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1. 如图，点A，B，C三点分别在反比例函数$y=\frac{k_1}{x}(x＜0)$，$y=\frac{k_2}{x}(x＞0)$，$y=\frac{k_3}{x}(x＞0)$的图象上，$AC⊥y$轴于点E，$BC⊥x$轴于点F，AB经过原点。若$S_{△ ABC}=5$，则$k_1 + k_2 - 2k_3$的值为
−10
。答案
1. −10
解析
【分析】
解题思路如下：1. 由AB过原点可知点A、B关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数；2. 设点C的坐标为$(m,n)$，结合$AC⊥y$轴、$BC⊥x$轴的条件，可得点A纵坐标为$n$、点B横坐标为$m$，再结合反比例函数解析式和对称关系，可推导$k_1、k_2、k_3$与$mn$的关系；3. $△ ABC$为直角三角形，用$m、n$表示两条直角边的长度，结合面积为5求出$mn$的值；4. 将$k_1、k_2、k_3$用$mn$替换，代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB经过原点，
∴点A、B关于原点对称，横、纵坐标分别互为相反数。
设点C坐标为$(m,n)$（$m＞0,n＞0$），
∵点C在$y=\frac{k_3}{x}$上，
∴$k_3=mn$。
∵$AC⊥y$轴，
∴点A纵坐标与C相同为$n$，结合A、B关于原点对称、点B横坐标与C相同为$m$，得点A横坐标为$-m$，即$A(-m,n)$，代入$y=\frac{k_1}{x}$得$n=\frac{k_1}{-m}$，
∴$k_1=-mn$。
∵$BC⊥x$轴，
∴点B横坐标与C相同为$m$，结合A、B关于原点对称、点A纵坐标为$n$，得点B纵坐标为$-n$，即$B(m,-n)$，代入$y=\frac{k_2}{x}$得$-n=\frac{k_2}{m}$，
∴$k_2=-mn$。
易知$AC⊥BC$，$△ ABC$为直角三角形，
$AC=m-(-m)=2m$，$BC=n-(-n)=2n$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 2m × 2n=2mn=5$，解得$mn=\frac{5}{2}$。
代入$k_1 + k_2 - 2k_3$得：
原式$=-mn + (-mn) - 2mn=-4mn=-4×\frac{5}{2}=-10$。
【答案】
$-10$
【知识点】
反比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标，三角形面积计算
【点评】
本题将反比例函数性质与几何图形面积结合考查，解题的核心是利用对称关系和反比例函数图象上点的坐标特征，将多个$k$值转化为同一组参数的表达式，再结合面积条件求解，对参数转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 由AB过原点可知点A、B关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数；2. 设点C的坐标为$(m,n)$，结合$AC⊥y$轴、$BC⊥x$轴的条件，可得点A纵坐标为$n$、点B横坐标为$m$，再结合反比例函数解析式和对称关系，可推导$k_1、k_2、k_3$与$mn$的关系；3. $△ ABC$为直角三角形，用$m、n$表示两条直角边的长度，结合面积为5求出$mn$的值；4. 将$k_1、k_2、k_3$用$mn$替换，代入所求代数式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵AB经过原点，
∴点A、B关于原点对称，横、纵坐标分别互为相反数。
设点C坐标为$(m,n)$（$m＞0,n＞0$），
∵点C在$y=\frac{k_3}{x}$上，
∴$k_3=mn$。
∵$AC⊥y$轴，
∴点A纵坐标与C相同为$n$，结合A、B关于原点对称、点B横坐标与C相同为$m$，得点A横坐标为$-m$，即$A(-m,n)$，代入$y=\frac{k_1}{x}$得$n=\frac{k_1}{-m}$，
∴$k_1=-mn$。
∵$BC⊥x$轴，
∴点B横坐标与C相同为$m$，结合A、B关于原点对称、点A纵坐标为$n$，得点B纵坐标为$-n$，即$B(m,-n)$，代入$y=\frac{k_2}{x}$得$-n=\frac{k_2}{m}$，
∴$k_2=-mn$。
易知$AC⊥BC$，$△ ABC$为直角三角形，
$AC=m-(-m)=2m$，$BC=n-(-n)=2n$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 2m × 2n=2mn=5$，解得$mn=\frac{5}{2}$。
代入$k_1 + k_2 - 2k_3$得：
原式$=-mn + (-mn) - 2mn=-4mn=-4×\frac{5}{2}=-10$。
【答案】
$-10$
【知识点】
反比例函数的性质，关于原点对称的点的坐标，三角形面积计算
【点评】
本题将反比例函数性质与几何图形面积结合考查，解题的核心是利用对称关系和反比例函数图象上点的坐标特征，将多个$k$值转化为同一组参数的表达式，再结合面积条件求解，对参数转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
2. 综合与实践.
如图1，在不等臂杠杆左端的点A处放置一个固定的重物，右端的点B处放置一定质量的砝码，点B可沿杠杆左右滑动使仪器保持左右平衡. 改变点B与点O的距离，记录相应的点B中的砝码质量，得到如下表：
| 点B与点O的距离x/cm | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 点B中的砝码质量y/g | 30 | 20 | 15 | 12 | 10 |
(1)依据实验得出的x与y的对应点，请你在图2中画出函数图象，并求出函数解析式；
(2)当砝码质量为25 g时，求点B与点O的距离；
(3)当点B向左移动3 cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，点B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前点B中的砝码质量.
