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1.在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比.在某一时刻，有人测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，某一幢高楼的影长为60 m，那么这幢高楼的高度是（
A.18 m
B.20 m
C.30 m
D.36 m
D
）A.18 m
B.20 m
C.30 m
D.36 m
答案
1.D
解析
【分析】
本题可结合相似三角形性质或正比例关系求解：同一时刻太阳光线平行，地面为水平面，因此竹竿与影长、光线组成的直角三角形，和高楼与影长、光线组成的直角三角形相似，相似三角形对应边成比例，即物体高度和影长的比值相等。解题时先设高楼高度为未知数，再根据比值相等列比例式，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设这幢高楼的高度为$ x $ m。
∵ 同一时刻物体的高度与影长成正比
∴ $\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{竹竿影长}} = \frac{\mathrm{高楼高度}}{\mathrm{高楼影长}}$
代入数据得：$\frac{1.8}{3}=\frac{x}{60}$
交叉相乘得：$3x = 1.8 × 60$
计算得：$3x = 108$
解得：$x = 36$
因此这幢高楼的高度是36m，选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形测高 2. 比例式计算
【点评】
本题是平行投影测高的基础题型，核心考察同一时刻物高与影长成正比的规律，计算难度低，只要正确列出比例式就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
本题可结合相似三角形性质或正比例关系求解：同一时刻太阳光线平行，地面为水平面，因此竹竿与影长、光线组成的直角三角形，和高楼与影长、光线组成的直角三角形相似，相似三角形对应边成比例，即物体高度和影长的比值相等。解题时先设高楼高度为未知数，再根据比值相等列比例式，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设这幢高楼的高度为$ x $ m。
∵ 同一时刻物体的高度与影长成正比
∴ $\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{竹竿影长}} = \frac{\mathrm{高楼高度}}{\mathrm{高楼影长}}$
代入数据得：$\frac{1.8}{3}=\frac{x}{60}$
交叉相乘得：$3x = 1.8 × 60$
计算得：$3x = 108$
解得：$x = 36$
因此这幢高楼的高度是36m，选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形测高 2. 比例式计算
【点评】
本题是平行投影测高的基础题型，核心考察同一时刻物高与影长成正比的规律，计算难度低，只要正确列出比例式就能顺利求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图，把一根长为4.5 m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1 m处离地面的高度为0.6 m，则石坝的高度为（
A.2.7 m
B.3.6 m
C.2.8 m
D.2.1 m
A
）A.2.7 m
B.3.6 m
C.2.8 m
D.2.1 m
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先观察图形，CD和石坝的高度都垂直于地面，因此两条线互相平行，可推出△ACD与以AB、石坝高度为边的大三角形相似。根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AC、CD、AB的长度，即可求出石坝的高度。
【解析】
过点B作BE⊥地面，垂足为E。
∵ CD⊥地面，BE⊥地面
∴ CD//BE
∴ △ACD∽△ABE
∴ $\frac{CD}{BE}=\frac{AC}{AB}$
已知AC=1m，CD=0.6m，AB=4.5m，代入得：
$\frac{0.6}{BE}=\frac{1}{4.5}$
解得：$BE=0.6×4.5=2.7\ \mathrm{m}$
即石坝的高度为2.7m。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际测量高度中的应用，解题的核心是找到平行关系判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列算式求解，是相似应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，CD和石坝的高度都垂直于地面，因此两条线互相平行，可推出△ACD与以AB、石坝高度为边的大三角形相似。根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AC、CD、AB的长度，即可求出石坝的高度。
【解析】
过点B作BE⊥地面，垂足为E。
∵ CD⊥地面，BE⊥地面
∴ CD//BE
∴ △ACD∽△ABE
∴ $\frac{CD}{BE}=\frac{AC}{AB}$
已知AC=1m，CD=0.6m，AB=4.5m，代入得：
$\frac{0.6}{BE}=\frac{1}{4.5}$
解得：$BE=0.6×4.5=2.7\ \mathrm{m}$
即石坝的高度为2.7m。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际测量高度中的应用，解题的核心是找到平行关系判定三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列算式求解，是相似应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.9 m,同一时刻测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的台阶上,且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处.他们测得落在地面的影长为1.1 m,台阶总的高度为1 m,台阶水平总宽度为1.6 m,则树高为
（
A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
（
B
