1. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$AD ⊥ BD$于点$D$,$DE // AC$交$AB$于点$E$,若$AB=8$,则$DE=$.

1. 4

【分析】
解题时先观察已知条件的组合特征：①角平分线+平行线，可推导等腰三角形，得到DE与AE相等；②AD⊥BD得到直角三角形，利用等角的余角相等可推导DE与BE相等，由此可得DE是AB的一半，代入AB的长度即可求出DE的值。
【解析】
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠CAD（两直线平行，内错角相等），
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE（等角对等边）。
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠EAD+∠ABD=90°，∠EDA+∠EDB=90°（直角三角形的两个锐角互余），
又
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠ABD=∠EDB（等角的余角相等），
∴BE=DE（等角对等边）。
∴AE=BE=DE，即DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=8，
∴DE=$\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查“角平分线+平行线”构造等腰三角形的常用模型，熟练掌握角的等量代换、等腰三角形的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线$BO,CO$交于点$O$,过点$O$作$MN// BC$,分别交$AB,AC$于点$M,N$.若$AB=8,AC=7$,则$△ AMN$的周长为.

2. 15

【分析】
要求△AMN的周长，直接求各边长度条件不足，需通过线段等量代换求解。首先结合已知条件分析：BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，且MN//BC，“角平分线+平行线”的组合可推出△MBO和△NCO均为等腰三角形，得到MO=MB、NO=NC，将△AMN的周长中的MN拆分为MO+ON后代入，即可将周长转化为AB与AC的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠MBO=∠CBO，∠NCO=∠BCO
∵MN//BC
∴∠MOB=∠CBO，∠NOC=∠BCO（两直线平行，内错角相等）
∴∠MBO=∠MOB，∠NCO=∠NOC
∴MB=MO，NC=NO（等角对等边）
△AMN的周长为：
$C_{△AMN}=AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN$
将$MO=MB$、$ON=NC$代入上式得：
$C_{△AMN}=AM+MB+AN+NC=AB+AC$
已知$AB=8$，$AC=7$，因此$C_{△AMN}=8+7=15$
【答案】
15
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是“角平分线+平行线构造等腰三角形”模型的典型考法，解题核心是通过角的等量关系推导出相等线段，将未知三角形的周长转化为已知边长的和，降低计算难度，属于几何基础常考题型。
【难度系数】
0.75

3. 如图,在△ABC中,AD平分∠CAB交BC于点D,DE//AB交AC于点E.若ED=CD,∠EAD=15°,则∠ADB= ()

A.75°
B.60°
C.45°
D.90°

3. C

【分析】
解题时我们从已知条件逐步推导：首先利用角平分线的定义得到相等的角，再结合平行线的内错角相等推出等腰△AED，然后根据ED=CD得到等腰△CDE，求出∠C的度数，最后利用三角形外角的性质即可算出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠EAD=15°
∴∠CAD=∠DAB=15°
∵DE//AB
∴∠ADE=∠DAB=15°（两直线平行，内错角相等）
在△AED中，∠AED=180°-∠EAD-∠ADE=180°-15°-15°=150°
∴∠CED=180°-∠AED=180°-150°=30°
又
∵ED=CD
∴∠C=∠CED=30°（等腰三角形两底角相等）
∵∠ADB是△ADC的外角
∴∠ADB=∠C + ∠CAD=30°+15°=45°
【答案】
C
【知识点】
1.角平分线的定义 2.平行线的性质 3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，核心是识别“角平分线+平行线”的经典模型，该模型可直接推出等腰三角形，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角性质即可求解，熟练掌握基础性质和常见模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

4.如图，D为$△ ABC$内一点，CD平分$∠ ACB$，$BE ⊥ CD$，垂足为D，交AC于点E，$∠ A = ∠ ABE$，$AC=11$，$BC=7$，则BD的长为（）

