登录
1.如图，A，B，C，D是$\odot O$上的四个点，$∠ A=60°$，$∠ B=24°$，则$∠ C$的度数为 （
A.$84°$
B.$60°$
C.$36°$
D.$24°$
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
D
）A.$84°$
B.$60°$
C.$36°$
D.$24°$
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题首先回忆圆周角定理的相关推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。首先观察图形确定∠B和∠C所对的弧，可发现二者均对应弧AD，由此可直接推导二者相等，题干给出的∠A=60°为干扰条件，无需使用。
【解析】
解：
∵∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等的性质，
∴∠C=∠B=24°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确识别两个圆周角所对的公共弧，要注意排除题干中无关条件的干扰，熟练掌握圆周角相关推论即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆圆周角定理的相关推论：同弧或等弧所对的圆周角相等。首先观察图形确定∠B和∠C所对的弧，可发现二者均对应弧AD，由此可直接推导二者相等，题干给出的∠A=60°为干扰条件，无需使用。
【解析】
解：
∵∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等的性质，
∴∠C=∠B=24°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是准确识别两个圆周角所对的公共弧，要注意排除题干中无关条件的干扰，熟练掌握圆周角相关推论即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，AB是$\odot O$的直径，若$∠ BAC=20°$，则$∠ ADC=$（
A.$40°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
C
）A.$40°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AB是⊙O的直径”入手，结合圆周角的性质，直径所对的圆周角为直角，可先得到∠ACB=90°；再在直角三角形ABC中，利用直角三角形两锐角互余，结合已知的∠BAC=20°，算出∠ABC的度数；最后观察所求的∠ADC与∠ABC的关系，二者都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，∠BAC=20°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°。
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC=70°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角性质；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于圆周角相关的基础考题，核心考查圆周角的两个常用性质，解题的关键是通过直径的特性构造直角，再利用同弧圆周角相等完成角度转化，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“AB是⊙O的直径”入手，结合圆周角的性质，直径所对的圆周角为直角，可先得到∠ACB=90°；再在直角三角形ABC中，利用直角三角形两锐角互余，结合已知的∠BAC=20°，算出∠ABC的度数；最后观察所求的∠ADC与∠ABC的关系，二者都是弧AC所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
在Rt△ABC中，∠BAC=20°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=90°-20°=70°。
∵∠ADC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ADC=∠ABC=70°。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
直径所对圆周角性质；同弧所对圆周角相等
【点评】
本题属于圆周角相关的基础考题，核心考查圆周角的两个常用性质，解题的关键是通过直径的特性构造直角，再利用同弧圆周角相等完成角度转化，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
3.如图,两灯塔A,B间的距离恰好为暗礁分布所在的圆的半径,要使船P不驶入暗礁区,则航行中应保持∠P (
A.大于$60°$
B.大于$30°$
C.小于$60°$
D.小于$30°$
D
)A.大于$60°$
B.大于$30°$
C.小于$60°$
D.小于$30°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先将实际问题转化为几何问题：首先设暗礁圆的圆心为O，已知AB等于圆的半径，可推出△OAB为等边三角形，得到圆心角∠AOB的度数；再结合圆周角定理求出弧AB所对的圆周角的度数；最后对比点P在圆外、圆上、圆内时∠P和该圆周角的大小关系，即可确定保证P在暗礁区外时∠P的范围。
【解析】
设暗礁分布所在圆的圆心为O，连接OA、OB。
由题意可知AB=OA=OB，因此△OAB是等边三角形，可得∠AOB=60°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此弧AB所对的圆周角度数为$\frac{1}{2}∠ AOB=30°$。
当点P在圆外时，设PA交圆于点C，连接BC，由三角形外角的性质可得：∠ACB=∠P+∠PBC，因此∠P＜∠ACB=30°，此时船在暗礁区外；当P在圆上时∠P=30°，刚好在暗礁区边界；当P在圆内时∠P＞30°，船驶入暗礁区。
因此要使船不驶入暗礁区，航行中应保持∠P小于30°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合航海避礁的实际场景，考查几何知识的灵活应用，解题的核心是将实际问题转化为同弧对应的圆外角、圆周角的大小比较问题，能很好地考查学生对圆周角相关知识的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际问题转化为几何问题：首先设暗礁圆的圆心为O，已知AB等于圆的半径，可推出△OAB为等边三角形，得到圆心角∠AOB的度数；再结合圆周角定理求出弧AB所对的圆周角的度数；最后对比点P在圆外、圆上、圆内时∠P和该圆周角的大小关系，即可确定保证P在暗礁区外时∠P的范围。
【解析】
设暗礁分布所在圆的圆心为O，连接OA、OB。
