学习任务 利用反比例函数解决工程问题、几何问题和杠杆问题
1.工程问题:当工作总量一定时,工作时间随工作效率的变化而变化,这个关系可以用来表示(工作总量是常数).
2.几何问题:
(1)当矩形的面积S一定时,矩形的一边长a随其邻边长b的变化而变化,这个关系可以用来表示(S是常数);
(2)当三角形的面积S一定时,其底边长y随该底边上的高x的变化而变化,这个关系可以用来表示(S是常数);
(3)当长方体的体积V一定时,其底面积S随对应高h的变化而变化,这个关系可以用来表示(V是常数).
3.杠杆问题:根据杠杆原理"阻力×阻力臂=动力×动力臂",若阻力和阻力臂已知,则动力和动力臂成反比例;若动力和动力臂已知,则阻力和阻力臂成反比例.

1. 工作时间$=\frac{工作总量}{工作效率}$
2.(1)$a=\frac{S}{b}$
(2)$y=\frac{2S}{x}$
(3)$S=\frac{V}{h}$

【分析】
本题考查反比例函数在不同实际场景中的应用，解题思路为：首先明确各问题对应的基本等量关系式，再确定题目中给定的常量，最后将待表示的因变量单独整理到等式一侧，即可得到对应的表达式。
【解析】
1. 工程问题的基本等量关系为：$\mathrm{工作总量}=\mathrm{工作效率}×\mathrm{工作时间}$，已知工作总量为常数，将等式两边同时除以工作效率，可得$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$。
2. (1) 矩形面积公式为$S=ab$，已知$S$为常数，将等式两边同时除以$b$，可得$a=\frac{S}{b}$。
(2) 三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}xy$，已知$S$为常数，先将等式两边同时乘2得$2S=xy$，再两边同时除以$x$，可得$y=\frac{2S}{x}$。
(3) 长方体体积公式为$V=Sh$，已知$V$为常数，将等式两边同时除以$h$，可得$S=\frac{V}{h}$。
【答案】
1. 工作时间$=\frac{工作总量}{工作效率}$
2.(1)$a=\frac{S}{b}$
(2)$y=\frac{2S}{x}$
(3)$S=\frac{V}{h}$
【知识点】
1. 反比例函数实际应用
2. 常见几何量计算公式
3. 工程问题等量关系
【点评】
本题属于基础类应用题，重点考查对不同场景下基本等量关系的掌握，以及将等量关系变形为反比例形式的能力，是后续解决复杂反比例实际问题的基础。
【难度系数】
0.85

【例1】一项工程中，某工程队工人每天需要挖掘20 t的土，完成整个工程恰好用了6天.
(1)在工程结束后，工人需要把所有的土回填，在整个回填过程中，平均回填速度v(单位:t/天)与完成回填所需时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系？
(2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程用时不超过4天，那么平均每天至少要回填多少土？
解:
变式训练
1.某工人加工一批机器零件，如果每小时加工30个，那么12 h可以完成.
(1)设每小时加工的零件数量为x(单位:个)，完成加工所需时间为y(单位:h)，写出y关于x的函数解析式.
(2)若要在一个工作日(即8 h)内完成加工任务，则每小时要比原来多加工多少个？

【例1】解:(1)平均回填速度v与完成回填所需时间t之间具有反比例关系,其函数解析式为$v=\frac{120}{t}$.
(2)平均每天至少要回填30 t土.
1.解:(1)$y=\frac{360}{x}$.
(2)每小时要比原来多加工15个.

【分析】
这组题是工程类实际问题与反比例函数结合的基础题型，解题核心是抓住“工作总量=工作效率×工作时间”的等量关系，且工作总量为固定值，因此工作效率和工作时间成反比例关系。解题步骤可分为两步：①根据已知的初始效率和工作时间，计算出固定的工作总量；②若给定时间限制，可代入反比例函数关系，结合反比例函数增减性或解不等式求出效率的最小值。
【解析】
例1
(1) 首先计算工程挖土总重量：已知每天挖掘20t，6天完成，总土量为 $20×6=120(\mathrm{t})$。
回填过程总土量不变，因此回填速度$v$和回填时间$t$满足 $v· t=120$，整理得反比例函数解析式为 $v=\frac{120}{t}\ (t＞0)$。
(2) 已知回填用时不超过4天，即 $t≤4$。
由于$k=120＞0$，在$t＞0$范围内，$v$随$t$的增大而减小，因此当$t$取最大值4时，$v$取最小值：$v=\frac{120}{4}=30(\mathrm{t/天})$，即平均每天至少回填30t土。
变式训练1
(1) 首先计算零件总数量：已知每小时加工30个，12h完成，总零件数为 $30×12=360(\mathrm{个})$。
总零件数不变，因此每小时加工量$x$和加工时间$y$满足 $x· y=360$，整理得$y$关于$x$的函数解析式为 $y=\frac{360}{x}\ (x＞0)$。
(2) 要求8h内完成任务，即 $y≤8$，代入函数得 $\frac{360}{x}≤8$。
解不等式得 $x≥\frac{360}{8}=45$，即每小时至少加工45个。
原来每小时加工30个，因此每小时需比原来多加工 $45-30=15(\mathrm{个})$。
【答案】
【例1】(1)函数解析式为$v=\frac{120}{t}$；(2)平均每天至少要回填30 t土。
1.(1)$y=\frac{360}{x}$；(2)每小时要比原来多加工15个。
【知识点】
反比例函数实际应用，工程问题数量关系，不等式应用
【点评】
本题结合工程实际场景考查反比例函数的应用，解题关键是抓住工作总量固定的隐含条件建立函数模型，再结合限制条件求解最值，能够锻炼学生的数学建模能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.8