A.1
B.1.5
C.2
D.2.5

4. C

【分析】
解题时首先观察条件：CD平分∠ACB且CD⊥BE，可通过证明三角形全等得到△BCE为等腰三角形，进而得到CE=BC、D是BE中点；再结合∠A=∠ABE可推出△ABE为等腰三角形，AE=BE，先求出AE的长度即可得到BE长度，最终求出BD的长。
【解析】
解：
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠CDB=∠CDE=90°，
在△BCD和△ECD中：
$\{\begin{array}{l}∠BCD=∠ECD \\CD=CD \\∠CDB=∠CDE\end{array} $
∴△BCD≌△ECD（ASA），
∴BC=EC=7，BD=DE，即$BD=\frac{1}{2}BE$，
又
∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE，
∵AC=11，
∴AE=AC-EC=11-7=4，
∴BE=AE=4，
∴$BD=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是构造等腰三角形解题的典型题型，解题的关键是利用“角平分线+同边上的高线”的特征构造全等三角形得到等腰三角形，再通过线段的等量代换求解，解题思路清晰，属于几何常考题型。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在$△ ABC$中,$CD$平分$∠ ACB$,$CD ⊥ BD$,垂足为$D$,$∠ A + ∠ CBD = 180°$,若$BD = 5$,则
AB 的长为 ()

A.7
B.8
C.9
D.10

5. D

【分析】
遇到角平分线与垂直于角平分线的线段共存的情况，通常采用延长垂线段的方法构造等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质转化边角关系。本题解题思路如下：首先延长BD交AC的延长线于点E，先通过角平分线、垂直的条件证明△CDB和△CDE全等，得到BD=DE、∠CBD=∠E；再结合已知∠A+∠CBD=180°和邻补角的性质，推导得出∠E=∠EAB，进而得到AB=BE，最后代入BD的长度计算AB的长。
【解析】
解：延长BD交AC的延长线于点E。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠BCD=∠ECD，
又
∵ CD⊥BD，
∴ ∠CDB=∠CDE=90°。
在△CDB和△CDE中：
$\{\begin{array}{l}∠BCD=∠ECD \\CD=CD \\∠CDB=∠CDE\end{array} $
∴ △CDB≌△CDE（ASA），
∴ BD=DE=5，∠CBD=∠E。
∵ ∠BAC+∠CBD=180°，∠BAC+∠EAB=180°（邻补角的定义），
∴ ∠E=∠EAB，
∴ AB=BE（等角对等边）。
∵ BE=BD+DE=5+5=10，
∴ AB=10。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题的核心是掌握“角平分线+垂线”的经典辅助线构造方法，通过构造等腰三角形实现边和角的转化，是几何中线段长度求解的常见题型，需要熟练掌握这类辅助线的使用场景。
【难度系数】
0.6

6. 如图，D是AC上一点，CE平分∠ACB且CE⊥DB于点E，∠DAB=∠DBA，若AC=14，△CDB的周长为20，则DB的长为.

6. 8

【分析】
解题时先从已知条件CE平分∠ACB且CE⊥DB入手，根据等腰三角形三线合一的逆定理可判断△CDB是等腰三角形，得到CD=CB；再由∠DAB=∠DBA，利用等角对等边可得AD=DB。接着结合AC的长度得到DB与CD的和，再结合△CDB的周长建立等式，联立两个式子即可求出DB的长。
【解析】
解：
1.
∵CE平分∠ACB，CE⊥DB，
∴△CDB是等腰三角形，
∴CD=CB。
2.
∵∠DAB=∠DBA，
∴AD=DB（等角对等边）。
3.
∵AC=AD+DC=14，将AD替换为DB，得：$\boldsymbol{DB + CD = 14}$ ①。
4.
∵△CDB的周长为20，即$CD + CB + DB = 20$，
又
∵CD=CB，
∴$\boldsymbol{2CD + DB = 20}$ ②。
5. 用②式减去①式，得：$CD=6$，
将$CD=6$代入①式，得：$DB=14-6=8$。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形的判定；等角对等边；线段和差计算
【点评】
本题是等腰三角形性质与判定的典型应用题目，解题的核心是通过题目给出的角、垂直关系推出相等线段，再结合线段和与周长的关系建立等式求解，能很好地锻炼学生对等腰三角形相关性质的运用能力。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,AE是△ABC的角平分线,AE与CD交于点F,求证△CEF是等腰三角形.

