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9. 学校新到一批物理、化学、生物学实验器材需要整理,实验管理员李老师一人单独整理需要40 min完成,现在李老师与工人王师傅共同整理20 min后,李老师因事外出,王师傅再单独整理了20 min才完成任务.
(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟?
(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30 min,要整理完这批器材,李老师至少要工作多少分钟?
(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟?
(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30 min,要整理完这批器材,李老师至少要工作多少分钟?
答案
(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要$x$ min,则王师傅的工作效率为$\frac{1}{x}$. 根据题意,得
$20(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})+20· \frac{1}{x}=1$.
解得$x=80$.
经检验,$x=80$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:王师傅单独整理这批实验器材需要80 min.
(2)设李老师要工作$y$ min. 根据题意,得
$(1-\frac{y}{40})÷ \frac{1}{80}≤ 30$. 解得$y≥ 25$.
答:李老师至少要工作25 min.
$20(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})+20· \frac{1}{x}=1$.
解得$x=80$.
经检验,$x=80$是所列分式方程的解,且符合题意.
答:王师傅单独整理这批实验器材需要80 min.
(2)设李老师要工作$y$ min. 根据题意,得
$(1-\frac{y}{40})÷ \frac{1}{80}≤ 30$. 解得$y≥ 25$.
答:李老师至少要工作25 min.
解析
【分析】
这是典型的工程类实际问题，解题时通常将总工作量设为单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时间。
(1) 已知李老师单独整理需40min，可得李老师的工作效率为$\frac{1}{40}$。设王师傅单独整理需$x$min，其效率为$\frac{1}{x}$，根据“两人合作20min的工作量 + 王师傅单独做20min的工作量 = 总工作量1”即可列分式方程求解，注意分式方程要检验根是否符合题意。
(2) 设李老师工作$y$min，先求出李老师工作$y$min后剩余的工作量，剩余工作量由王师傅完成，根据“王师傅的工作时间≤30min”列不等式，求解即可得到李老师的最少工作时间。
【解析】
(1) 设王师傅单独整理这批实验器材需要$x$ min，则王师傅的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据总工作量为1，列方程：
$20(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})+20· \frac{1}{x}=1$
解方程：
$\frac{20}{40}+\frac{20}{x}+\frac{20}{x}=1$
$\frac{1}{2}+\frac{40}{x}=1$
$\frac{40}{x}=\frac{1}{2}$
$x=80$
经检验，$x=80$是所列分式方程的解，且符合实际题意。
(2) 设李老师要工作$y$ min。
李老师工作$y$min完成的工作量为$\frac{y}{40}$，剩余工作量为$1-\frac{y}{40}$，王师傅完成剩余工作量的时间为$(1-\frac{y}{40})÷ \frac{1}{80}$，根据王师傅工作时间不超过30min，列不等式：
$(1-\frac{y}{40})÷ \frac{1}{80}≤ 30$
解不等式：
$1-\frac{y}{40}≤ \frac{30}{80}$
$1-\frac{3}{8}≤ \frac{y}{40}$
$\frac{5}{8}≤ \frac{y}{40}$
$y≥25$
【答案】
(1) 王师傅单独整理这批实验器材需要80 min；
(2) 李老师至少要工作25 min。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题考查工程类实际问题的求解，核心是将总工作量看作单位“1”，准确梳理工作过程中的数量关系，列对应的方程或不等式求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类实际问题，解题时通常将总工作量设为单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总时间。
