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9. 如图,在$△ ABC$中,AD为中线,E为AB上一点,AD,CE交于点F,且$AE=EF$,若$AB=5$,则$CF=$ (
A.4
B.5
C.6
D.7
B
)A.4
B.5
C.6
D.7
答案
9. B
解析
【分析】
本题已知AD是△ABC的中线，遇到中线类几何问题，常用的解题思路是倍长中线构造全等三角形，实现边和角的等量转化；另外已知AE=EF，可利用等腰三角形等边对等角的性质得到角相等，再结合对顶角相等完成角的代换，最终推导CF与AB的关系。具体思考路径：首先作倍长中线的辅助线，证明△ABD和构造的三角形全等，得到AB与新边相等、对应角相等；再通过角的等量代换证明CF等于这条新边，即可得到CF的长度。
【解析】
延长AD到点G，使DG=AD，连接CG。
1. 由AD是△ABC的中线，得BD=CD。
在△ABD和△GCD中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ ADB=∠ GDC\\ AD=GD\end{array} $
∴△ABD≌△GCD（SAS）
∴AB=CG，∠BAD=∠G。
2.
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA（等腰三角形两底角相等）。
又
∵∠EFA=∠CFG（对顶角相等），
∴∠G=∠CFG（等量代换），
∴CF=CG（等角对等边）。
3.
∵AB=5，CG=AB，
∴CF=AB=5。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质与判定
【点评】
本题是典型的利用辅助线转化边角关系的几何题，倍长中线是解决含中线问题的常用辅助线方法，将已知边AB转化为与CF相关的线段，再结合等腰三角形的性质即可求解，掌握常见辅助线的作法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
本题已知AD是△ABC的中线，遇到中线类几何问题，常用的解题思路是倍长中线构造全等三角形，实现边和角的等量转化；另外已知AE=EF，可利用等腰三角形等边对等角的性质得到角相等，再结合对顶角相等完成角的代换，最终推导CF与AB的关系。具体思考路径：首先作倍长中线的辅助线，证明△ABD和构造的三角形全等，得到AB与新边相等、对应角相等；再通过角的等量代换证明CF等于这条新边，即可得到CF的长度。
【解析】
延长AD到点G，使DG=AD，连接CG。
1. 由AD是△ABC的中线，得BD=CD。
在△ABD和△GCD中：
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ ∠ ADB=∠ GDC\\ AD=GD\end{array} $
∴△ABD≌△GCD（SAS）
∴AB=CG，∠BAD=∠G。
2.
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA（等腰三角形两底角相等）。
又
∵∠EFA=∠CFG（对顶角相等），
∴∠G=∠CFG（等量代换），
∴CF=CG（等角对等边）。
3.
∵AB=5，CG=AB，
∴CF=AB=5。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质与判定
【点评】
本题是典型的利用辅助线转化边角关系的几何题，倍长中线是解决含中线问题的常用辅助线方法，将已知边AB转化为与CF相关的线段，再结合等腰三角形的性质即可求解，掌握常见辅助线的作法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F,若∠ACB=60°,∠DAC=44°,求∠FBC的度数.
答案
10. 如图,延长$AD$到点$G$,使$DG=AD$,连接$BG$.
$\because D$是$BC$的中点,
$\therefore BD=CD$.
在$△ ACD$和$△ GBD$中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ ADC=∠ GDB, \\ AD=GD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ GBD$.
$\therefore ∠ CAD=∠ G,AC=BG$.
$\because BE=AC$,
$\therefore BE=BG$.
$\therefore ∠ G=∠ BEG$.
$\because ∠ BEG=∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ EAF$.
$\because ∠ ACB=60°,∠ DAC=44°$,
$\therefore ∠ ADC=180°-60°-44°=76°,∠ BED=∠ AEF=∠ DAC=44°$.
$\therefore ∠ FBC = ∠ ADC - ∠ BED = 76° - 44°=32°$.
解析
【分析】
本题给出BC边的中点D及BE=AC的边相等条件，求角度可通过倍长中线构造全等三角形实现边角转移求解：第一步，遇到中点可采用倍长中线法，延长AD到G使DG=AD，连接BG，用SAS证明△ACD≌△GBD，得到AC=BG、∠CAD=∠G；第二步，结合BE=AC推出BE=BG，得到等腰△BEG，得∠G=∠BEG，再通过对顶角相等转化得到∠BED=∠DAC；第三步，先用三角形内角和求出∠ADC的度数，再利用三角形外角的性质，即∠ADC是△BED的外角，等于∠FBC与∠BED的和，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，延长$AD$到点$G$,使$DG=AD$,连接$BG$.
$\because D$是$BC$的中点,
$\therefore BD=CD$.
