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例1 已知α，β是一元二次方程$\frac{1}{3}x(x+3)=3x+5$的两个实数根。
(1)求$α^2β+αβ^2$的值；
(2)求$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}$的值。
归纳总结
根据一元二次方程根与系数的关系求代数式值的一般步骤：
(1)先化成一般形式，再确定a，b，c；
(2)根据$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，求出两根和与两根积的值；
(3)把求值式变形，出现$x_1+x_2$或$x_1x_2$；
(4)整体代入计算，求得最终结果。
(1)求$α^2β+αβ^2$的值；
(2)求$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}$的值。
归纳总结
根据一元二次方程根与系数的关系求代数式值的一般步骤：
(1)先化成一般形式，再确定a，b，c；
(2)根据$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，求出两根和与两根积的值；
(3)把求值式变形，出现$x_1+x_2$或$x_1x_2$；
(4)整体代入计算，求得最终结果。
答案
解：将一元二次方程$\frac{1}{3}x(x+3)=3x+5$整理，得$x^2-6x-15=0$.
∵α，β是一元二次方程$\frac{1}{3}x(x+3)=3x+5$的两个实数根，
∴$α+β=6$，$αβ=-15$.
(1)$α^2β+αβ^2=αβ(α+β)=-15×6=-90$.
(2)$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}=\frac{α^2+β^2}{αβ}=\frac{(α+β)^2-2αβ}{αβ}=\frac{6^2-2×(-15)}{-15}=-\frac{22}{5}$.
∵α，β是一元二次方程$\frac{1}{3}x(x+3)=3x+5$的两个实数根，
∴$α+β=6$，$αβ=-15$.
(1)$α^2β+αβ^2=αβ(α+β)=-15×6=-90$.
(2)$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}=\frac{α^2+β^2}{αβ}=\frac{(α+β)^2-2αβ}{αβ}=\frac{6^2-2×(-15)}{-15}=-\frac{22}{5}$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，无需解出方程的两个实根，通过整体代入即可求解，解题思路如下：①先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定系数$a、b、c$；②根据根与系数的关系，求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$的值；③将所求代数式进行恒等变形，转化为只含$α+β$和$αβ$的形式；④将$α+β、αβ$的值整体代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
先将原一元二次方程整理为一般形式：
$\frac{1}{3}x(x+3)=3x+5$
去分母得：$x(x+3)=9x+15$
展开、移项、合并同类项得：$x^2 - 6x -15 = 0$
∵$α，β$是该方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=6$，$αβ=\frac{c}{a}=-15$
(1) 对$α^2β + αβ^2$因式分解，提取公因式$αβ$，得：
$α^2β + αβ^2 = αβ(α+β)$
将$αβ=-15$，$α+β=6$代入得：
原式$=-15×6=-90$
(2) 对$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}$先通分，得：
$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}=\frac{α^2 + β^2}{αβ}$
再根据完全平方公式，将分子变形：$α^2 + β^2=(α+β)^2 - 2αβ$，代入得：
原式$=\frac{(α+β)^2 - 2αβ}{αβ}$
将$α+β=6$，$αβ=-15$代入得：
原式$=\frac{6^2 - 2×(-15)}{-15}=\frac{36 + 30}{-15}=\frac{66}{-15}=-\frac{22}{5}$
【答案】
(1) $\boxed{-90}$；(2) $\boxed{-\dfrac{22}{5}}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.因式分解 3.完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求的两根对称式转化为含有两根之和、两根之积的结构，通过整体代入计算即可，不需要求解方程的具体根，简化了运算过程，需熟练掌握常见对称式的变形技巧。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，无需解出方程的两个实根，通过整体代入即可求解，解题思路如下：①先将给定的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，确定系数$a、b、c$；②根据根与系数的关系，求出两根之和$α+β$与两根之积$αβ$的值；③将所求代数式进行恒等变形，转化为只含$α+β$和$αβ$的形式；④将$α+β、αβ$的值整体代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
先将原一元二次方程整理为一般形式：
$\frac{1}{3}x(x+3)=3x+5$
去分母得：$x(x+3)=9x+15$
展开、移项、合并同类项得：$x^2 - 6x -15 = 0$
∵$α，β$是该方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得：
$α+β=-\frac{b}{a}=6$，$αβ=\frac{c}{a}=-15$
(1) 对$α^2β + αβ^2$因式分解，提取公因式$αβ$，得：
$α^2β + αβ^2 = αβ(α+β)$
将$αβ=-15$，$α+β=6$代入得：
原式$=-15×6=-90$
(2) 对$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}$先通分，得：
$\frac{α}{β}+\frac{β}{α}=\frac{α^2 + β^2}{αβ}$
