形得$V=\frac{6000}{p}$。
当$p=75\mathrm{kPa}$时，$V_1=\frac{6000}{75}=80\mathrm{mL}$；
当$p=100\mathrm{kPa}$时，$V_2=\frac{6000}{100}=60\mathrm{mL}$。
则气体体积压缩了$80-60=20\mathrm{mL}$。
【答案】
20
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是先从图象获取已知点坐标求出函数解析式，再代入数值计算即可，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
已知压强$p$与体积$V$成反比例，可先设反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0$），结合图象给出的$V=100\mathrm{mL}$时$p=60\mathrm{kPa}$的条件，代入求出常数$k$，得到$p$与$V$的函数关系式；再分别计算压强为75kPa、100kPa对应的气体体积，两个体积的差值就是压缩的体积。
【解析】
设$p$关于$V$的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{V}$（$k≠0, V＞0$）。
由图象可知，当$V=100\mathrm{mL}$时，$p=60\mathrm{kPa}$，代入解析式得：
$60=\frac{k}{100}$，解得$k=60×100=6000$，
因此函数解析式为$p=\frac{6000}{V}$，变形得$V=\frac{6000}{p}$。
当$p=75\mathrm{kPa}$时，$V_1=\frac{6000}{75}=80\mathrm{mL}$；
当$p=100\mathrm{kPa}$时，$V_2=\frac{6000}{100}=60\mathrm{mL}$。
则气体体积压缩了$80-60=20\mathrm{mL}$。
【答案】
20
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合物理场景考查反比例函数的实际应用，解题关键是先从图象获取已知点坐标求出函数解析式，再代入数值计算即可，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
10.生活中，我们常常为了办理各项业务而在服务窗口排队.服务窗口越少，人们等待的时间越长，心情就越焦急；服务窗口太多，又浪费资源.经调查，人们办理业务时等待的焦急度$y$与等待时间$x$(单位:min)之间的关系如图所示.
(1)若等待的时间为5 min，则此时焦急度$y$的值为
(2)若等待的焦急度低于10，人们就会产生焦虑、抱怨、不满等不良情绪，则平均每人等待的时间超过
(1)若等待的时间为5 min，则此时焦急度$y$的值为
20
；(2)若等待的焦急度低于10，人们就会产生焦虑、抱怨、不满等不良情绪，则平均每人等待的时间超过
10
min时应该多开放服务窗口.答案
(1)20
(2)10
(2)10
解析
【分析】
观察图像可知焦急度y与等待时间x符合反比例函数关系，解题思路如下：第一步，设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$；第二步，将已知点$A(0.8,125)$代入解析式求出$k$值，确定函数的完整解析式；第三步，分别求解两小问：第(1)问将$x=5$代入解析式计算对应$y$值，第(2)问将$y=10$代入解析式求出对应的时间临界值，结合题意得出结论。
【解析】
解：由图像可判断$y$是$x$的反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将点$A(0.8,125)$代入解析式得：
$125=\frac{k}{0.8}$，解得$k=125×0.8=100$，
因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}(x＞0)$。
(1)当等待时间$x=5\ \mathrm{min}$时，代入解析式得：
$y=\frac{100}{5}=20$。
(2)当焦急度$y=10$时，代入解析式得：
$10=\frac{100}{x}$，解得$x=10$。
由反比例函数性质，$k=100＞0$，$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此焦急度低于10即$y＜10$时，$x＞10$，即平均每人等待时间超过10 min时应该多开放服务窗口。
【答案】
(1)$20$；(2)$10$
【知识点】
待定系数法求反比例解析式；反比例函数实际应用；反比例函数求值
【点评】
本题结合生活排队场景考查反比例函数的应用，解题核心是先根据已知点确定函数解析式，再结合函数性质完成对应计算，题目贴近生活实际，能很好地体现数学的应用价值。
【难度系数】
0.7
观察图像可知焦急度y与等待时间x符合反比例函数关系，解题思路如下：第一步，设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$；第二步，将已知点$A(0.8,125)$代入解析式求出$k$值，确定函数的完整解析式；第三步，分别求解两小问：第(1)问将$x=5$代入解析式计算对应$y$值，第(2)问将$y=10$代入解析式求出对应的时间临界值，结合题意得出结论。
【解析】
解：由图像可判断$y$是$x$的反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将点$A(0.8,125)$代入解析式得：
$125=\frac{k}{0.8}$，解得$k=125×0.8=100$，
因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}(x＞0)$。
(1)当等待时间$x=5\ \mathrm{min}$时，代入解析式得：
$y=\frac{100}{5}=20$。
(2)当焦急度$y=10$时，代入解析式得：
$10=\frac{100}{x}$，解得$x=10$。
由反比例函数性质，$k=100＞0$，$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此焦急度低于10即$y＜10$时，$x＞10$，即平均每人等待时间超过10 min时应该多开放服务窗口。
【答案】
(1)$20$；(2)$10$
【知识点】
待定系数法求反比例解析式；反比例函数实际应用；反比例函数求值
【点评】
本题结合生活排队场景考查反比例函数的应用，解题核心是先根据已知点确定函数解析式，再结合函数性质完成对应计算，题目贴近生活实际，能很好地体现数学的应用价值。
【难度系数】
0.7
11.为了预防流感,某学校用药熏消毒法对教室进行消毒.已知一瓶药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)与时间x(单位:min)成正比例;药物释放完毕后,y与x成反比例,如图所示.根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)写出倾倒一瓶药物后,从药物释放开始,y与x之间的函数表达式及相应的自变量的取值范围;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量不低于8 mg时,消毒有效,那么倾倒一瓶药物后,从药物释放开始,有效消毒时间是多久?