在$△ ACD$和$△ GBD$中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ ADC=∠ GDB, \\ AD=GD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ GBD(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ CAD=∠ G,AC=BG$.
$\because BE=AC$,
$\therefore BE=BG$.
$\therefore ∠ G=∠ BEG$.
$\because ∠ BEG=∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ EAF$.
$\because ∠ ACB=60°,∠ DAC=44°$,
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ACB-∠DAC=180°-60°-44°=76°$,
又$\because ∠ BED=∠ AEF=∠ DAC=44°$,且$∠ADC$是$△ BDE$的外角，
$\therefore ∠ FBC = ∠ ADC - ∠ BED = 76° - 44°=32°$.
【答案】
10. 如图,延长$AD$到点$G$,使$DG=AD$,连接$BG$.
$\because D$是$BC$的中点,
$\therefore BD=CD$.
在$△ ACD$和$△ GBD$中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ ADC=∠ GDB, \\ AD=GD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ GBD$.
$\therefore ∠ CAD=∠ G,AC=BG$.
$\because BE=AC$,
$\therefore BE=BG$.
$\therefore ∠ G=∠ BEG$.
$\because ∠ BEG=∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ EAF$.
$\because ∠ ACB=60°,∠ DAC=44°$,
$\therefore ∠ ADC=180°-60°-44°=76°,∠ BED=∠ AEF=∠ DAC=44°$.
$\therefore ∠ FBC = ∠ ADC - ∠ BED = 76° - 44°=32°$.
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形性质；三角形内外角性质
【点评】
本题是中点类几何计算的典型题型，核心解题方法是通过倍长中线构造全等三角形，将分散的边、角条件集中转化，再结合等腰三角形、三角形内外角性质求解，熟练掌握倍长中线的辅助线构造技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
本题给出BC边的中点D及BE=AC的边相等条件，求角度可通过倍长中线构造全等三角形实现边角转移求解：第一步，遇到中点可采用倍长中线法，延长AD到G使DG=AD，连接BG，用SAS证明△ACD≌△GBD，得到AC=BG、∠CAD=∠G；第二步，结合BE=AC推出BE=BG，得到等腰△BEG，得∠G=∠BEG，再通过对顶角相等转化得到∠BED=∠DAC；第三步，先用三角形内角和求出∠ADC的度数，再利用三角形外角的性质，即∠ADC是△BED的外角，等于∠FBC与∠BED的和，代入角度计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，延长$AD$到点$G$,使$DG=AD$,连接$BG$.
$\because D$是$BC$的中点,
$\therefore BD=CD$.
在$△ ACD$和$△ GBD$中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ ADC=∠ GDB, \\ AD=GD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ GBD(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ CAD=∠ G,AC=BG$.
$\because BE=AC$,
$\therefore BE=BG$.
$\therefore ∠ G=∠ BEG$.
$\because ∠ BEG=∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ EAF$.
$\because ∠ ACB=60°,∠ DAC=44°$,
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ACB-∠DAC=180°-60°-44°=76°$,
又$\because ∠ BED=∠ AEF=∠ DAC=44°$,且$∠ADC$是$△ BDE$的外角，
$\therefore ∠ FBC = ∠ ADC - ∠ BED = 76° - 44°=32°$.
【答案】
10. 如图,延长$AD$到点$G$,使$DG=AD$,连接$BG$.
$\because D$是$BC$的中点,
$\therefore BD=CD$.
在$△ ACD$和$△ GBD$中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ ADC=∠ GDB, \\ AD=GD, \end{cases}$
$\therefore △ ACD ≌ △ GBD$.
$\therefore ∠ CAD=∠ G,AC=BG$.
$\because BE=AC$,
$\therefore BE=BG$.
$\therefore ∠ G=∠ BEG$.
$\because ∠ BEG=∠ AEF$,
$\therefore ∠ AEF=∠ EAF$.
$\because ∠ ACB=60°,∠ DAC=44°$,
$\therefore ∠ ADC=180°-60°-44°=76°,∠ BED=∠ AEF=∠ DAC=44°$.
$\therefore ∠ FBC = ∠ ADC - ∠ BED = 76° - 44°=32°$.
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形性质；三角形内外角性质
【点评】
本题是中点类几何计算的典型题型，核心解题方法是通过倍长中线构造全等三角形，将分散的边、角条件集中转化，再结合等腰三角形、三角形内外角性质求解，熟练掌握倍长中线的辅助线构造技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$D$为$AB$上的一个动点.
(1)已知$∠ A=2∠ BCD$,求证$AD+AC=2AB$.
下面是两位同学分享的思路:
小聪:从求证目标出发,倍长$AB$到点$E$,即$AE=2AB$,又$AE=AD+DE$,则只需证$DE=AC$.
