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11. 反比例函数 $ y_1 = \frac{k}{x}, y_2 = -\frac{2k}{x} (k ≠ 0) $，当 $ a ≤ x ≤ b (b,a $ 为常数，且 $ b ＞ a ＞ 0) $ 时，$ y_1 $ 的最小值为 $ m $，$ y_2 $ 的最大值为 $ n $，则 $ \frac{m}{n} $ 的值为（）
A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$ 或 $-2$
D.$-\frac{b}{2a}$
A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$ 或 $-2$
D.$-\frac{b}{2a}$
答案
11. B[提示:当 $k＞0$ 时，$m=\frac{k}{b},n=-\frac{2k}{b},\therefore \frac{m}{n}=-\frac{1}{2}$，当 $k＜0$ 时，$m=\frac{k}{a},n=-\frac{2k}{a},\therefore \frac{m}{n}=-\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{m}{n}$ 的值为 $-\frac{1}{2}$]
解析
【分析】
要解决这道题，首先需结合反比例函数的增减性确定给定区间内的最值，由于k的符号会影响反比例函数的增减性，因此需要分k＞0和k＜0两种情况讨论：先分别推导两种情况下$y_1$的最小值m、$y_2$的最大值n，再计算$\frac{m}{n}$的比值，验证结果是否为定值。
【解析】
已知自变量取值范围为$a ≤ x ≤ b$，且$b ＞ a ＞ 0$，分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=b$时，$y_1$取得最小值，即$m=\frac{k}{b}$；
反比例函数$y_2=-\frac{2k}{x}$中$-2k＜0$，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=b$时，$y_2$取得最大值，即$n=-\frac{2k}{b}$；
此时$\frac{m}{n}=\frac{\frac{k}{b}}{-\frac{2k}{b}}=-\frac{1}{2}$。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$中$k＜0$，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=a$时，$y_1$取得最小值，即$m=\frac{k}{a}$；
反比例函数$y_2=-\frac{2k}{x}$中$-2k＞0$，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=a$时，$y_2$取得最大值，即$n=-\frac{2k}{a}$；
此时$\frac{m}{n}=\frac{\frac{k}{a}}{-\frac{2k}{a}}=-\frac{1}{2}$。
综上，无论k正负，$\frac{m}{n}$的值均为$-\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的增减性；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，解题关键是明确k的符号对反比例函数增减性的影响，结合自变量的取值范围正确找到对应的最值，计算时会发现参数k、a、b均可约去，结果为固定值，避免因参数存在误选其他选项。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需结合反比例函数的增减性确定给定区间内的最值，由于k的符号会影响反比例函数的增减性，因此需要分k＞0和k＜0两种情况讨论：先分别推导两种情况下$y_1$的最小值m、$y_2$的最大值n，再计算$\frac{m}{n}$的比值，验证结果是否为定值。
【解析】
已知自变量取值范围为$a ≤ x ≤ b$，且$b ＞ a ＞ 0$，分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=b$时，$y_1$取得最小值，即$m=\frac{k}{b}$；
反比例函数$y_2=-\frac{2k}{x}$中$-2k＜0$，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=b$时，$y_2$取得最大值，即$n=-\frac{2k}{b}$；
此时$\frac{m}{n}=\frac{\frac{k}{b}}{-\frac{2k}{b}}=-\frac{1}{2}$。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$中$k＜0$，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=a$时，$y_1$取得最小值，即$m=\frac{k}{a}$；
反比例函数$y_2=-\frac{2k}{x}$中$-2k＞0$，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=a$时，$y_2$取得最大值，即$n=-\frac{2k}{a}$；
此时$\frac{m}{n}=\frac{\frac{k}{a}}{-\frac{2k}{a}}=-\frac{1}{2}$。
综上，无论k正负，$\frac{m}{n}$的值均为$-\frac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的增减性；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查反比例函数性质的应用，解题关键是明确k的符号对反比例函数增减性的影响，结合自变量的取值范围正确找到对应的最值，计算时会发现参数k、a、b均可约去，结果为固定值，避免因参数存在误选其他选项。
【难度系数】
0.7
12.设函数$y_1=\frac{k}{x},y_2=\frac{k+1}{x}(k＞0)$,当$1≤x≤3$时,函数$y_1$的最小值是$a$,函数$y_2$的最大值是$6a$。