(1) 已知李老师单独整理需40min，可得李老师的工作效率为$\frac{1}{40}$。设王师傅单独整理需$x$min，其效率为$\frac{1}{x}$，根据“两人合作20min的工作量 + 王师傅单独做20min的工作量 = 总工作量1”即可列分式方程求解，注意分式方程要检验根是否符合题意。
(2) 设李老师工作$y$min，先求出李老师工作$y$min后剩余的工作量，剩余工作量由王师傅完成，根据“王师傅的工作时间≤30min”列不等式，求解即可得到李老师的最少工作时间。
【解析】
(1) 设王师傅单独整理这批实验器材需要$x$ min，则王师傅的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据总工作量为1，列方程：
$20(\frac{1}{40}+\frac{1}{x})+20· \frac{1}{x}=1$
解方程：
$\frac{20}{40}+\frac{20}{x}+\frac{20}{x}=1$
$\frac{1}{2}+\frac{40}{x}=1$
$\frac{40}{x}=\frac{1}{2}$
$x=80$
经检验，$x=80$是所列分式方程的解，且符合实际题意。
(2) 设李老师要工作$y$ min。
李老师工作$y$min完成的工作量为$\frac{y}{40}$，剩余工作量为$1-\frac{y}{40}$，王师傅完成剩余工作量的时间为$(1-\frac{y}{40})÷ \frac{1}{80}$，根据王师傅工作时间不超过30min，列不等式：
$(1-\frac{y}{40})÷ \frac{1}{80}≤ 30$
解不等式：
$1-\frac{y}{40}≤ \frac{30}{80}$
$1-\frac{3}{8}≤ \frac{y}{40}$
$\frac{5}{8}≤ \frac{y}{40}$
$y≥25$
【答案】
(1) 王师傅单独整理这批实验器材需要80 min；
(2) 李老师至少要工作25 min。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用；工程问题
【点评】
本题考查工程类实际问题的求解，核心是将总工作量看作单位“1”，准确梳理工作过程中的数量关系，列对应的方程或不等式求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
10. 某生产商计划用相同材质的结绳编织两种中国结,其中 320 m 结绳用于编织团锦结,168 m 结绳用于编织福字结. 已知每个团锦结使用结绳长度比每个福字结使用结绳长度少 0.2 m. 若编织出的团锦结数量是福字结数量的 2 倍,且刚好用完所有结绳.
(1)求该生产商能编织团锦结和福字结各多少个.
(2)已知原来每个团锦结的成本为 35 元,售价为 45 元;每个福字结的成本为 28 元,售价为 35 元. 由于制作工艺升级,制作成本有所增加,且两种中国结制作成本增加的金额相同,售价不变. 若该生产商希望全部售出两种中国结后的总利润不低于 840 元,求每个中国结的成本最多增加多少元.
(1)求该生产商能编织团锦结和福字结各多少个.
(2)已知原来每个团锦结的成本为 35 元,售价为 45 元;每个福字结的成本为 28 元,售价为 35 元. 由于制作工艺升级,制作成本有所增加,且两种中国结制作成本增加的金额相同,售价不变. 若该生产商希望全部售出两种中国结后的总利润不低于 840 元,求每个中国结的成本最多增加多少元.
答案
(1)设该生产商能编织福字结$x$个,则能编织团锦结$2x$个. 根据题意,得
$\frac{168}{x}-\frac{320}{2x}=0.2$.
解得$x=40$.
经检验,$x=40$是所列分式方程的解,且符合题意.
所以$2x=80$.
答:该生产商能编织福字结40个,团锦结80个.
(2)设每个中国结的成本增加$m$元,则现在每个团锦结的成本为$(m+35)$元,每个福字结的成本为$(m+28)$元.
根据题意,得
$[45-(35+m)]× 80+[35-(28+m)]× 40≥ 840$.
解得$m≤ 2$.
所以$m$的最大值为2.
答:每个中国结的成本最多增加2元.
$\frac{168}{x}-\frac{320}{2x}=0.2$.
解得$x=40$.
经检验,$x=40$是所列分式方程的解,且符合题意.
所以$2x=80$.
答:该生产商能编织福字结40个,团锦结80个.
(2)设每个中国结的成本增加$m$元,则现在每个团锦结的成本为$(m+35)$元,每个福字结的成本为$(m+28)$元.
根据题意,得
$[45-(35+m)]× 80+[35-(28+m)]× 40≥ 840$.
解得$m≤ 2$.
所以$m$的最大值为2.
答:每个中国结的成本最多增加2元.