小明:从已知条件角的关系出发,发现若将$△ BCD$关于直线$BC$对称得到$△ BCF$,则可证$△ ACF$为等腰三角形.
请你选择一种思路,完成证明.
(2)已知$AB+BD=AC$,$∠ ACD=α$,请直接写出$∠ A$的大小(用含$α$的式子表示).
(1)已知$∠ A=2∠ BCD$,求证$AD+AC=2AB$.
下面是两位同学分享的思路:
小聪:从求证目标出发,倍长$AB$到点$E$,即$AE=2AB$,又$AE=AD+DE$,则只需证$DE=AC$.
小明:从已知条件角的关系出发,发现若将$△ BCD$关于直线$BC$对称得到$△ BCF$,则可证$△ ACF$为等腰三角形.
请你选择一种思路,完成证明.
(2)已知$AB+BD=AC$,$∠ ACD=α$,请直接写出$∠ A$的大小(用含$α$的式子表示).
答案
11. (1)选择小聪的思路证明如下:如图,延长$AB$到点$E$,使$BE=AB$,连接$CE$.
$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore BC$为线段$AE$的垂直平分线.
$\therefore EC=AC$.
$\therefore ∠ E=∠ A$.
在$△ BCD$中,$∠ BDC=90°-∠ BCD$,
$\because ∠ A=2∠ BCD$,
$\therefore ∠ E=2∠ BCD$.
在$△ EDC$中,$∠ ECD=180°-∠ E-∠ BDC=90°-∠ BCD$,
$\therefore ∠ BDC=∠ ECD$.
$\therefore ED=EC$.
$\therefore ED=AC$.
$\therefore AD+AC=AD+ED=2AB$,
即$AD+AC=2AB$.
(2) $∠ A=60°-\frac{2}{3}α$.
解析
【分析】
(1) 选择小聪的思路解题：首先观察待证结论$AD+AC=2AB$，可通过倍长$AB$构造出长度为$2AB$的线段$AE$，此时$AE=AD+DE$，只需证$DE=AC$即可。结合$BC$垂直平分$AE$可得$AC=EC$，进一步将证明目标转化为证$DE=EC$，再利用已知的角度关系$∠ A=2∠ BCD$，结合三角形内角和推导对应角相等，即可得到$ED=EC$，完成证明。
(2) 第二问可通过构造辅助线：延长$AB$到$E$使$BE=BD$，结合已知$AB+BD=AC$可得$AE=AC$，即$△ AEC$为等腰三角形，再结合线段垂直平分线性质、等腰三角形性质及角度和差关系建立等式，即可求出$∠ A$的表达式。
【解析】
(1) 选择小聪的思路证明：
如图，延长$AB$到点$E$，使$BE=AB$，连接$CE$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore BC$为线段$AE$的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得$EC=AC$，
$\therefore ∠ E=∠ A$。
在$△ BCD$中，$∠ BDC=90°-∠ BCD$，
$\because ∠ A=2∠ BCD$，
$\therefore ∠ E=2∠ BCD$。
在$△ EDC$中，$∠ ECD=180°-∠ E-∠ BDC=180°-2∠ BCD-(90°-∠ BCD)=90°-∠ BCD$，
$\therefore ∠ BDC=∠ ECD$，
$\therefore ED=EC$，
又$\because EC=AC$，
$\therefore ED=AC$。
$\because AE=AD+DE=AB+BE=2AB$，
$\therefore AD+AC=AD+ED=2AB$，即$AD+AC=2AB$得证。
(2) 解：延长$AB$至$E$，使$BE=BD$，连接$CE$，则$AE=AB+BE=AB+BD$，
$\because AB+BD=AC$，
$\therefore AE=AC$，$△ AEC$为等腰三角形，$∠ E=∠ ACE$。
$\because BC⊥ AB$，$BE=BD$，$\therefore BC$垂直平分$DE$，
$\therefore CE=CD$，$∠ E=∠ CDE=∠ A+α$，$∠ BCD=∠ BCE$。
设$∠ A=x$，则$∠ E=x+α$，$∠ ACB=90°-x$，$∠ BCD=∠ ACB-α=90°-x-α$，
$∠ ACE=∠ ACB+∠ BCE=(90°-x)+(90°-x-α)=180°-2x-α$，
$\because ∠ ACE=∠ E=x+α$，
$\therefore 180°-2x-α=x+α$，
解得$x=60°-\frac{2}{3}α$，即$∠ A=60°-\frac{2}{3}α$。
【答案】
(1) 证明如下:
如图,延长$AB$到点$E$,使$BE=AB$,连接$CE$.