(1)写出倾倒一瓶药物后,从药物释放开始,y与x之间的函数表达式及相应的自变量的取值范围;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量不低于8 mg时,消毒有效,那么倾倒一瓶药物后,从药物释放开始,有效消毒时间是多久?
答案
(1)$y=\begin{cases}\dfrac{4}{3}x & (0≤ x≤15),\\\dfrac{300}{x} & (x＞15).\end{cases}$
(2)当$y=\dfrac{4}{3}x=8$时,$x=6$;当$y=\dfrac{300}{x}=8$时,$x=37.5$.
$37.5-6=31.5(\min)$.
答:有效消毒时间是 31.5 min.
(2)当$y=\dfrac{4}{3}x=8$时,$x=6$;当$y=\dfrac{300}{x}=8$时,$x=37.5$.
$37.5-6=31.5(\min)$.
答:有效消毒时间是 31.5 min.
解析
【分析】
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先确定分段分界点：由题意可知15min是药物释放完毕的时间，因此分$0≤ x≤15$和$x＞15$两段讨论；②0到15分钟阶段y与x成正比例，已知函数过原点和点$(15,20)$，用待定系数法即可求出对应解析式；③15分钟之后y与x成反比例，已知函数过点$(15,20)$，同样用待定系数法求解析式；④求解有效消毒时间时，分别在两段函数中求出$y=8$对应的x值，两个x的差值就是有效消毒的总时长。
【解析】
(1) 分两段求函数表达式：
① 当$0≤ x≤15$时，设正比例函数表达式为$y=k_1x(k_1≠0)$，
将点$(15,20)$代入解析式得：$20=15k_1$，解得$k_1=\frac{4}{3}$，
因此该段函数表达式为$y=\frac{4}{3}x$，自变量取值范围为$0≤ x≤15$；
② 当$x＞15$时，设反比例函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，
将点$(15,20)$代入解析式得：$20=\frac{k_2}{15}$，解得$k_2=15×20=300$，
因此该段函数表达式为$y=\frac{300}{x}$，自变量取值范围为$x＞15$。
(2) 消毒有效要求空气中含药量$y≥8mg$，分别在两段函数中求解$y=8$对应的x值：
① 正比例段：令$\frac{4}{3}x=8$，解得$x=6$，即第6分钟时含药量达到8mg；
② 反比例段：令$\frac{300}{x}=8$，解得$x=37.5$，即第37.5分钟时含药量降到8mg以下；
因此有效消毒时间为$37.5-6=31.5(\min)$。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}\dfrac{4}{3}x & (0≤ x≤15),\\\dfrac{300}{x} & (x＞15).\end{cases}$
(2)有效消毒时间是 31.5 min。
【知识点】
正比例函数解析式求解，反比例函数解析式求解，分段函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查函数的实际应用，解题核心是准确判断不同时间段的函数类型，结合图象已知点用待定系数法求出对应解析式，代入数值计算即可，需注意不要混淆分段函数的自变量取值范围。
【难度系数】
0.7
本题是分段函数的实际应用问题，解题思路如下：①首先确定分段分界点：由题意可知15min是药物释放完毕的时间，因此分$0≤ x≤15$和$x＞15$两段讨论；②0到15分钟阶段y与x成正比例，已知函数过原点和点$(15,20)$，用待定系数法即可求出对应解析式；③15分钟之后y与x成反比例，已知函数过点$(15,20)$，同样用待定系数法求解析式；④求解有效消毒时间时，分别在两段函数中求出$y=8$对应的x值，两个x的差值就是有效消毒的总时长。
【解析】
(1) 分两段求函数表达式：
① 当$0≤ x≤15$时，设正比例函数表达式为$y=k_1x(k_1≠0)$，
将点$(15,20)$代入解析式得：$20=15k_1$，解得$k_1=\frac{4}{3}$，
因此该段函数表达式为$y=\frac{4}{3}x$，自变量取值范围为$0≤ x≤15$；
② 当$x＞15$时，设反比例函数表达式为$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，
将点$(15,20)$代入解析式得：$20=\frac{k_2}{15}$，解得$k_2=15×20=300$，
因此该段函数表达式为$y=\frac{300}{x}$，自变量取值范围为$x＞15$。
(2) 消毒有效要求空气中含药量$y≥8mg$，分别在两段函数中求解$y=8$对应的x值：
① 正比例段：令$\frac{4}{3}x=8$，解得$x=6$，即第6分钟时含药量达到8mg；
② 反比例段：令$\frac{300}{x}=8$，解得$x=37.5$，即第37.5分钟时含药量降到8mg以下；
因此有效消毒时间为$37.5-6=31.5(\min)$。
【答案】
(1)$y=\begin{cases}\dfrac{4}{3}x & (0≤ x≤15),\\\dfrac{300}{x} & (x＞15).\end{cases}$
(2)有效消毒时间是 31.5 min。
【知识点】
正比例函数解析式求解，反比例函数解析式求解，分段函数实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查函数的实际应用，解题核心是准确判断不同时间段的函数类型，结合图象已知点用待定系数法求出对应解析式，代入数值计算即可，需注意不要混淆分段函数的自变量取值范围。
【难度系数】
0.7