再根据完全平方公式，将分子变形：$α^2 + β^2=(α+β)^2 - 2αβ$，代入得：
原式$=\frac{(α+β)^2 - 2αβ}{αβ}$
将$α+β=6$，$αβ=-15$代入得：
原式$=\frac{6^2 - 2×(-15)}{-15}=\frac{36 + 30}{-15}=\frac{66}{-15}=-\frac{22}{5}$
【答案】
(1) $\boxed{-90}$；(2) $\boxed{-\dfrac{22}{5}}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.因式分解 3.完全平方公式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求的两根对称式转化为含有两根之和、两根之积的结构，通过整体代入计算即可，不需要求解方程的具体根，简化了运算过程，需熟练掌握常见对称式的变形技巧。
【难度系数】
0.8
已知$x_1$，$x_2$是方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$的两个根，求$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$和$x_1^2 + x_2^2$的值。
答案
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，$x_1^2+x_2^2=\frac{13}{4}$
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系求解。解题思路为：首先确定方程中a、b、c的值，计算出两根之和与两根之积；再将待求的两个代数式通过通分、完全平方公式变形为用两根之和、两根之积表示的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得两根之和、两根之积分别为：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$。
1. 计算$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$：
先通分变形得：$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$，
代入数值计算：$\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = 3$。
2. 计算$x_1^2 + x_2^2$：
利用完全平方公式变形得：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入数值计算：$(-\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，$x_1^2+x_2^2=\frac{13}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式恒等变形
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心解题技巧是将待求代数式转化为含两根之和、两根之积的结构，避免了求解方程根的复杂运算，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
本题要求一元二次方程两根组成的代数式的值，无需直接求解方程的根，可利用一元二次方程根与系数的关系求解。解题思路为：首先确定方程中a、b、c的值，计算出两根之和与两根之积；再将待求的两个代数式通过通分、完全平方公式变形为用两根之和、两根之积表示的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + 3x - 1 = 0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得两根之和、两根之积分别为：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$。
1. 计算$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$：
先通分变形得：$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$，
代入数值计算：$\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = 3$。
2. 计算$x_1^2 + x_2^2$：
利用完全平方公式变形得：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
代入数值计算：$(-\frac{3}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4} + 1 = \frac{13}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=3$，$x_1^2+x_2^2=\frac{13}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 代数式恒等变形
3. 完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心解题技巧是将待求代数式转化为含两根之和、两根之积的结构，避免了求解方程根的复杂运算，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
例2 已知关于$x$的方程$(1 - m)x^2 - 2x + 1 = 0.$
(1)当$m$为何值时，方程有实数根？
(2)若方程有两个实数根$x_1$，$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 + 3x_1x_2 = 0$，求$m$的值。
(1)当$m$为何值时，方程有实数根？
(2)若方程有两个实数根$x_1$，$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 + 3x_1x_2 = 0$，求$m$的值。
答案
解：(1)当$1-m=0$，即$m=1$时，$-2x+1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$.
当$1-m≠0$，$\Delta=(-2)^2-4(1-m)≥0$，即$m≥0$，且$m≠1$时，方程有实数根.
综上所述，当$m≥0$时，方程有实数根.
(2)由根与系数的关系，得$x_1+x_2=\frac{2}{1-m}$，$x_1x_2=\frac{1}{1-m}$.