）A.3 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
答案
3.B
解析
【分析】
本题利用同一时刻阳光下物高与影长成正比（相似三角形的性质）求解。首先明确：树的高度可分为两部分，一部分是和台阶等高的1m，另一部分是高出台阶的高度，这部分高度对应的水平影长等于地面影长与台阶水平总宽度之和。再根据已知的竹竿的物高和影长的比例关系，就能求出高出台阶的高度，加1m就是总树高。
【解析】
设树高为$ h $ m。
同一时刻，物高与影长的比值为定值，已知1m竹竿影长0.9m，故比值为$\frac{物高}{影长}=\frac{1}{0.9}$。
树高出台阶的部分为$ (h-1) $ m，这部分对应的水平总影长 = 地面影长 + 台阶水平总宽度 = $1.1 + 1.6 = 2.7$ m。
根据比例关系列方程：
$\frac{h - 1}{2.7} = \frac{1}{0.9}$
解得：$h - 1 = 2.7 ÷ 0.9 = 3$，因此$h = 3 + 1 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影
【点评】
本题是利用相似测高的典型题型，解题关键是处理部分影子不在地面的情况，找准对应物高和对应的影长，再结合同一时刻物高影长成正比的规律求解即可。
【难度系数】
0.7
本题利用同一时刻阳光下物高与影长成正比（相似三角形的性质）求解。首先明确：树的高度可分为两部分，一部分是和台阶等高的1m，另一部分是高出台阶的高度，这部分高度对应的水平影长等于地面影长与台阶水平总宽度之和。再根据已知的竹竿的物高和影长的比例关系，就能求出高出台阶的高度，加1m就是总树高。
【解析】
设树高为$ h $ m。
同一时刻，物高与影长的比值为定值，已知1m竹竿影长0.9m，故比值为$\frac{物高}{影长}=\frac{1}{0.9}$。
树高出台阶的部分为$ (h-1) $ m，这部分对应的水平总影长 = 地面影长 + 台阶水平总宽度 = $1.1 + 1.6 = 2.7$ m。
根据比例关系列方程：
$\frac{h - 1}{2.7} = \frac{1}{0.9}$
解得：$h - 1 = 2.7 ÷ 0.9 = 3$，因此$h = 3 + 1 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影
【点评】
本题是利用相似测高的典型题型，解题关键是处理部分影子不在地面的情况，找准对应物高和对应的影长，再结合同一时刻物高影长成正比的规律求解即可。
【难度系数】
0.7
4.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,如图所示,标杆高度$CD=3\ \mathrm{m}$,标杆与旗杆的水平距离$BD=15\ \mathrm{m}$,人的眼睛与地面的高度$EF=1.6\ \mathrm{m}$,人与标杆$CD$的水平距离$DF=2\ \mathrm{m}$,$E,C,A$三点共线,则旗杆$AB$的高度为
13.5
$\mathrm{m}$.答案
4. 13.5
解析
【分析】
要解决这道测旗杆高度的问题，首先利用“垂直于同一直线的多条直线互相平行”，得到标杆CD和旗杆AB平行，进而构造出相似三角形。过点E作水平直线EH垂直AB，交CD于G，可证△ECG∽△EAH，再根据相似三角形对应边成比例的性质，先求出AH的长度，最后加上人眼到地面的高度EF即可得到旗杆AB的总高度。
【解析】
解：过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G。
∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，
∴EF//CD//AB，
∴四边形EFDG、GDBH均为矩形，
∴EG=DF=2m，GH=BD=15m，GD=EF=HB=1.6m，
∵CD//AB，
∴△ECG∽△EAH，
∴$\frac{CG}{AH}=\frac{EG}{EH}$。
其中CG=CD-GD=3-1.6=1.4m，EH=EG+GH=2+15=17m，
代入得$\frac{1.4}{AH}=\frac{2}{17}$，
解得AH=$\frac{1.4×17}{2}$=11.9m，
∴AB=AH+HB=11.9+1.6=13.5m。
【答案】
13.5
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形测高
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是正确构造相似三角形，准确找到对应边的长度，计算时注意不要忽略人眼到地面的高度，避免漏加导致结果错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道测旗杆高度的问题，首先利用“垂直于同一直线的多条直线互相平行”，得到标杆CD和旗杆AB平行，进而构造出相似三角形。过点E作水平直线EH垂直AB，交CD于G，可证△ECG∽△EAH，再根据相似三角形对应边成比例的性质，先求出AH的长度，最后加上人眼到地面的高度EF即可得到旗杆AB的总高度。
【解析】
解：过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G。
∵EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB，
∴EF//CD//AB，
∴四边形EFDG、GDBH均为矩形，
∴EG=DF=2m，GH=BD=15m，GD=EF=HB=1.6m，
∵CD//AB，
∴△ECG∽△EAH，
∴$\frac{CG}{AH}=\frac{EG}{EH}$。
其中CG=CD-GD=3-1.6=1.4m，EH=EG+GH=2+15=17m，
代入得$\frac{1.4}{AH}=\frac{2}{17}$，
解得AH=$\frac{1.4×17}{2}$=11.9m，
∴AB=AH+HB=11.9+1.6=13.5m。
【答案】
13.5
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形测高
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是正确构造相似三角形，准确找到对应边的长度，计算时注意不要忽略人眼到地面的高度，避免漏加导致结果错误。
【难度系数】
0.7
5.如图，为了测量山的高度，小明在山前的平地上竖一根已知长度的木棒$O'B'$，测出木棒的影长$A'B'$与山的影长$AB$，即可近似求出山的高度$OB$.如果$O'B'=1\ \mathrm{m},A'B'=2\ \mathrm{m},AB=270\ \mathrm{m}$，求山的高度$OB$. 
