登录
1. 在下列方程中，是一元二次方程的有（
①$3x^2 +7=0$；
②$ax^2 +bx +c=0$；
③$(x-2)(x+5)=x^2 -1$；
④$3x^2 -\frac{5}{x}=0$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）①$3x^2 +7=0$；
②$ax^2 +bx +c=0$；
③$(x-2)(x+5)=x^2 -1$；
④$3x^2 -\frac{5}{x}=0$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. A
解析
【分析】
要判断所给方程是否为一元二次方程，首先回忆一元二次方程的核心判定条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2；4.二次项系数不为0。接下来逐一验证4个式子是否满足所有条件，即可得到符合要求的个数。
【解析】
一元二次方程需同时满足：是整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0，逐个判断如下：
①$3x^2 +7=0$：属于整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$3≠0$，满足一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②$ax^2 +bx +c=0$：未限定$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数不足2，因此不一定是一元二次方程；
③先展开整理方程左边：$(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$，原方程可化为$x^2+3x-10=x^2-1$，移项化简后得$3x-9=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不属于一元二次方程；
④$3x^2 -\frac{5}{x}=0$：分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程。
综上，只有1个一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的定义、多项式化简
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，易错点在于容易忽略$ax^2+bx+c=0$中$a≠0$的前提条件，或未对③进行化简直接根据表面形式判断，牢记一元二次方程的四个判定条件即可准确解题。
【难度系数】
0.7
要判断所给方程是否为一元二次方程，首先回忆一元二次方程的核心判定条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2；4.二次项系数不为0。接下来逐一验证4个式子是否满足所有条件，即可得到符合要求的个数。
【解析】
一元二次方程需同时满足：是整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0，逐个判断如下：
①$3x^2 +7=0$：属于整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数$3≠0$，满足一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②$ax^2 +bx +c=0$：未限定$a≠0$，当$a=0$时方程最高次数不足2，因此不一定是一元二次方程；
③先展开整理方程左边：$(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$，原方程可化为$x^2+3x-10=x^2-1$，移项化简后得$3x-9=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不属于一元二次方程；
④$3x^2 -\frac{5}{x}=0$：分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，因此不是一元二次方程。
综上，只有1个一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的判定、整式方程的定义、多项式化简
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，易错点在于容易忽略$ax^2+bx+c=0$中$a≠0$的前提条件，或未对③进行化简直接根据表面形式判断，牢记一元二次方程的四个判定条件即可准确解题。
【难度系数】
0.7
2. 当$a=$
4
时，$x^{a-2} -5x=3$是关于x的一元二次方程。答案
2. 4
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且最高次项系数不为0。观察给出的方程$x^{a-2} -5x=3$，它已经满足整式方程、仅含未知数x这两个条件，因此只需让x的最高次数为2即可。方程中-5x的次数是1，所以只有$x^{a-2}$的次数为2时，整个方程的最高次数才是2，由此可列等式求解a的值，且$x^{a-2}$的系数为1≠0，无需额外考虑系数限制。
【解析】
根据一元二次方程的定义，关于x的一元二次方程的未知数最高次数为2，因此可得：
$a-2=2$
移项计算得：
$a=2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对一元二次方程定义的理解，解题的关键是抓住“未知数最高次数为2”的核心判定条件，掌握相关定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且最高次项系数不为0。观察给出的方程$x^{a-2} -5x=3$，它已经满足整式方程、仅含未知数x这两个条件，因此只需让x的最高次数为2即可。方程中-5x的次数是1，所以只有$x^{a-2}$的次数为2时，整个方程的最高次数才是2，由此可列等式求解a的值，且$x^{a-2}$的系数为1≠0，无需额外考虑系数限制。
【解析】
根据一元二次方程的定义，关于x的一元二次方程的未知数最高次数为2，因此可得：
$a-2=2$
移项计算得：
$a=2+2=4$
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对一元二次方程定义的理解，解题的关键是抓住“未知数最高次数为2”的核心判定条件，掌握相关定义即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 用适当的方法解下列方程：
(1)$x^2 - 8x - 9 = 0$；
(2)$4x^2 + 1 = 4x$；
(3)$5x^2 - 8x + 2 = 0$；
(4)$(3x - 1)^2 = 4(x + 1)^2$。
(1)$x^2 - 8x - 9 = 0$；
(2)$4x^2 + 1 = 4x$；
(3)$5x^2 - 8x + 2 = 0$；
(4)$(3x - 1)^2 = 4(x + 1)^2$。
答案
3. (1)$x_1=9$，$x_2=-1$。
(2)$x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
(3)$x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{5}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{5}$。
(4)$x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
(2)$x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
(3)$x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{5}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{5}$。
(4)$x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
解析
【分析】
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、公式法、直接开平方法，解题时可根据方程特征优先选择简便方法：