$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore BC$为线段$AE$的垂直平分线.
$\therefore EC=AC$.
$\therefore ∠ E=∠ A$.
在$△ BCD$中,$∠ BDC=90°-∠ BCD$,
$\because ∠ A=2∠ BCD$,
$\therefore ∠ E=2∠ BCD$.
在$△ EDC$中,$∠ ECD=180°-∠ E-∠ BDC=90°-∠ BCD$,
$\therefore ∠ BDC=∠ ECD$.
$\therefore ED=EC$.
$\therefore ED=AC$.
$\therefore AD+AC=AD+ED=2AB$,
即$AD+AC=2AB$.
(2) $∠ A=60°-\frac{2}{3}α$.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查几何辅助线的构造方法，通过倍长线段构造等腰三角形，将线段和差关系转化为线段相等关系，结合角度的等量代换完成推导，解题的核心是合理构造辅助线，准确梳理角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
(1) 选择小聪的思路解题：首先观察待证结论$AD+AC=2AB$，可通过倍长$AB$构造出长度为$2AB$的线段$AE$，此时$AE=AD+DE$，只需证$DE=AC$即可。结合$BC$垂直平分$AE$可得$AC=EC$，进一步将证明目标转化为证$DE=EC$，再利用已知的角度关系$∠ A=2∠ BCD$，结合三角形内角和推导对应角相等，即可得到$ED=EC$，完成证明。
(2) 第二问可通过构造辅助线：延长$AB$到$E$使$BE=BD$，结合已知$AB+BD=AC$可得$AE=AC$，即$△ AEC$为等腰三角形，再结合线段垂直平分线性质、等腰三角形性质及角度和差关系建立等式，即可求出$∠ A$的表达式。
【解析】
(1) 选择小聪的思路证明：
如图，延长$AB$到点$E$，使$BE=AB$，连接$CE$。
$\because ∠ ABC=90°$，
$\therefore BC$为线段$AE$的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得$EC=AC$，
$\therefore ∠ E=∠ A$。
在$△ BCD$中，$∠ BDC=90°-∠ BCD$，
$\because ∠ A=2∠ BCD$，
$\therefore ∠ E=2∠ BCD$。
在$△ EDC$中，$∠ ECD=180°-∠ E-∠ BDC=180°-2∠ BCD-(90°-∠ BCD)=90°-∠ BCD$，
$\therefore ∠ BDC=∠ ECD$，
$\therefore ED=EC$，
又$\because EC=AC$，
$\therefore ED=AC$。
$\because AE=AD+DE=AB+BE=2AB$，
$\therefore AD+AC=AD+ED=2AB$，即$AD+AC=2AB$得证。
(2) 解：延长$AB$至$E$，使$BE=BD$，连接$CE$，则$AE=AB+BE=AB+BD$，
$\because AB+BD=AC$，
$\therefore AE=AC$，$△ AEC$为等腰三角形，$∠ E=∠ ACE$。
$\because BC⊥ AB$，$BE=BD$，$\therefore BC$垂直平分$DE$，
$\therefore CE=CD$，$∠ E=∠ CDE=∠ A+α$，$∠ BCD=∠ BCE$。
设$∠ A=x$，则$∠ E=x+α$，$∠ ACB=90°-x$，$∠ BCD=∠ ACB-α=90°-x-α$，
$∠ ACE=∠ ACB+∠ BCE=(90°-x)+(90°-x-α)=180°-2x-α$，
$\because ∠ ACE=∠ E=x+α$，
$\therefore 180°-2x-α=x+α$，
解得$x=60°-\frac{2}{3}α$，即$∠ A=60°-\frac{2}{3}α$。
【答案】
(1) 证明如下:
如图,延长$AB$到点$E$,使$BE=AB$,连接$CE$.
$\because ∠ ABC=90°$,
$\therefore BC$为线段$AE$的垂直平分线.
$\therefore EC=AC$.
$\therefore ∠ E=∠ A$.
在$△ BCD$中,$∠ BDC=90°-∠ BCD$,
$\because ∠ A=2∠ BCD$,
$\therefore ∠ E=2∠ BCD$.
在$△ EDC$中,$∠ ECD=180°-∠ E-∠ BDC=90°-∠ BCD$,
$\therefore ∠ BDC=∠ ECD$.
$\therefore ED=EC$.
$\therefore ED=AC$.
$\therefore AD+AC=AD+ED=2AB$,
即$AD+AC=2AB$.
(2) $∠ A=60°-\frac{2}{3}α$.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查几何辅助线的构造方法，通过倍长线段构造等腰三角形，将线段和差关系转化为线段相等关系，结合角度的等量代换完成推导，解题的核心是合理构造辅助线，准确梳理角度之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