答案
5. 解:由题易知$OA// O'A',\therefore∠ OAB=∠ O'A'B'.\because OB⊥ AB,O'B'⊥ A'B',\therefore∠ ABO=∠ A'B'O'=90°.\therefore△ OAB∽△ O'A'B'.\therefore\dfrac{OB}{O'B'}=\dfrac{AB}{A'B'}$,即$\dfrac{OB}{1}=\dfrac{270}{2}.\therefore OB=135\ \mathrm{m}.$答:山的高度$OB$为$135\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量不可直接到达的高度的典型问题，解题思路如下：首先同一时刻太阳光线互相平行，可得对应角∠OAB=∠O'A'B'；其次木棒和山都垂直于地面，可得两个直角相等，即∠ABO=∠A'B'O'=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可证△OAB∽△O'A'B'；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于OB的比例式，代入已知数值即可求解出山高OB。
【解析】
解：由题意知太阳光线互相平行，即$OA// O'A'$，
$\therefore ∠ OAB=∠ O'A'B'$，
$\because OB⊥ AB$，$O'B'⊥ A'B'$，
$\therefore ∠ ABO=∠ A'B'O'=90°$，
$\therefore △ OAB ∽ △ O'A'B'$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\dfrac{OB}{O'B'}=\dfrac{AB}{A'B'}$，
将$O'B'=1\ \mathrm{m}$，$A'B'=2\ \mathrm{m}$，$AB=270\ \mathrm{m}$代入得：
$\dfrac{OB}{1}=\dfrac{270}{2}$，
解得$OB=135\ \mathrm{m}$。
【答案】
山的高度$OB$为$135\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用，利用同一时刻物高与影长的比例关系，通过证明三角形相似将难以直接测量的高度转化为可通过比例计算的量，解题关键是准确找到相似三角形并列出对应边的比例式。
【难度系数】
0.8
本题是利用相似三角形测量不可直接到达的高度的典型问题，解题思路如下：首先同一时刻太阳光线互相平行，可得对应角∠OAB=∠O'A'B'；其次木棒和山都垂直于地面，可得两个直角相等，即∠ABO=∠A'B'O'=90°，根据“两角分别相等的两个三角形相似”可证△OAB∽△O'A'B'；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出关于OB的比例式，代入已知数值即可求解出山高OB。
【解析】
解：由题意知太阳光线互相平行，即$OA// O'A'$，
$\therefore ∠ OAB=∠ O'A'B'$，
$\because OB⊥ AB$，$O'B'⊥ A'B'$，
$\therefore ∠ ABO=∠ A'B'O'=90°$，
$\therefore △ OAB ∽ △ O'A'B'$，
根据相似三角形对应边成比例，可得$\dfrac{OB}{O'B'}=\dfrac{AB}{A'B'}$，
将$O'B'=1\ \mathrm{m}$，$A'B'=2\ \mathrm{m}$，$AB=270\ \mathrm{m}$代入得：
$\dfrac{OB}{1}=\dfrac{270}{2}$，
解得$OB=135\ \mathrm{m}$。
【答案】
山的高度$OB$为$135\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用，利用同一时刻物高与影长的比例关系，通过证明三角形相似将难以直接测量的高度转化为可通过比例计算的量，解题关键是准确找到相似三角形并列出对应边的比例式。
【难度系数】
0.8
6. 小玉和小武学习完第三章“图形的相似”以后，根据所学知识利用阳光下的影子去测量学校附近一幢建筑物顶部旗杆的高. 如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为30 m，OA的影长OD为50 m. 若此时小武的影长FG为2.4 m，其中O,C,D,F,G五点在同一条直线上，A,B,O三点在同一条直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG. 已知小武的身高EF为1.8 m，求旗杆的高AB.