(1)求$k$的值。
(2)若点$P(m,n)$在函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象上,且点$P$到$y$轴的距离大于3,求$n$的取值范围。
(3)一次函数$y=\frac{3}{11}x+\frac{8}{11}$与函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象在第一象限的交点为点$A$,且与$x$轴交于点$B$,点$C$在函数$y_1=\frac{k}{x}$位于第一象限的图象上,若$S_{△ AOC}=S_{△ AOB}$,直接写出点$C$的横坐标。
(第12题)
(1)求$k$的值。
(2)若点$P(m,n)$在函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象上,且点$P$到$y$轴的距离大于3,求$n$的取值范围。
(3)一次函数$y=\frac{3}{11}x+\frac{8}{11}$与函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象在第一象限的交点为点$A$,且与$x$轴交于点$B$,点$C$在函数$y_1=\frac{k}{x}$位于第一象限的图象上,若$S_{△ AOC}=S_{△ AOB}$,直接写出点$C$的横坐标。
(第12题)答案
12. (1)$k=1$
(2)$\because P(m,n)$到$y$轴的距离大于3，$\therefore m＜-3$或$m＞3$。$\because y_1=\frac{1}{x},\therefore -\frac{1}{3}＜n＜0$或$0＜n＜\frac{1}{3}$
(3)①当点$C$在$A$点的右侧设$C(m,\frac{1}{m})$，过$A,C$分别关于$x$轴作垂线交于点$M,N$。$\because S_{△ AOC}=S_{直角梯形ACNM}=\frac{4}{3},\therefore \frac{1}{2}(1+m)(m-1)=\frac{4}{3},\therefore m_1=3,m_2=-\frac{1}{3}$(舍去)，当点$C$在$A$点的左侧，同理可得$\frac{1}{2}(1+\frac{1}{m})(1-m)=\frac{4}{3},\therefore m_1=-3$(舍),$m_2=\frac{1}{3}$，$\therefore$点$C$的横坐标为3或$\frac{1}{3}$
(2)$\because P(m,n)$到$y$轴的距离大于3，$\therefore m＜-3$或$m＞3$。$\because y_1=\frac{1}{x},\therefore -\frac{1}{3}＜n＜0$或$0＜n＜\frac{1}{3}$
(3)①当点$C$在$A$点的右侧设$C(m,\frac{1}{m})$，过$A,C$分别关于$x$轴作垂线交于点$M,N$。$\because S_{△ AOC}=S_{直角梯形ACNM}=\frac{4}{3},\therefore \frac{1}{2}(1+m)(m-1)=\frac{4}{3},\therefore m_1=3,m_2=-\frac{1}{3}$(舍去)，当点$C$在$A$点的左侧，同理可得$\frac{1}{2}(1+\frac{1}{m})(1-m)=\frac{4}{3},\therefore m_1=-3$(舍),$m_2=\frac{1}{3}$，$\therefore$点$C$的横坐标为3或$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
(1) 反比例函数当比例系数大于0时，在x＞0区间内y随x增大而减小。因此y₁在1≤x≤3范围内，x取最大值3时取得最小值a；y₂比例系数k+1＞0，同理x取最小值1时取得最大值，结合最大值为6a的条件列方程即可求出k。
(2) 点到y轴的距离是横坐标的绝对值，由此得到m的取值范围，再结合y₁=1/x的单调性，分m＞3和m＜-3两种情况即可求出n的取值范围。
(3) 先联立一次函数和y₁的解析式求交点A的坐标，再求一次函数与x轴交点B的坐标，计算△AOB的面积；再分点C在点A左侧、右侧两种情况，用割补法表示△AOC的面积，令其等于△AOB的面积，解方程即可求出C的横坐标，舍去不符合第一象限的解。
【解析】
(1)
∵k＞0，
∴$y_1=\frac{k}{x}$、$y_2=\frac{k+1}{x}$在x＞0时，y均随x增大而减小。
当1≤x≤3时，$y_1$的最小值在x=3处取得，即$a=\frac{k}{3}$；
$y_2$的最大值在x=1处取得，即$y_{2max}=k+1$。
由题意得$k+1=6a$，将$a=\frac{k}{3}$代入得：
$k+1=6×\frac{k}{3}$
$k+1=2k$
解得$k=1$。
(2) 由(1)得$y_1=\frac{1}{x}$，
∵点$P(m,n)$在$y_1$图象上，
∴$n=\frac{1}{m}$。
∵点P到y轴的距离大于3，
∴$|m|＞3$，即$m＞3$或$m＜-3$。
①当$m＞3$时，$y=\frac{1}{x}$在x＞0时单调递减，
∴$0＜\frac{1}{m}＜\frac{1}{3}$，即$0＜n＜\frac{1}{3}$；
②当$m＜-3$时，$y=\frac{1}{x}$在x＜0时单调递减，
∴$-\frac{1}{3}＜\frac{1}{m}＜0$，即$-\frac{1}{3}＜n＜0$。
综上，n的取值范围是$-\frac{1}{3}＜n＜0$或$0＜n＜\frac{1}{3}$。
(3) 联立$\begin{cases}y=\frac{3}{11}x+\frac{8}{11}\\y=\frac{1}{x}\end{cases}$，消去y得$\frac{3}{11}x+\frac{8}{11}=\frac{1}{x}$，两边乘11x得$3x^2+8x-11=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{11}{3}$（舍去，第一象限x＞0），代入得y=1，
∴A(1,1)。
令一次函数y=0，得$\frac{3}{11}x+\frac{8}{11}=0$，解得$x=-\frac{8}{3}$，
∴B$(-\frac{8}{3},0)$，$OB=\frac{8}{3}$。