∵$x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=0$，
∴$(x_1+x_2)^2=-x_1x_2$，即$(\frac{2}{1-m})^2=\frac{-1}{1-m}$.
化简，得$4=m-1$，解得$m=5$.
经检验，$m=5$是原方程的解. 故$m$的值为5.
当$1-m≠0$，$\Delta=(-2)^2-4(1-m)≥0$，即$m≥0$，且$m≠1$时，方程有实数根.
综上所述，当$m≥0$时，方程有实数根.
(2)由根与系数的关系，得$x_1+x_2=\frac{2}{1-m}$，$x_1x_2=\frac{1}{1-m}$.
∵$x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=0$，
∴$(x_1+x_2)^2=-x_1x_2$，即$(\frac{2}{1-m})^2=\frac{-1}{1-m}$.
化简，得$4=m-1$，解得$m=5$.
经检验，$m=5$是原方程的解. 故$m$的值为5.
解析
【分析】
(1) 方程的二次项系数含参数，需分两类讨论：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，只要一次项系数不为0就一定有实根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，有实根的条件是判别式Δ≥0，同时满足二次项系数不为0，最后综合两类情况得到m的取值范围。
(2) 方程有两个实数根，说明是一元二次方程，因此先确定1-m≠0且Δ≥0，再利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，将$x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=0$用完全平方公式变形后代入求解，最后检验m是否符合前提条件即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
①当$1-m=0$，即$m=1$时，方程化为$-2x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根；
②当$1-m≠0$时，方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta=(-2)^2-4(1-m)≥0$，
解得$m≥0$，此时需满足$m≠1$。
综上，当$m≥0$时，方程有实数根。
(2)
∵方程有两个实数根$x_1,x_2$，
∴方程为一元二次方程，即$1-m≠0$，结合(1)得$m≥0$且$m≠1$。
根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=\frac{2}{1-m}$，$x_1x_2=\frac{1}{1-m}$。
已知$x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=0$，将$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入得：
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 3x_1x_2 = 0$，即$(x_1+x_2)^2 + x_1x_2 = 0$，
代入表达式得：$(\frac{2}{1-m})^2 + \frac{1}{1-m} = 0$，
∵$1-m≠0$，两边同乘$(1-m)^2$得$4 = -(1-m)$，解得$m=5$。
检验：当$m=5$时，$1-m=-4≠0$，$\Delta=20＞0$，符合条件。
【答案】
(1) $m≥0$；
(2) $m=5$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题考查含参数方程的实根问题，解题时要注意分类讨论二次项系数是否为0，避免漏掉一元一次方程的情况；利用韦达定理解题时要注意前提是方程为一元二次方程且有两个实根，求解后需检验结果是否符合前提条件。
【难度系数】
0.7
(1) 方程的二次项系数含参数，需分两类讨论：①当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，只要一次项系数不为0就一定有实根；②当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，有实根的条件是判别式Δ≥0，同时满足二次项系数不为0，最后综合两类情况得到m的取值范围。
(2) 方程有两个实数根，说明是一元二次方程，因此先确定1-m≠0且Δ≥0，再利用根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式，将$x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=0$用完全平方公式变形后代入求解，最后检验m是否符合前提条件即可。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
①当$1-m=0$，即$m=1$时，方程化为$-2x+1=0$，是一元一次方程，解得$x=\frac{1}{2}$，有实数根；
②当$1-m≠0$时，方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta=(-2)^2-4(1-m)≥0$，
解得$m≥0$，此时需满足$m≠1$。
综上，当$m≥0$时，方程有实数根。
(2)
∵方程有两个实数根$x_1,x_2$，
∴方程为一元二次方程，即$1-m≠0$，结合(1)得$m≥0$且$m≠1$。
根据根与系数的关系得：$x_1+x_2=\frac{2}{1-m}$，$x_1x_2=\frac{1}{1-m}$。
已知$x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=0$，将$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$代入得：
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 3x_1x_2 = 0$，即$(x_1+x_2)^2 + x_1x_2 = 0$，
代入表达式得：$(\frac{2}{1-m})^2 + \frac{1}{1-m} = 0$，
∵$1-m≠0$，两边同乘$(1-m)^2$得$4 = -(1-m)$，解得$m=5$。
检验：当$m=5$时，$1-m=-4≠0$，$\Delta=20＞0$，符合条件。
【答案】
(1) $m≥0$；
(2) $m=5$
【知识点】
一元一次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题考查含参数方程的实根问题，解题时要注意分类讨论二次项系数是否为0，避免漏掉一元一次方程的情况；利用韦达定理解题时要注意前提是方程为一元二次方程且有两个实根，求解后需检验结果是否符合前提条件。
【难度系数】
0.7
已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0$.