由题意可知AB=OA=OB，因此△OAB是等边三角形，可得∠AOB=60°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此弧AB所对的圆周角度数为$\frac{1}{2}∠ AOB=30°$。
当点P在圆外时，设PA交圆于点C，连接BC，由三角形外角的性质可得：∠ACB=∠P+∠PBC，因此∠P＜∠ACB=30°，此时船在暗礁区外；当P在圆上时∠P=30°，刚好在暗礁区边界；当P在圆内时∠P＞30°，船驶入暗礁区。
因此要使船不驶入暗礁区，航行中应保持∠P小于30°。
【答案】
D
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合航海避礁的实际场景，考查几何知识的灵活应用，解题的核心是将实际问题转化为同弧对应的圆外角、圆周角的大小比较问题，能很好地考查学生对圆周角相关知识的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，且$AB=AC$，$∠ BAC=36°$.在弧$AB$上取点$D$（不与点$A$，$B$重合），连结$BD$，$AD$，则$∠ BAD+∠ ABD$的度数是 （
A.$60°$
B.$62°$
C.$72°$
D.$73°$
（第4题图）
（第5题图）
C
）A.$60°$
B.$62°$
C.$72°$
D.$73°$
（第4题图）
（第5题图）
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，先计算出△ABC的底角∠ACB的度数；再利用圆内接四边形的性质得到△ABD中∠ADB的度数；最后结合三角形内角和定理，即可求出∠BAD与∠ABD的和。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=36°$，
∴△ABC是等腰三角形，
∴$∠ACB=\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵四边形$ADBC$是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ADB+∠ACB=180°$，
∴$∠ADB=180°-72°=108°$，
在△ABD中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠BAD+∠ABD=180°-∠ADB=180°-108°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，将等腰三角形、圆的性质与三角形内角和定理结合考查，解题的关键是通过圆的性质建立不同三角形内角的等量关系，整体解题思路比较直接。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，先计算出△ABC的底角∠ACB的度数；再利用圆内接四边形的性质得到△ABD中∠ADB的度数；最后结合三角形内角和定理，即可求出∠BAD与∠ABD的和。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=36°$，
∴△ABC是等腰三角形，
∴$∠ACB=\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵四边形$ADBC$是$\odot O$的内接四边形，
∴$∠ADB+∠ACB=180°$，
∴$∠ADB=180°-72°=108°$，
在△ABD中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠BAD+∠ABD=180°-∠ADB=180°-108°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，将等腰三角形、圆的性质与三角形内角和定理结合考查，解题的关键是通过圆的性质建立不同三角形内角的等量关系，整体解题思路比较直接。
【难度系数】
0.7
5.如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形.若$∠ ABC=45°$，$AC=\sqrt{2}$，则$\odot O$的半径为
1
.答案
5.1
解析
【分析】
要求⊙O的半径，我们可以利用圆周角定理将已知的圆周角转化为对应的圆心角：首先∠ABC是弧AC所对的圆周角，连接OA、OC后，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理可求出∠AOC的度数，得到△AOC的形状，再结合AC的长度用勾股定理即可计算出半径。
【解析】
连接OA、OC，设⊙O的半径为$ r $。
∵ ∠ABC是弧$ AC $所对的圆周角，∠AOC是弧$ AC $所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，$ ∠ AOC = 2∠ ABC = 2×45° = 90° $
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ $ OA=OC=r $
在$ \mathrm{Rt}△ AOC $中，由勾股定理得：
$ OA^2 + OC^2 = AC^2 $
代入数据得：$ r^2 + r^2 = (\sqrt{2})^2 $
化简得：$ 2r^2 = 2 $，即$ r^2=1 $
∵ 半径为正数，
∴ $ r=1 $
【答案】
1
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆中求半径的典型基础题，解题关键是通过作半径构造圆心角，利用圆周角定理得到特殊直角三角形，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
要求⊙O的半径，我们可以利用圆周角定理将已知的圆周角转化为对应的圆心角：首先∠ABC是弧AC所对的圆周角，连接OA、OC后，∠AOC是弧AC所对的圆心角，根据圆周角定理可求出∠AOC的度数，得到△AOC的形状，再结合AC的长度用勾股定理即可计算出半径。
【解析】
连接OA、OC，设⊙O的半径为$ r $。
∵ ∠ABC是弧$ AC $所对的圆周角，∠AOC是弧$ AC $所对的圆心角
∴ 根据圆周角定理，$ ∠ AOC = 2∠ ABC = 2×45° = 90° $
又
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ $ OA=OC=r $
在$ \mathrm{Rt}△ AOC $中，由勾股定理得：
$ OA^2 + OC^2 = AC^2 $
代入数据得：$ r^2 + r^2 = (\sqrt{2})^2 $
化简得：$ 2r^2 = 2 $，即$ r^2=1 $
∵ 半径为正数，
∴ $ r=1 $
【答案】
1
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是圆中求半径的典型基础题，解题关键是通过作半径构造圆心角，利用圆周角定理得到特殊直角三角形，再结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.7
6.如图,已知圆的两弦AB,CD相交于点P,AD,CB的延长线相交于圆外一点Q,∠AQC=36°,∠APC=80°.求∠ADC和∠BCD的度数.