答案
6. 解:由题意可得,$AD// EG,\therefore∠ ADO=∠ EGF.\because∠ AOD=∠ EFG=90°,\therefore△ AOD∽△ EFG.\therefore\dfrac{AO}{EF}=\dfrac{OD}{FG}$,即$\dfrac{AO}{1.8}=\dfrac{50}{2.4}.\therefore AO=37.5\ \mathrm{m}.$同理可得$△ BOC∽△ AOD,\therefore\dfrac{BO}{AO}=\dfrac{OC}{OD}$,即$\dfrac{BO}{37.5}=\dfrac{30}{50}.\therefore BO=22.5\ \mathrm{m}.\therefore AB=AO-BO=37.5-22.5=15(\mathrm{m}).$答:旗杆的高$AB$是$15\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：①同一时刻太阳光线是平行的，因此光线与地面的夹角相等，结合已知的垂直条件，可证明OA与OD构成的直角三角形和小武身高、影长构成的直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例先求出OA的总高度；②同理，建筑物OB和它的影长OC构成的直角三角形也满足同一时刻物高与影长的比例关系，求出OB的长度；③旗杆高度AB等于总高度OA减去建筑物高度OB，计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得太阳光线平行，即$AD// EG$，$\therefore ∠ ADO=∠ EGF$。
又$\because AO⊥ OD$，$EF⊥ FG$，$\therefore ∠ AOD=∠ EFG=90°$，
$\therefore △ AOD ∽ △ EFG$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\dfrac{AO}{EF}=\dfrac{OD}{FG}$，
代入$EF=1.8\ \mathrm{m}$，$OD=50\ \mathrm{m}$，$FG=2.4\ \mathrm{m}$，得：
$\dfrac{AO}{1.8}=\dfrac{50}{2.4}$，解得$AO=37.5\ \mathrm{m}$。
同理可得$△ BOC ∽ △ AOD$，
$\therefore \dfrac{BO}{AO}=\dfrac{OC}{OD}$，
代入数据得：$\dfrac{BO}{37.5}=\dfrac{30}{50}$，解得$BO=22.5\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=AO-BO=37.5-22.5=15(\mathrm{m})$。
【答案】
$\boxed{15\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是利用同一时刻阳光下物体高度与影长成正比的规律，构造相似三角形建立边的比例关系求解，解题时要注意找准相似三角形的对应边，避免混淆数据。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：①同一时刻太阳光线是平行的，因此光线与地面的夹角相等，结合已知的垂直条件，可证明OA与OD构成的直角三角形和小武身高、影长构成的直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例先求出OA的总高度；②同理，建筑物OB和它的影长OC构成的直角三角形也满足同一时刻物高与影长的比例关系，求出OB的长度；③旗杆高度AB等于总高度OA减去建筑物高度OB，计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得太阳光线平行，即$AD// EG$，$\therefore ∠ ADO=∠ EGF$。
又$\because AO⊥ OD$，$EF⊥ FG$，$\therefore ∠ AOD=∠ EFG=90°$，
$\therefore △ AOD ∽ △ EFG$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\dfrac{AO}{EF}=\dfrac{OD}{FG}$，
代入$EF=1.8\ \mathrm{m}$，$OD=50\ \mathrm{m}$，$FG=2.4\ \mathrm{m}$，得：
$\dfrac{AO}{1.8}=\dfrac{50}{2.4}$，解得$AO=37.5\ \mathrm{m}$。
同理可得$△ BOC ∽ △ AOD$，
$\therefore \dfrac{BO}{AO}=\dfrac{OC}{OD}$，
代入数据得：$\dfrac{BO}{37.5}=\dfrac{30}{50}$，解得$BO=22.5\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB=AO-BO=37.5-22.5=15(\mathrm{m})$。
【答案】
$\boxed{15\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是利用同一时刻阳光下物体高度与影长成正比的规律，构造相似三角形建立边的比例关系求解，解题时要注意找准相似三角形的对应边，避免混淆数据。
【难度系数】
0.7
