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【例1】如图，已知线段$a,b(a＞b)$，用直尺和圆规画出线段$c$，使$c=2a-b$. 
答案
解:如图.
画法:(1)画射线OA;
(2)在射线OA上顺次截取OB=BC=a;
(3)在线段OC上截取OD=b,则线段CD就是所求作的线段c.
解析
【分析】
要作出满足$c=2a-b$的线段，我们可以先构造出长度为$2a$的线段，再从该线段中减去长度为$b$的线段，剩余部分就是所求线段。具体思考路径：首先画一条射线作为作图的基础载体，接着在射线上连续截取两段长度为$a$的线段，得到总长度为$2a$的线段，最后在这个长为$2a$的线段上截取长度为$b$的线段，剩下的部分长度就是$2a-b$。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用直尺画射线$OA$；
2. 使用圆规量取已知线段$a$的长度，在射线$OA$上从端点$O$出发顺次截取$OB=a$，$BC=a$，此时线段$OC=OB+BC=2a$；
3. 再用圆规量取已知线段$b$的长度，在线段$OC$上从端点$O$出发截取$OD=b$，剩余的线段$CD=OC-OD=2a-b$，即为所求的线段$c$。
【答案】
解:如图.
画法:(1)画射线OA;
(2)在射线OA上顺次截取OB=BC=a;
(3)在线段OC上截取OD=b,则线段CD就是所求作的线段c.
【知识点】
尺规作图；线段的和差运算
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，重点考查对线段和、差作图方法的掌握：作线段的和需要在射线上顺次截取对应长度的线段，作线段的差需要在较长线段上截取对应长度的短线段，作图时注意截取方向不要出错即可。
【难度系数】
0.8
要作出满足$c=2a-b$的线段，我们可以先构造出长度为$2a$的线段，再从该线段中减去长度为$b$的线段，剩余部分就是所求线段。具体思考路径：首先画一条射线作为作图的基础载体，接着在射线上连续截取两段长度为$a$的线段，得到总长度为$2a$的线段，最后在这个长为$2a$的线段上截取长度为$b$的线段，剩下的部分长度就是$2a-b$。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用直尺画射线$OA$；
2. 使用圆规量取已知线段$a$的长度，在射线$OA$上从端点$O$出发顺次截取$OB=a$，$BC=a$，此时线段$OC=OB+BC=2a$；
3. 再用圆规量取已知线段$b$的长度，在线段$OC$上从端点$O$出发截取$OD=b$，剩余的线段$CD=OC-OD=2a-b$，即为所求的线段$c$。
【答案】
解:如图.
画法:(1)画射线OA;
(2)在射线OA上顺次截取OB=BC=a;
(3)在线段OC上截取OD=b,则线段CD就是所求作的线段c.
【知识点】
尺规作图；线段的和差运算
【点评】
本题是基础的尺规作图类题目，重点考查对线段和、差作图方法的掌握：作线段的和需要在射线上顺次截取对应长度的线段，作线段的差需要在较长线段上截取对应长度的短线段，作图时注意截取方向不要出错即可。
【难度系数】
0.8
【例2】已知线段MN上有P,Q两点，MN=32 cm，MP=17 cm，PQ=6 cm，求NQ的长。
答案
解:①若点Q在点P的左边,如图①.
由题意,得 PN=MN−MP=32−17=15(cm),
所以 NQ=PQ+PN=6+15=21(cm);
②若点Q在点P的右边,如图②.
由题意,得 PN=MN−MP=32−17=15(cm),
所以 NQ=PN−PQ=15−6=9(cm).
综上所述,NQ的长为9 cm或21 cm.
解析
【分析】
本题未明确点Q与点P的相对位置，因此需分类讨论求解：首先先根据已知线段MN、MP的长度求出PN的长度，再分两种情况：①点Q在点P左侧，此时NQ为PQ与PN的和；②点Q在点P右侧，此时NQ为PN与PQ的差，分别代入数值计算即可。
【解析】
①若点Q在点P的左边，如图①.
由题意,得 PN=MN−MP=32−17=15(cm),
所以 NQ=PQ+PN=6+15=21(cm);
②若点Q在点P的右边,如图②.
由题意,得 PN=MN−MP=32−17=15(cm),
所以 NQ=PN−PQ=15−6=9(cm).
综上所述,NQ的长为9 cm或21 cm.
【答案】
NQ的长为9 cm或21 cm
【知识点】
线段的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段运算的典型题型，易错点是忽略两点的位置不确定性，未分类讨论导致漏解，做此类无明确位置说明的线段计算题时，要全面考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.7
本题未明确点Q与点P的相对位置，因此需分类讨论求解：首先先根据已知线段MN、MP的长度求出PN的长度，再分两种情况：①点Q在点P左侧，此时NQ为PQ与PN的和；②点Q在点P右侧，此时NQ为PN与PQ的差，分别代入数值计算即可。
【解析】
①若点Q在点P的左边，如图①.
由题意,得 PN=MN−MP=32−17=15(cm),
所以 NQ=PQ+PN=6+15=21(cm);
②若点Q在点P的右边,如图②.