答案
6.解:$\because ∠ADC=∠C+∠AQC,∠APC=∠A+∠ADC$,
$\therefore ∠APC=∠C+∠AQC+∠A$,
$\because ∠A=∠C,∠AQC=36°,∠APC=80°$,
$\therefore 80°=2∠A+36°,∴∠A=22°$,
$\therefore ∠BCD=∠A=22°,∠ADC=∠APC-∠A=58°$.
$\therefore ∠APC=∠C+∠AQC+∠A$,
$\because ∠A=∠C,∠AQC=36°,∠APC=80°$,
$\therefore 80°=2∠A+36°,∴∠A=22°$,
$\therefore ∠BCD=∠A=22°,∠ADC=∠APC-∠A=58°$.
解析
【分析】
解题时可从两个核心知识点切入思考：①同弧所对的圆周角相等，本题中弧BD所对的圆周角∠A和∠BCD相等；②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。首先利用三角形外角性质分别表示出∠ADC和∠APC，再结合∠A=∠BCD的等量关系，代入已知的∠AQC和∠APC的度数，即可逐步求出两个未知角的度数。
【解析】
解：根据三角形外角的性质可得：
在$△ CDQ$中，$∠ ADC=∠ BCD+∠ AQC$，
在$△ APD$中，$∠ APC=∠ A+∠ ADC$，
将第一个式子代入第二个式子，可得$∠ APC=∠ A+∠ BCD+∠ AQC$，
∵同弧BD所对的圆周角相等，
∴$∠ A=∠ BCD$，
已知$∠ AQC=36°$，$∠ APC=80°$，代入得：
$80°=2∠ A+36°$，
解得$∠ A=22°$，
∴$∠ BCD=∠ A=22°$，
$∠ ADC=∠ APC-∠ A=80°-22°=58°$。
【答案】
$∠ ADC=58°$，$∠ BCD=22°$
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础常考题，解题关键是找准同弧对应的相等圆周角，结合三角形外角性质建立角度等量关系，代入已知条件计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时可从两个核心知识点切入思考：①同弧所对的圆周角相等，本题中弧BD所对的圆周角∠A和∠BCD相等；②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。首先利用三角形外角性质分别表示出∠ADC和∠APC，再结合∠A=∠BCD的等量关系，代入已知的∠AQC和∠APC的度数，即可逐步求出两个未知角的度数。
【解析】
解：根据三角形外角的性质可得：
在$△ CDQ$中，$∠ ADC=∠ BCD+∠ AQC$，
在$△ APD$中，$∠ APC=∠ A+∠ ADC$，
将第一个式子代入第二个式子，可得$∠ APC=∠ A+∠ BCD+∠ AQC$，
∵同弧BD所对的圆周角相等，
∴$∠ A=∠ BCD$，
已知$∠ AQC=36°$，$∠ APC=80°$，代入得：
$80°=2∠ A+36°$，
解得$∠ A=22°$，
∴$∠ BCD=∠ A=22°$，
$∠ ADC=∠ APC-∠ A=80°-22°=58°$。
【答案】
$∠ ADC=58°$，$∠ BCD=22°$
【知识点】
圆周角定理；三角形外角性质
【点评】
本题属于圆中角度计算的基础常考题，解题关键是找准同弧对应的相等圆周角，结合三角形外角性质建立角度等量关系，代入已知条件计算即可。
【难度系数】
0.7
