1. (★)通过列表、描点、连线的方法,在同一平面直角坐标系中画出二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$,$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象.
(1)分别列表:



(2)根据表中$x,y$的值在平面直角坐标系中描点,再用平滑曲线顺次连接各点,就得到$y=-\frac{1}{2}x^2,y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象.

(3)从上图可以看出,二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2$,$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象的开口方向均,对称轴分别是、和,顶点分别为、和.可以发现,抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向平移个单位长度得到的,抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向平移个单位长度得到的.

解：
(1) 第一个表格$y=-\frac{1}{2}x^2$对应的数值从左到右依次为：$\boldsymbol{-\frac{9}{2}}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-\frac{9}{2}}$；
第二个表格$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$对应的数值从左到右依次为：$\boldsymbol{-\frac{9}{2}}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-\frac{9}{2}}$；
第三个表格$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$对应的数值从左到右依次为：$\boldsymbol{-\frac{9}{2}}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{-2}$，$\boldsymbol{-\frac{9}{2}}$。
(2) 描点连线：在平面直角坐标系中分别描出三个函数对应的所有点，用平滑曲线依次连接，即可得到三个二次函数的图象。
(3) 从左到右、从上到下依次填空：
向下；直线$x=0$（y轴）；直线$x=-1$；直线$x=1$；$(0,0)$；$(-1,0)$；$(1,0)$；左；$1$；右；$1$。

【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：1. 列表计算：将给定的x取值分别代入三个二次函数的解析式，逐一算出对应的y值，填入表格即可；2. 画函数图像：按照描点法画图像的基本要求，先根据表格中的坐标描出对应点，再用平滑曲线顺次连接各点即可；3. 分析性质与平移规律：回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$；图像平移遵循“左加右减（针对x）”的规律，对比三个函数的解析式就能得到平移的方向和距离。
【解析】
(1) 计算表格数值：
① 对于$y=-\frac{1}{2}x^2$，将x依次代入计算：
当$x=-3$时，$y=-\frac{1}{2}×(-3)^2=-\frac{9}{2}$；$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}×(-2)^2=-2$；$x=-1$时，$y=-\frac{1}{2}×(-1)^2=-\frac{1}{2}$；$x=0$时，$y=0$；$x=1、2、3$时的y值与$x=-1、-2、-3$时的y值对称，依次为$-\frac{1}{2}、-2、-\frac{9}{2}$。
② 对于$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，代入对应x值计算，得到的y值从左到右依次为$-\frac{9}{2}、-2、-\frac{1}{2}、0、-\frac{1}{2}、-2、-\frac{9}{2}$。
③ 对于$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$，代入对应x值计算，得到的y值从左到右依次为$-\frac{9}{2}、-2、-\frac{1}{2}、0、-\frac{1}{2}、-2、-\frac{9}{2}$。
(2) 描点连线：在平面直角坐标系中，分别找出三个函数所有点对应的坐标位置，再用平滑曲线按x从小到大的顺序依次连接各点，即可得到三个函数的图像。
(3) 分析性质：
三个函数的二次项系数均为$-\frac{1}{2}＜0$，所以开口方向均向下；
根据顶点式性质，$y=-\frac{1}{2}x^2$的对称轴是直线$x=0$（即y轴），顶点为$(0,0)$；
$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$的对称轴是直线$x=-1$，顶点为$(-1,0)$；
$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的对称轴是直线$x=1$，顶点为$(1,0)$；
根据平移“左加右减”的规律，抛物线$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$是由$y=-\frac{1}{2}x^2$向左平移1个单位得到的；抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$是由$y=-\frac{1}{2}x^2$向右平移1个单位得到的。
【答案】
(1) 三个表格对应y值从左到右均依次为：$-\frac{9}{2}$，$-2$，$-\frac{1}{2}$，$0$，$-\frac{1}{2}$，$-2$，$-\frac{9}{2}$；
(2) 按要求描点连线即可得到对应图像；
(3) 向下；直线$x=0$（y轴）；直线$x=-1$；直线$x=1$；$(0,0)$；$(-1,0)$；$(1,0)$；左；1；右；1。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像平移规律；描点法画函数图像
【点评】
这道题是二次函数图像与性质的基础题型，重点考察对二次函数顶点式中各参数意义的理解，以及图像平移规律的应用，熟练掌握相关基础知识点就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

2. (★)二次函数$y=a(x-h)^2$与$y=ax^2$的图象形状________,只是________不同.抛物线$y=a(x-h)^2$可由抛物线$y=ax^2$沿________轴向右(左)平移________个单位长度得到.