7. $\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ B+∠ BAC=90°$.
$\because CD$是边$AB$上的高,
$\therefore ∠ ADC=90°$.
$\therefore ∠ ACD+∠ BAC=90°$.
$\therefore ∠ B=∠ ACD$.
$\because AE$是$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ BAE=∠ EAC$.
$\therefore ∠ B + ∠ BAE = ∠ ACD + ∠ EAC$,
即$∠ CEF=∠ CFE$.
$\therefore CE=CF$.
$\therefore △ CEF$是等腰三角形.

【分析】
要证明△CEF是等腰三角形，根据等腰三角形的判定规则，只需证明该三角形有两个内角相等或两条边相等，本题可通过证明∠CEF=∠CFE推导出CE=CF。首先结合已知的两个直角条件，利用同角的余角相等可推出∠B=∠ACD；再结合AE是角平分线得到∠BAE=∠EAC，最后通过角的和差关系等量代换即可证明两个角相等，进而得出结论。
【解析】
$\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ B+∠ BAC=90°$.
$\because CD$是边$AB$上的高,
$\therefore ∠ ADC=90°$,
$\therefore ∠ ACD+∠ BAC=90°$,
$\therefore ∠ B=∠ ACD$.
$\because AE$是$△ ABC$的角平分线,
$\therefore ∠ BAE=∠ EAC$.
$\therefore ∠ B + ∠ BAE = ∠ ACD + ∠ EAC$,
即$∠ CEF=∠ CFE$,
$\therefore CE=CF$,
$\therefore △ CEF$是等腰三角形.
【答案】
$△ CEF$是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；同角的余角相等；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心是利用直角三角形的角的互余关系、角平分线的性质完成角的等量代换，进而判定等腰三角形，要求熟练掌握三角形内角、外角的相关性质。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 90°$,$AD ⊥ BC$于点$D$,$∠ ABC$的平分线$BE$交$AD$于点$F$,$AG$平分$∠ DAC$.给出下列结论:①$∠ BAD = ∠ C$;②$∠ AEF = ∠ AFE$;③$∠ EBC = ∠ C$;④$AG ⊥ EF$;⑤$AB = GB$.其中正确的结论有 ()


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

8. C

【分析】
我们逐个分析5个结论是否成立：1. 利用同角的余角相等验证结论①；2. 结合三角形外角性质、①的结论和角平分线定义验证结论②；3. 判断是否有已知条件能推出∠EBC=∠C，验证结论③；4. 由②得△AEF为等腰三角形，结合AG是角平分线，利用等腰三角形三线合一验证结论④；5. 利用三角形外角性质推导∠BAG=∠BGA，得到等腰三角形验证结论⑤。
【解析】
解：逐个判断结论：
1. 验证①：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD + ∠DAC = 90°，
∵AD⊥BC，
∴∠C + ∠DAC = 90°，
根据同角的余角相等，得∠BAD=∠C，故①正确；
2. 验证②：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AEF是△BCE的外角，
∴∠AEF=∠C + ∠CBE，
∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AFE=∠BAD + ∠ABE，
又
∵∠BAD=∠C，∠ABE=∠CBE，
∴∠AEF=∠AFE，故②正确；
3. 验证③：
若∠EBC=∠C，则∠C=∠ABE=∠CBE，可得∠ABC=2∠C，结合∠ABC+∠C=90°，得∠C=30°，但题目未给出∠C=30°的条件，故③错误；
4. 验证④：
由②得∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形，
∵AG平分∠DAC，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AG⊥EF，故④正确；
5. 验证⑤：
∠BAG=∠BAD + ∠DAG，∠BGA是△AGC的外角，
∴∠BGA=∠C + ∠GAC，
∵∠BAD=∠C，AG平分∠DAC即∠DAG=∠GAC，
∴∠BAG=∠BGA，
∴AB=GB，故⑤正确。
综上，①②④⑤共4个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
同角的余角相等，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查直角三角形性质、角平分线定义、三角形外角性质和等腰三角形的性质，解题时需结合已知条件逐个推导结论，不要主观臆断题目未给出的边角关系。
【难度系数】
0.7