(1) 方程左边的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，选用因式分解法求解；
(2) 移项后方程左边是完全平方式，可利用完全平方公式因式分解求解；
(3) 方程左边无法直接因式分解，选用公式法，先计算判别式再代入求根公式求解；
(4) 方程左右两边均为平方形式，移项后可利用平方差公式因式分解求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 8x - 9 = 0$因式分解，得：
$(x-9)(x+1)=0$
$\therefore x-9=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=9$，$x_2=-1$。
(2) 移项得$4x^2 -4x +1=0$，因式分解得：
$(2x-1)^2=0$
$\therefore 2x-1=0$
解得 $x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 对于$5x^2 -8x +2=0$，这里$a=5$，$b=-8$，$c=2$，
先计算判别式 $\Delta = b^2-4ac = (-8)^2 -4×5×2=64-40=24＞0$，
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{24}}{2×5}=\frac{8\pm2\sqrt{6}}{10}=\frac{4\pm\sqrt{6}}{5}$
$\therefore x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{5}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{5}$。
(4) 移项得$(3x-1)^2 - [2(x+1)]^2=0$，利用平方差公式因式分解：
$(3x-1+2x+2)(3x-1-2x-2)=0$
整理得$(5x+1)(x-3)=0$
$\therefore 5x+1=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)$x_1=9$，$x_2=-1$；
(2)$x_1=x_2=\frac{1}{2}$；
(3)$x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{5}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{5}$；
(4)$x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时根据方程的结构特征选择最简便的方法，可有效减少计算量，提升解题的正确率和效率。
【难度系数】
0.7
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、公式法、直接开平方法，解题时可根据方程特征优先选择简便方法：
(1) 方程左边的二次三项式可通过十字相乘法因式分解，选用因式分解法求解；
(2) 移项后方程左边是完全平方式，可利用完全平方公式因式分解求解；
(3) 方程左边无法直接因式分解，选用公式法，先计算判别式再代入求根公式求解；
(4) 方程左右两边均为平方形式，移项后可利用平方差公式因式分解求解。
【解析】
(1) 对$x^2 - 8x - 9 = 0$因式分解，得：
$(x-9)(x+1)=0$
$\therefore x-9=0$ 或 $x+1=0$
解得 $x_1=9$，$x_2=-1$。
(2) 移项得$4x^2 -4x +1=0$，因式分解得：
$(2x-1)^2=0$
$\therefore 2x-1=0$
解得 $x_1=x_2=\frac{1}{2}$。
(3) 对于$5x^2 -8x +2=0$，这里$a=5$，$b=-8$，$c=2$，
先计算判别式 $\Delta = b^2-4ac = (-8)^2 -4×5×2=64-40=24＞0$，
代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{24}}{2×5}=\frac{8\pm2\sqrt{6}}{10}=\frac{4\pm\sqrt{6}}{5}$
$\therefore x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{5}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{5}$。
(4) 移项得$(3x-1)^2 - [2(x+1)]^2=0$，利用平方差公式因式分解：
$(3x-1+2x+2)(3x-1-2x-2)=0$
整理得$(5x+1)(x-3)=0$
$\therefore 5x+1=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)$x_1=9$，$x_2=-1$；
(2)$x_1=x_2=\frac{1}{2}$；
(3)$x_1=\frac{4+\sqrt{6}}{5}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{6}}{5}$；
(4)$x_1=3$，$x_2=-\frac{1}{5}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题时根据方程的结构特征选择最简便的方法，可有效减少计算量，提升解题的正确率和效率。
【难度系数】
0.7
4. 一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根分别为$x_1$，$x_2$，下列结论正确的是（
A.$x_1 +x_2 = -4$
B.$x_1 +x_2 =3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1 +x_2 = -4$
B.$x_1 +x_2 =3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
4. D
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，有两种常见解题思路：思路一，直接利用韦达定理，先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，再分别计算两根之和与两根之积，对应选项判断正误；思路二，先求解一元二次方程得到两个实数根，再计算两根的和与积，对比选项得出答案，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 -4x +3=0$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，因此选项A、B均错误；
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此选项C错误，选项D正确。
（也可通过因式分解解方程验证：将方程因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，计算得$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=3$，同样可得D正确。）
【答案】
D
【知识点】
根与系数的关系，一元二次方程解法
【点评】
本题属于基础常考题，既可以通过韦达定理快速得出结果，也可以通过直接求根验证，熟练掌握韦达定理可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程根与系数关系的应用，有两种常见解题思路：思路一，直接利用韦达定理，先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，再分别计算两根之和与两根之积，对应选项判断正误；思路二，先求解一元二次方程得到两个实数根，再计算两根的和与积，对比选项得出答案，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，根据韦达定理可得：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 -4x +3=0$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=3$，代入公式计算：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，因此选项A、B均错误；