解析
【分析】
(1) 本题可根据两种中国结的数量倍数关系设未知数，再结合单个结绳的长度差建立等量关系求解。已知团锦结数量是福字结的2倍，设福字结数量为$x$个，则团锦结为$2x$个；分别用总绳长除以数量得到单个福字结、团锦结的用绳长度，根据“每个团锦结使用结绳长度比每个福字结少0.2m”列分式方程，求解后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 本题属于利润最值问题，设成本增加金额为$m$元，分别表示出工艺升级后两种中国结的单个利润，结合总利润=单个利润×数量，根据“总利润不低于840元”的不等关系列一元一次不等式，求解后取$m$的最大值即可。
【解析】
(1) 设该生产商能编织福字结$x$个，则能编织团锦结$2x$个。
根据题意列方程：
$\frac{168}{x}-\frac{320}{2x}=0.2$
化简得$\frac{168}{x}-\frac{160}{x}=0.2$，即$\frac{8}{x}=0.2$，解得$x=40$。
检验：当$x=40$时，$2x=80≠0$，$x=40≠0$，所以$x=40$是所列分式方程的解，且符合题意。
则团锦结数量为$2x=2×40=80$（个）。
(2) 设每个中国结的成本增加$m$元，则现在每个团锦结的成本为$(35+m)$元，单个利润为$[45-(35+m)]$元；每个福字结的成本为$(28+m)$元，单个利润为$[35-(28+m)]$元。
根据总利润要求列不等式：
$[45-(35+m)]× 80+[35-(28+m)]× 40≥ 840$
化简得：
$(10-m)×80+(7-m)×40≥840$
$800-80m+280-40m≥840$
$1080-120m≥840$
$-120m≥-240$
解得$m≤2$，即$m$的最大值为2。
【答案】
(1) 团锦结80个，福字结40个；(2) 每个中国结的成本最多增加2元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活场景考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，正确列出式子求解，需注意分式方程求解后必须检验根的合理性，解不等式时若两边同时除以负数要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可根据两种中国结的数量倍数关系设未知数，再结合单个结绳的长度差建立等量关系求解。已知团锦结数量是福字结的2倍，设福字结数量为$x$个，则团锦结为$2x$个；分别用总绳长除以数量得到单个福字结、团锦结的用绳长度，根据“每个团锦结使用结绳长度比每个福字结少0.2m”列分式方程，求解后注意检验分式方程的根是否符合实际意义。
(2) 本题属于利润最值问题，设成本增加金额为$m$元，分别表示出工艺升级后两种中国结的单个利润，结合总利润=单个利润×数量，根据“总利润不低于840元”的不等关系列一元一次不等式，求解后取$m$的最大值即可。
【解析】
(1) 设该生产商能编织福字结$x$个，则能编织团锦结$2x$个。
根据题意列方程：
$\frac{168}{x}-\frac{320}{2x}=0.2$
化简得$\frac{168}{x}-\frac{160}{x}=0.2$，即$\frac{8}{x}=0.2$，解得$x=40$。
检验：当$x=40$时，$2x=80≠0$，$x=40≠0$，所以$x=40$是所列分式方程的解，且符合题意。
则团锦结数量为$2x=2×40=80$（个）。
(2) 设每个中国结的成本增加$m$元，则现在每个团锦结的成本为$(35+m)$元，单个利润为$[45-(35+m)]$元；每个福字结的成本为$(28+m)$元，单个利润为$[35-(28+m)]$元。
根据总利润要求列不等式：
$[45-(35+m)]× 80+[35-(28+m)]× 40≥ 840$
化简得：
$(10-m)×80+(7-m)×40≥840$
$800-80m+280-40m≥840$
$1080-120m≥840$
$-120m≥-240$
解得$m≤2$，即$m$的最大值为2。
【答案】
(1) 团锦结80个，福字结40个；(2) 每个中国结的成本最多增加2元。
【知识点】
分式方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活场景考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，正确列出式子求解，需注意分式方程求解后必须检验根的合理性，解不等式时若两边同时除以负数要改变不等号方向。
【难度系数】
0.7