(1)求证：无论$m$为何值，方程总有实数根；
(2)若$x_1$，$x_2$是方程的两个实数根，且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，求$m$的值.
(1)求证：无论$m$为何值，方程总有实数根；
(2)若$x_1$，$x_2$是方程的两个实数根，且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，求$m$的值.
答案
(1)略
(2)$1$或$\frac{2}{5}$
(2)$1$或$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有实数根，只需证明根的判别式Δ≥0恒成立。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac化简，若化简结果为非负数即可得证。
(2) 已知两根的分式和等式，先通过通分、完全平方公式变形，将等式转化为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于m的表达式，代入变形后的等式得到关于m的方程，解方程后检验分母不为0即可求得m的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0$，其中$a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=-3m^2+m$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&= [-(2m-1)]^2 -4×1×(-3m^2+m) \\&=4m^2-4m+1+12m^2-4m \\&=16m^2-8m+1 \\&=(4m-1)^2\end{aligned}$
∵ 无论$m$取何值，$(4m-1)^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
(2) 解：由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-3m^2+m$
对已知等式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\frac{5}{2}$
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入上式：
$\frac{(2m-1)^2 - 2(-3m^2+m)}{-3m^2+m}=-\frac{5}{2}$
化简分子得：$4m^2-4m+1+6m^2-2m=10m^2-6m+1$
交叉相乘得：$2(10m^2-6m+1)=-5(-3m^2+m)$
整理得：$20m^2-12m+2=15m^2-5m$
移项合并同类项得：$5m^2-7m+2=0$
因式分解得：$(5m-2)(m-1)=0$
解得$m=1$或$m=\frac{2}{5}$
检验：当$m=1$时，$x_1x_2=-3×1^2+1=-2≠0$；当$m=\frac{2}{5}$时，$x_1x_2=-3×(\frac{2}{5})^2+\frac{2}{5}=-\frac{2}{25}≠0$，均符合题意。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题型，核心考查根的判别式的意义和根与系数关系的灵活运用，解题的关键是能将待求分式合理变形为韦达定理的表达形式，计算后注意检验分母不为零的隐含条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明一元二次方程总有实数根，只需证明根的判别式Δ≥0恒成立。首先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=b²-4ac化简，若化简结果为非负数即可得证。
(2) 已知两根的分式和等式，先通过通分、完全平方公式变形，将等式转化为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再利用根与系数的关系写出$x_1+x_2$、$x_1x_2$关于m的表达式，代入变形后的等式得到关于m的方程，解方程后检验分母不为0即可求得m的值。
【解析】
(1) 证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0$，其中$a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=-3m^2+m$。
计算判别式：
$\begin{aligned}\Delta &= b^2-4ac \\&= [-(2m-1)]^2 -4×1×(-3m^2+m) \\&=4m^2-4m+1+12m^2-4m \\&=16m^2-8m+1 \\&=(4m-1)^2\end{aligned}$
∵ 无论$m$取何值，$(4m-1)^2≥0$恒成立，即$\Delta≥0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
(2) 解：由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=-3m^2+m$
对已知等式变形：
$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-\frac{5}{2}$
将$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入上式：
$\frac{(2m-1)^2 - 2(-3m^2+m)}{-3m^2+m}=-\frac{5}{2}$
化简分子得：$4m^2-4m+1+6m^2-2m=10m^2-6m+1$
交叉相乘得：$2(10m^2-6m+1)=-5(-3m^2+m)$
整理得：$20m^2-12m+2=15m^2-5m$
移项合并同类项得：$5m^2-7m+2=0$
因式分解得：$(5m-2)(m-1)=0$
解得$m=1$或$m=\frac{2}{5}$
检验：当$m=1$时，$x_1x_2=-3×1^2+1=-2≠0$；当$m=\frac{2}{5}$时，$x_1x_2=-3×(\frac{2}{5})^2+\frac{2}{5}=-\frac{2}{25}≠0$，均符合题意。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的综合应用题型，核心考查根的判别式的意义和根与系数关系的灵活运用，解题的关键是能将待求分式合理变形为韦达定理的表达形式，计算后注意检验分母不为零的隐含条件，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
请根据本课所学，构建知识体系.