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，因此选项C错误，选项D正确。
（也可通过因式分解解方程验证：将方程因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，计算得$x_1+x_2=4$，$x_1x_2=3$，同样可得D正确。）
【答案】
D
【知识点】
根与系数的关系，一元二次方程解法
【点评】
本题属于基础常考题，既可以通过韦达定理快速得出结果，也可以通过直接求根验证，熟练掌握韦达定理可提升解题效率。
【难度系数】
0.9
5. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + 1 = 0$有两个相等的实数根，则$m$的值为
$\pm2$
。答案
5. $\pm2$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：1. 回忆知识点：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；2. 确定给定方程的各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=1$；3. 根据根的情况列等式求解$m$，注意正数的平方根有两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
本题中方程$x^2+mx+1=0$符合一元二次方程一般形式，对应$a=1$，$b=m$，$c=1$，
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，代入得：
$m^2 - 4×1×1=0$
整理得$m^2=4$
解得$m=\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方根运算
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意正数开平方有两个结果，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路如下：1. 回忆知识点：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；2. 确定给定方程的各项系数：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=m$，常数项$c=1$；3. 根据根的情况列等式求解$m$，注意正数的平方根有两个互为相反数的结果，不要漏解。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
本题中方程$x^2+mx+1=0$符合一元二次方程一般形式，对应$a=1$，$b=m$，$c=1$，
因为方程有两个相等的实数根，所以$\Delta=0$，代入得：
$m^2 - 4×1×1=0$
整理得$m^2=4$
解得$m=\pm2$
【答案】
$\pm2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方根运算
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时要注意正数开平方有两个结果，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8
6. 某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1 000个。根据市场分析，若每涨价1元，则每月要少售出100个；若每降价1元，则每月多售出100个。当该商品的售价定为
（
A.32
B.28
C.32或36
D.32或28
32或28
元/个时，月利润为9 600元。（
D
）A.32
B.28
C.32或36
D.32或28
答案
6. D
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住销售利润问题的基本等量关系：月总利润=（单个商品售价-单个商品成本）×月销售量。首先明确售价变动对销售量的影响：售价每涨1元少卖100个，每降1元多卖100个，因此可直接用含售价的式子表示出月销售量，再结合总利润为9600元列一元二次方程求解，最后验证解是否符合实际意义即可。
【解析】
设该商品的售价为$ x $元/个，根据题意：
单个商品的利润为$ (x - 20) $元；
月销售量可表示为$ 1000 - 100(x - 30) = 4000 - 100x $个（涨价时$ x＞30 $，销售量对应减少，降价时$ x＜30 $，销售量对应增加，表达式均成立）。
根据月利润为9600元，列方程：
$(x - 20)(4000 - 100x) = 9600$
整理方程：
两边同时除以100得：$ (x - 20)(40 - x) = 96 $
展开得：$ 40x - x^2 - 800 + 20x = 96 $
移项整理为标准一元二次方程形式：$ x^2 - 60x + 896 = 0 $
解方程：
判别式$ \Delta = (-60)^2 - 4 × 1 × 896 = 3600 - 3584 = 16 $
因此$ x = \frac{60 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{60 \pm 4}{2} $
解得$ x_1 = 32 $，$ x_2 = 28 $
验证：$ 32＞20 $、$ 28＞20 $，均高于成本价，符合实际销售要求。
因此售价定为32元/个或28元/个时月利润为9600元。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润问题；分类讨论思想
【点评】
本题是销售类应用题的典型考法，核心是牢记总利润的计算公式，用未知数准确表示出销售量是解题的关键，求解后要注意验证答案是否符合实际情况，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是抓住销售利润问题的基本等量关系：月总利润=（单个商品售价-单个商品成本）×月销售量。首先明确售价变动对销售量的影响：售价每涨1元少卖100个，每降1元多卖100个，因此可直接用含售价的式子表示出月销售量，再结合总利润为9600元列一元二次方程求解，最后验证解是否符合实际意义即可。
【解析】
设该商品的售价为$ x $元/个，根据题意：
单个商品的利润为$ (x - 20) $元；
月销售量可表示为$ 1000 - 100(x - 30) = 4000 - 100x $个（涨价时$ x＞30 $，销售量对应减少，降价时$ x＜30 $，销售量对应增加，表达式均成立）。
根据月利润为9600元，列方程：
$(x - 20)(4000 - 100x) = 9600$
整理方程：
两边同时除以100得：$ (x - 20)(40 - x) = 96 $
展开得：$ 40x - x^2 - 800 + 20x = 96 $
移项整理为标准一元二次方程形式：$ x^2 - 60x + 896 = 0 $
解方程：
判别式$ \Delta = (-60)^2 - 4 × 1 × 896 = 3600 - 3584 = 16 $
因此$ x = \frac{60 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{60 \pm 4}{2} $
解得$ x_1 = 32 $，$ x_2 = 28 $
验证：$ 32＞20 $、$ 28＞20 $，均高于成本价，符合实际销售要求。
因此售价定为32元/个或28元/个时月利润为9600元。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；销售利润问题；分类讨论思想
【点评】
本题是销售类应用题的典型考法，核心是牢记总利润的计算公式，用未知数准确表示出销售量是解题的关键，求解后要注意验证答案是否符合实际情况，避免出现无效解。
【难度系数】
0.7
7. 某超市购进甲、乙两种商品，2024年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2026年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2026年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2026年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.