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB× y_A=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×1=\frac{4}{3}$，即$S_{△ AOC}=\frac{4}{3}$。
设$C(m,\frac{1}{m})$（m＞0，在第一象限），分两种情况：
①当m＞1（C在A右侧），过A作AM⊥x轴于M，C作CN⊥x轴于N，
则$S_{△ AOC}=S_{梯形AMNC}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{m})(m-1)=\frac{4}{3}$，
化简得$3m^2-8m-3=0$，解得$m_1=3$，$m_2=-\frac{1}{3}$（舍去）；
②当0＜m＜1（C在A左侧），同理$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{m})(1-m)=\frac{4}{3}$，
化简得$3m^2+8m-3=0$，解得$m_1=\frac{1}{3}$，$m_2=-3$（舍去）。
综上，点C的横坐标为3或$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $k=1$
(2) $-\frac{1}{3}＜n＜0$或$0＜n＜\frac{1}{3}$
(3) $3$或$\frac{1}{3}$
【知识点】
1.反比例函数的增减性
2.函数交点求解
3.反比例函数面积计算
【点评】
本题围绕反比例函数的性质展开考查，前两问侧重基础性质的应用，第三问结合一次函数与面积计算，需要掌握割补法求不规则图形面积的方法，同时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 反比例函数当比例系数大于0时，在x＞0区间内y随x增大而减小。因此y₁在1≤x≤3范围内，x取最大值3时取得最小值a；y₂比例系数k+1＞0，同理x取最小值1时取得最大值，结合最大值为6a的条件列方程即可求出k。
(2) 点到y轴的距离是横坐标的绝对值，由此得到m的取值范围，再结合y₁=1/x的单调性，分m＞3和m＜-3两种情况即可求出n的取值范围。
(3) 先联立一次函数和y₁的解析式求交点A的坐标，再求一次函数与x轴交点B的坐标，计算△AOB的面积；再分点C在点A左侧、右侧两种情况，用割补法表示△AOC的面积，令其等于△AOB的面积，解方程即可求出C的横坐标，舍去不符合第一象限的解。
【解析】
(1)
∵k＞0，
∴$y_1=\frac{k}{x}$、$y_2=\frac{k+1}{x}$在x＞0时，y均随x增大而减小。
当1≤x≤3时，$y_1$的最小值在x=3处取得，即$a=\frac{k}{3}$；
$y_2$的最大值在x=1处取得，即$y_{2max}=k+1$。
由题意得$k+1=6a$，将$a=\frac{k}{3}$代入得：
$k+1=6×\frac{k}{3}$
$k+1=2k$
解得$k=1$。
(2) 由(1)得$y_1=\frac{1}{x}$，
∵点$P(m,n)$在$y_1$图象上，
∴$n=\frac{1}{m}$。
∵点P到y轴的距离大于3，
∴$|m|＞3$，即$m＞3$或$m＜-3$。
①当$m＞3$时，$y=\frac{1}{x}$在x＞0时单调递减，
∴$0＜\frac{1}{m}＜\frac{1}{3}$，即$0＜n＜\frac{1}{3}$；
②当$m＜-3$时，$y=\frac{1}{x}$在x＜0时单调递减，
∴$-\frac{1}{3}＜\frac{1}{m}＜0$，即$-\frac{1}{3}＜n＜0$。
综上，n的取值范围是$-\frac{1}{3}＜n＜0$或$0＜n＜\frac{1}{3}$。
(3) 联立$\begin{cases}y=\frac{3}{11}x+\frac{8}{11}\\y=\frac{1}{x}\end{cases}$，消去y得$\frac{3}{11}x+\frac{8}{11}=\frac{1}{x}$，两边乘11x得$3x^2+8x-11=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{11}{3}$（舍去，第一象限x＞0），代入得y=1，
∴A(1,1)。
令一次函数y=0，得$\frac{3}{11}x+\frac{8}{11}=0$，解得$x=-\frac{8}{3}$，
∴B$(-\frac{8}{3},0)$，$OB=\frac{8}{3}$。
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OB× y_A=\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×1=\frac{4}{3}$，即$S_{△ AOC}=\frac{4}{3}$。
设$C(m,\frac{1}{m})$（m＞0，在第一象限），分两种情况：
①当m＞1（C在A右侧），过A作AM⊥x轴于M，C作CN⊥x轴于N，
则$S_{△ AOC}=S_{梯形AMNC}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{m})(m-1)=\frac{4}{3}$，
化简得$3m^2-8m-3=0$，解得$m_1=3$，$m_2=-\frac{1}{3}$（舍去）；
②当0＜m＜1（C在A左侧），同理$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{m})(1-m)=\frac{4}{3}$，
化简得$3m^2+8m-3=0$，解得$m_1=\frac{1}{3}$，$m_2=-3$（舍去）。
综上，点C的横坐标为3或$\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $k=1$
(2) $-\frac{1}{3}＜n＜0$或$0＜n＜\frac{1}{3}$
(3) $3$或$\frac{1}{3}$
【知识点】
1.反比例函数的增减性
2.函数交点求解
3.反比例函数面积计算
【点评】
本题围绕反比例函数的性质展开考查，前两问侧重基础性质的应用，第三问结合一次函数与面积计算，需要掌握割补法求不规则图形面积的方法，同时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