一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理
如果方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根是$x_1$，$x_2$，那么$x_1+x_2=$，$x_1·x_2=$
成立的前提条件
$b^2-4ac$
推导公式
作用
（1）利用根与系数的关系求代数式的值；
（2）利用根与系数的关系求系数中待定字母的值或方程的根
一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理
如果方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根是$x_1$，$x_2$，那么$x_1+x_2=$，$x_1·x_2=$
成立的前提条件
$b^2-4ac$
推导公式
作用
（1）利用根与系数的关系求代数式的值；
（2）利用根与系数的关系求系数中待定字母的值或方程的根
答案
$-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$ $≥0$
(1)$2x_1x_2$
(2)$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
(1)$2x_1x_2$
(2)$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的相关基础知识点，解题思路如下：1. 回忆韦达定理的核心内容，可通过求根公式推导两根之和与两根之积的表达式；2. 明确韦达定理适用的前提是方程存在两个实数根，对应判别式的取值要求；3. 利用完全平方公式变形、分式通分的方法完成常用推导公式的填写，这类代数式变形是后续利用韦达定理求代数式值的基础。
【解析】
1. 韦达定理内容推导：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当有两个实数根$x_1,x_2$时，由求根公式得$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
计算两根之和：$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$；
计算两根之积：$x_1·x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
2. 成立前提：只有当一元二次方程有两个实数根时，韦达定理才成立，因此要求判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
3. 推导公式：
（1）由完全平方公式$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，移项得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，因此横线处填$2x_1x_2$；
（2）对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，公分母为$x_1x_2$，可得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，因此横线处填$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$。
【答案】
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$；$≥0$
(1)$2x_1x_2$
(2)$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
【知识点】
韦达定理；代数式恒等变形；一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础考查题，内容覆盖韦达定理的核心内容、适用条件以及常用代数式变形，熟练掌握这些基础内容是后续利用韦达定理求解代数式值、待定系数等复杂问题的前提。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的相关基础知识点，解题思路如下：1. 回忆韦达定理的核心内容，可通过求根公式推导两根之和与两根之积的表达式；2. 明确韦达定理适用的前提是方程存在两个实数根，对应判别式的取值要求；3. 利用完全平方公式变形、分式通分的方法完成常用推导公式的填写，这类代数式变形是后续利用韦达定理求代数式值的基础。
【解析】
1. 韦达定理内容推导：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当有两个实数根$x_1,x_2$时，由求根公式得$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
计算两根之和：$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$；
计算两根之积：$x_1·x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$。
2. 成立前提：只有当一元二次方程有两个实数根时，韦达定理才成立，因此要求判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
3. 推导公式：
（1）由完全平方公式$(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$，移项得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，因此横线处填$2x_1x_2$；
（2）对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分，公分母为$x_1x_2$，可得$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，因此横线处填$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$。
【答案】
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$；$≥0$
(1)$2x_1x_2$
(2)$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
【知识点】
韦达定理；代数式恒等变形；一元二次方程判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础考查题，内容覆盖韦达定理的核心内容、适用条件以及常用代数式变形，熟练掌握这些基础内容是后续利用韦达定理求解代数式值、待定系数等复杂问题的前提。
【难度系数】
0.8