答案
7. (1)20% (2)40
解析
【分析】
(1) 求乙种商品进价的年平均下降率属于平均变化率问题，可套用变化率公式：初始值×(1-下降率)ⁿ=最终值，其中n为经过的年数，2024年到2026年共经过2年，代入已知数据列一元二次方程求解即可，注意下降率需符合实际取值范围。
(2) 求最少购进甲商品的数量，首先计算2026年甲商品的进价，再根据“总进货资金不超过7800元”的不等关系，设甲商品的进货量为未知数列一元一次不等式，求解后取最小正整数解即可。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$ x $，根据题意列方程：
$ 125(1-x)^2 = 80 $
化简得$ (1-x)^2 = 0.64 $
解得$ 1-x=\pm0.8 $
当$ 1-x=0.8 $时，$ x=0.2=20\% $；当$ 1-x=-0.8 $时，$ x=1.8 $（不符合下降率小于1的实际意义，舍去）。
(2) 先计算2026年甲种商品的进价：$ 125 - 25×2 = 75 $（元）
设购进甲种商品$ m $件，则购进乙种商品$ (100-m) $件，根据总资金限制列不等式：
$ 75m + 80(100 - m) ≤ 7800 $
展开得：$ 75m + 8000 - 80m ≤ 7800 $
移项合并同类项得：$ -5m ≤ -200 $
不等号两边同时除以-5，不等号方向改变，得$ m ≥ 40 $
$ m $为正整数，因此$ m $的最小值为40。
【答案】
(1) 20%；(2) 40
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中的进货场景考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确找到等量关系、不等关系列对应的式子，同时要注意计算结果需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
(1) 求乙种商品进价的年平均下降率属于平均变化率问题，可套用变化率公式：初始值×(1-下降率)ⁿ=最终值，其中n为经过的年数，2024年到2026年共经过2年，代入已知数据列一元二次方程求解即可，注意下降率需符合实际取值范围。
(2) 求最少购进甲商品的数量，首先计算2026年甲商品的进价，再根据“总进货资金不超过7800元”的不等关系，设甲商品的进货量为未知数列一元一次不等式，求解后取最小正整数解即可。
【解析】
(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为$ x $，根据题意列方程：
$ 125(1-x)^2 = 80 $
化简得$ (1-x)^2 = 0.64 $
解得$ 1-x=\pm0.8 $
当$ 1-x=0.8 $时，$ x=0.2=20\% $；当$ 1-x=-0.8 $时，$ x=1.8 $（不符合下降率小于1的实际意义，舍去）。
(2) 先计算2026年甲种商品的进价：$ 125 - 25×2 = 75 $（元）
设购进甲种商品$ m $件，则购进乙种商品$ (100-m) $件，根据总资金限制列不等式：
$ 75m + 80(100 - m) ≤ 7800 $
展开得：$ 75m + 8000 - 80m ≤ 7800 $
移项合并同类项得：$ -5m ≤ -200 $
不等号两边同时除以-5，不等号方向改变，得$ m ≥ 40 $
$ m $为正整数，因此$ m $的最小值为40。
【答案】
(1) 20%；(2) 40
【知识点】
一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活中的进货场景考查方程与不等式的实际应用，解题核心是准确找到等量关系、不等关系列对应的式子，同时要注意计算结果需符合实际意义。
【难度系数】
0.7