由题意,得 PN=MN−MP=32−17=15(cm),
所以 NQ=PN−PQ=15−6=9(cm).
综上所述,NQ的长为9 cm或21 cm.
【答案】
NQ的长为9 cm或21 cm
【知识点】
线段的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段运算的典型题型，易错点是忽略两点的位置不确定性，未分类讨论导致漏解，做此类无明确位置说明的线段计算题时，要全面考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.7
【例3】(2025凉州区校级开学)如图,从小明家到学校有4条路,其中沿路线③走最近,其数学依据是
两点之间，线段最短
。答案
两点之间，线段最短
解析
【分析】
我们可以先把小明家和学校抽象为平面内的两个固定点，再观察4条路线的形态：路线①②是弯曲的曲线，路线④是由两条线段组成的折线，只有路线③是直接连接这两个点的线段。回忆线段的相关性质可知，两点之间的所有连线中，线段的长度最短，由此即可推出对应的数学依据。
【解析】
将小明家、学校看作平面内的两个点，逐一观察4条路径：①、②属于曲线，④属于折线，仅③是直接连接两个点的线段。根据线段的基本性质：两点之间，线段最短，因此沿路线③走最近。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
1. 线段的性质
2. 两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活中出行选路的场景考查线段基本性质的应用，题目贴近生活，能够体现数学知识的实用价值，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
我们可以先把小明家和学校抽象为平面内的两个固定点，再观察4条路线的形态：路线①②是弯曲的曲线，路线④是由两条线段组成的折线，只有路线③是直接连接这两个点的线段。回忆线段的相关性质可知，两点之间的所有连线中，线段的长度最短，由此即可推出对应的数学依据。
【解析】
将小明家、学校看作平面内的两个点，逐一观察4条路径：①、②属于曲线，④属于折线，仅③是直接连接两个点的线段。根据线段的基本性质：两点之间，线段最短，因此沿路线③走最近。
【答案】
两点之间，线段最短
【知识点】
1. 线段的性质
2. 两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活中出行选路的场景考查线段基本性质的应用，题目贴近生活，能够体现数学知识的实用价值，掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
【例4】(2024秋东莞市期末)如图所示，点C在线段AB上，AB=30，AC=12，点M，N分别是AB，BC的中点。
(1)求CN的长度；
(2)求MN的长度。
(1)求CN的长度；
(2)求MN的长度。
答案
解:(1)因为 AB=30,AC=12,
所以 BC=18,
因为点 N 是 BC 的中点,
所以 $CN=BN=\frac{1}{2}BC=9$.
(2)因为点 M 是 AB 的中点,
所以 $BM=\frac{1}{2}AB=15$,
因为 $MN=BM-BN$,
所以 $MN=6$.
所以 BC=18,
因为点 N 是 BC 的中点,
所以 $CN=BN=\frac{1}{2}BC=9$.
(2)因为点 M 是 AB 的中点,
所以 $BM=\frac{1}{2}AB=15$,
因为 $MN=BM-BN$,
所以 $MN=6$.
解析
【分析】
(1) 要求CN的长度，已知N是BC的中点，根据线段中点的性质，CN为BC长度的一半，因此只需先求出BC的长度即可。已知AB和AC的长度，根据线段和差关系，BC=AB-AC，算出BC后代入中点性质即可得到CN的长度。
(2) 要求MN的长度，观察图形可知MN=BM-BN，因此先求BM的长度：已知M是AB的中点，根据中点性质可得BM为AB长度的一半；BN与第一问求出的CN长度相等，将BM和BN的值代入和差公式即可求出MN的长度。
【解析】
解：(1) 已知$AB=30$，$AC=12$，
根据线段和差关系可得：$BC=AB-AC=30-12=18$，
∵ 点N是BC的中点，
∴ $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×18=9$。
(2)
∵ 点M是AB的中点，$AB=30$，
∴ $BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×30=15$，
由(1)可知$BN=CN=9$，
∴ $MN=BM-BN=15-9=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是熟练掌握线段中点的性质，准确梳理图中各线段的和差关系，即可快速完成求解。
【难度系数】
0.85
(1) 要求CN的长度，已知N是BC的中点，根据线段中点的性质，CN为BC长度的一半，因此只需先求出BC的长度即可。已知AB和AC的长度，根据线段和差关系，BC=AB-AC，算出BC后代入中点性质即可得到CN的长度。
(2) 要求MN的长度，观察图形可知MN=BM-BN，因此先求BM的长度：已知M是AB的中点，根据中点性质可得BM为AB长度的一半；BN与第一问求出的CN长度相等，将BM和BN的值代入和差公式即可求出MN的长度。
【解析】
解：(1) 已知$AB=30$，$AC=12$，
根据线段和差关系可得：$BC=AB-AC=30-12=18$，
∵ 点N是BC的中点，
∴ $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×18=9$。
(2)
∵ 点M是AB的中点，$AB=30$，
∴ $BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×30=15$，
由(1)可知$BN=CN=9$，
∴ $MN=BM-BN=15-9=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9}$；(2) $\boldsymbol{6}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差运算
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是熟练掌握线段中点的性质，准确梳理图中各线段的和差关系，即可快速完成求解。
【难度系数】
0.85
