3.如图,过反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$图象上的点A,作x轴的垂线AB,垂足为B,C是x轴上一点(点C在点B右侧),以AB,BC为邻边作矩形ABCD,连接AC与BD交于点E,若点E在反比例函数的图象上,且$S_{矩形ABCD}=10$,则k的值为 ()


A.10
B.$4\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.5

3.D

【分析】首先利用矩形对角线互相平分的性质，确定点E是对角线AC的中点；接下来设出点A的坐标，结合矩形面积表示出点C的坐标，再用中点坐标公式求出点E的坐标；最后根据点E也在反比例函数图象上，代入解析式建立方程求解k即可。
【解析】设点A的坐标为$(m,\frac{k}{m})$（$m＞0$），
∵AB⊥x轴，垂足为B，
∴点B坐标为$(m,0)$，AB的长度为$\frac{k}{m}$。
已知矩形ABCD的面积为10，$S_{矩形ABCD}=AB· BC=10$，
∴$BC=\frac{10}{AB}=\frac{10m}{k}$，
∵点C在B右侧，
∴点C的坐标为$(m+\frac{10m}{k}, 0)$。
∵矩形对角线互相平分，
∴E是AC的中点，
根据中点坐标公式，点E的横坐标为$\frac{m + (m+\frac{10m}{k})}{2}=m+\frac{5m}{k}$，纵坐标为$\frac{\frac{k}{m}+0}{2}=\frac{k}{2m}$。
∵点E在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴$x_E · y_E =k$，
代入得：$(m+\frac{5m}{k}) · \frac{k}{2m} =k$，
左边化简得：$\frac{k}{2}+\frac{5}{2}=k$，
解得$k=5$。
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质，矩形的性质，中点坐标公式
【点评】本题是反比例函数与几何图形结合的基础综合题，解题核心是利用矩形中点的性质关联相关点的坐标，再结合反比例函数的坐标特征列方程求解，渗透了数形结合的解题思想。
【难度系数】0.7

4.如图,点A,B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,延长AB交x轴于点C,若$△ AOC$的面积是12,且B是AC的中点,试求k的值.

4.解:$k=8$.

【分析】
解题时先利用反比例函数上点的坐标特征设出点A的坐标，结合B是AC中点、C在x轴上的条件，推出点B的纵坐标，代入反比例函数解析式得到点B的横坐标，再通过中点坐标公式求出点C的横坐标，最后利用三角形AOC的面积公式建立关于k的方程，消去参数后即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})(a＞0)$，
∵点C在x轴上，
∴点C的纵坐标为0，
∵B是AC的中点，根据中点坐标公式，点B的纵坐标为$\frac{\frac{k}{a}+0}{2}=\frac{k}{2a}$，
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，将$y=\frac{k}{2a}$代入解析式得$\frac{k}{2a}=\frac{k}{x}$，解得$x=2a$，即点B的横坐标为$2a$，
再根据中点坐标公式，点B的横坐标满足$2a=\frac{a+x_C}{2}$（$x_C$为点C的横坐标），解得$x_C=3a$，即$OC=3a$，
已知$S_{△ AOC}=12$，由三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}× OC× y_A=\frac{1}{2}×3a×\frac{k}{a}=12$
化简得$\frac{3k}{2}=12$，解得$k=8$。
【答案】
$k=8$
【知识点】
反比例函数的性质，中点坐标公式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是利用反比例函数上点的坐标特征结合中点公式表示各点坐标，计算过程中设置的参数会自然消去，无需单独求解参数，降低了解题难度。
【难度系数】
0.6