解：
二次函数$y=a(x-h)^2$与$y=ax^2$的图象形状$\boldsymbol{相同}$，只是$\boldsymbol{位置}$不同. 抛物线$y=a(x-h)^2$可由抛物线$y=ax^2$沿$\boldsymbol{x}$轴向右(左)平移$\boldsymbol{|h|}$个单位长度得到。

【分析】
解题可按三步思考：第一步，回忆二次函数图象形状的决定因素：二次项系数a决定抛物线的开口方向、开口大小，即决定图象形状，两个函数的a相同，因此形状相同；第二步，对比两个函数的顶点坐标，$y=ax^2$顶点为$(0,0)$，$y=a(x-h)^2$顶点为$(h,0)$，其余性质一致，因此仅位置不同；第三步，回忆抛物线平移规律，“左加右减”针对自变量x，对应沿x轴的平移，平移单位取h的绝对值可统一左右平移的单位表述。
【解析】
1. 判断图象形状：二次函数的图象形状由二次项系数$a$决定，题中两个函数的二次项系数完全相同，因此图象形状相同。
2. 判断图象差异：$y=ax^2$的顶点坐标为$(0,0)$，$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，二者开口方向、开口大小均一致，仅顶点位置不同，因此图象只是位置不同。
3. 判断平移方式：根据抛物线平移“左加右减（针对自变量$x$）”的规则，对$x$进行加减的平移是沿$x$轴方向的：当$h＞0$时，$y=a(x-h)^2$由$y=ax^2$向右平移$h$个单位得到；当$h＜0$时，由$y=ax^2$向左平移$|h|$个单位得到，综上可统一表述为沿$x$轴平移$|h|$个单位长度得到。
【答案】
相同；位置；$x$；$|h|$
【知识点】
二次函数图象性质；抛物线平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础概念题，重点考查顶点式与一般形式二次函数的异同以及图象平移规律，掌握“左加右减、上加下减”的平移原则即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3. (★)填表：

(续表)

$y=a(x-h)^2(a≠0)$
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | | |
| 对称轴 | |
| 顶点 | |
| 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 |
| 最值 | 当$x=$时，$y$有最值，为 | 当$x=$时，$y$有最值，为 |

解：
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | μlticolumn{2}{c}{直线$x=h$} |
| 顶点 | μlticolumn{2}{c}{$(h,\ 0)$} |
| 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=h$时，$y$有最小值，为$0$ | 当$x=h$时，$y$有最大值，为$0$ |
图象绘制要求：
1. $a＞0,h＞0$：开口向上，顶点落在$x$轴正半轴$(h,0)$处，对称轴为直线$x=h$；
2. $a＞0,h＜0$：开口向上，顶点落在$x$轴负半轴$(h,0)$处，对称轴为直线$x=h$；
3. $a＜0,h＞0$：开口向下，顶点落在$x$轴正半轴$(h,0)$处，对称轴为直线$x=h$；
4. $a＜0,h＜0$：开口向下，顶点落在$x$轴负半轴$(h,0)$处，对称轴为直线$x=h$。

【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2(a≠0)$的基本性质，解题可结合图象特征逐步推导：①先由$a$的符号判断开口方向，$a$的正负决定开口朝向；②顶点式中$h$对应对称轴的横坐标，代入$x=h$可直接得到顶点纵坐标，进而得到顶点坐标和对称轴；③结合开口方向判断增减性：开口向上时对称轴左降右升，开口向下时对称轴左升右降；④最值在顶点处取得，开口向上有最小值，开口向下有最大值，顶点纵坐标就是最值。
【解析】
根据推导过程逐一填表：
1. 开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时抛物线开口向下；
2. 对称轴：与$a$的符号无关，为过顶点且平行于$y$轴的直线，即直线$x=h$；
3. 顶点：代入$x=h$得$y=0$，故顶点坐标为$(h,0)$，与$a$的符号无关；
4. 增减性：$a＞0$开口向上，$x＜h$时$y$随$x$增大而减小，$x＞h$时$y$随$x$增大而增大；$a＜0$开口向下，$x＜h$时$y$随$x$增大而增大，$x＞h$时$y$随$x$增大而减小；
5. 最值：$a＞0$时抛物线最低点为顶点，故$x=h$时$y$取最小值0；$a＜0$时抛物线最高点为顶点，故$x=h$时$y$取最大值0。
【答案】
| | $a＞0$ | $a＜0$ |
| --- | --- | --- |
| 开口方向 | 向上 | 向下 |
| 对称轴 | μlticolumn{2}{c}{直线$x=h$} |
| 顶点 | μlticolumn{2}{c}{$(h,\ 0)$} |
| 增减性 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大 | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小 |
| 最值 | 当$x=h$时，$y$有最小值，为$0$ | 当$x=h$时，$y$有最大值，为$0$ |
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的直接考察，属于二次函数模块的核心基础内容，熟练掌握该知识点可为后续二次函数的图象分析、综合应用打下扎实基础。
【难度系数】
0.9