如图1，在不等臂杠杆左端的点A处放置一个固定的重物，右端的点B处放置一定质量的砝码，点B可沿杠杆左右滑动使仪器保持左右平衡. 改变点B与点O的距离，记录相应的点B中的砝码质量，得到如下表：
| 点B与点O的距离x/cm | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 点B中的砝码质量y/g | 30 | 20 | 15 | 12 | 10 |
(1)依据实验得出的x与y的对应点，请你在图2中画出函数图象，并求出函数解析式；
(2)当砝码质量为25 g时，求点B与点O的距离；
(3)当点B向左移动3 cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，点B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前点B中的砝码质量.
答案
2. (1)描点并连线，函数图象如图所示
. 由图象可知 y 与 x 之间是反比例关系，设$y=\frac{k}{x}$.∵当$x=10$时，$y=30$，
∴$30=\frac{k}{10}$，解得$k=300$.
∴y 关于 x 的函数解析式为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$.
(2)当$y=25$时，$x=12$.
∴当砝码质量为 25 g 时，点 B 与点 O 的距离是 12 cm.
(3)设移动前点 B 中的砝码质量为 m g，点 B 与点 O 的距离 a cm. 由题意得 $ma=300$，$2m(a-3)=300$，解得 $m=50$.
∴在移动前点 B 中的砝码质量为 50 g.
解析
【分析】
(1) 观察给出的x与y的对应数据，计算每组x和y的乘积可发现乘积为定值300，结合杠杆平衡原理可知y与x成反比例函数关系。首先在坐标系中描出已知点并用平滑曲线连线得到图象，再设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入任意一组x、y的值即可求出k，验证其余点符合后得到最终解析式。
(2) 第二问已知砝码质量求对应距离，只需将y=25代入第一问求出的反比例函数解析式，解方程即可得到x的值。
(3) 第三问设移动前砝码质量为m g、对应距离为a cm，根据反比例函数性质可得$ma=300$；移动后距离变为$(a-3)cm$、质量变为2m g，可得$2m(a-3)=300$，联立两个方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 在坐标系中依次描出$(10,30)、(15,20)、(20,15)、(25,12)、(30,10)$，用平滑曲线连接各点得到函数图象。
观察数据可知x与y的乘积为定值，因此y是x的反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$x=10,y=30$代入解析式得$30=\frac{k}{10}$，解得$k=300$。验证其余各组数据均满足$xy=300$，因此函数解析式为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=25$代入$y=\frac{300}{x}$，得$25=\frac{300}{x}$，解得$x=12$。
(3) 设移动前砝码质量为m g，移动前点B与O的距离为a cm。
根据题意列方程：$\begin{cases}ma=300①\\2m(a-3)=300②\end{cases}$
将①变形为$a=\frac{300}{m}$代入②，得$2m(\frac{300}{m}-3)=300$，展开得$600-6m=300$，解得$m=50$。
【答案】
(1) 函数图象如图，函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{300}{x}(x＞0)}$；
(2) $\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$；
(3) $\boldsymbol{50\ \mathrm{g}}$。
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法，列方程解应用题
【点评】
本题结合杠杆平衡的实际情境考查反比例函数相关知识，需要学生从实验数据中判断变量的函数关系，掌握待定系数法求解析式的方法，同时能结合题意建立方程求解未知量，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察给出的x与y的对应数据，计算每组x和y的乘积可发现乘积为定值300，结合杠杆平衡原理可知y与x成反比例函数关系。首先在坐标系中描出已知点并用平滑曲线连线得到图象，再设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入任意一组x、y的值即可求出k，验证其余点符合后得到最终解析式。
(2) 第二问已知砝码质量求对应距离，只需将y=25代入第一问求出的反比例函数解析式，解方程即可得到x的值。
(3) 第三问设移动前砝码质量为m g、对应距离为a cm，根据反比例函数性质可得$ma=300$；移动后距离变为$(a-3)cm$、质量变为2m g，可得$2m(a-3)=300$，联立两个方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 在坐标系中依次描出$(10,30)、(15,20)、(20,15)、(25,12)、(30,10)$，用平滑曲线连接各点得到函数图象
。观察数据可知x与y的乘积为定值，因此y是x的反比例函数，设解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$x=10,y=30$代入解析式得$30=\frac{k}{10}$，解得$k=300$。验证其余各组数据均满足$xy=300$，因此函数解析式为$y=\frac{300}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=25$代入$y=\frac{300}{x}$，得$25=\frac{300}{x}$，解得$x=12$。
(3) 设移动前砝码质量为m g，移动前点B与O的距离为a cm。
根据题意列方程：$\begin{cases}ma=300①\\2m(a-3)=300②\end{cases}$
将①变形为$a=\frac{300}{m}$代入②，得$2m(\frac{300}{m}-3)=300$，展开得$600-6m=300$，解得$m=50$。
【答案】
(1) 函数图象如图
，函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{300}{x}(x＞0)}$；(2) $\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$；
(3) $\boldsymbol{50\ \mathrm{g}}$。
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法，列方程解应用题
【点评】
本题结合杠杆平衡的实际情境考查反比例函数相关知识，需要学生从实验数据中判断变量的函数关系，掌握待定系数法求解析式的方法，同时能结合题意建立方程求解未知量，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
