登录
1. 下列式子中，一定属于二次根式的是 （
A.$\sqrt{-6}$
B.$\sqrt{x-2}$
C.$\sqrt[3]{9}$
D.$\sqrt{x^2+1}$
D
）A.$\sqrt{-6}$
B.$\sqrt{x-2}$
C.$\sqrt[3]{9}$
D.$\sqrt{x^2+1}$
答案
1.D
解析
【分析】
解本题的核心是紧扣二次根式的判定条件：一是根指数必须为2，二是被开方数必须为非负数（即大于等于0）。我们只需按照这两个条件逐一排查每个选项，即可得出正确答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个要求：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数为非负数。
对各选项逐一分析：
A选项：被开方数为$-6＜0$，式子无意义，不属于二次根式；
B选项：被开方数为$x-2$，当$x＜2$时$x-2＜0$，此时式子无意义，因此不一定是二次根式；
C选项：$\sqrt[3]{9}$的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，不属于二次根式；
D选项：由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，被开方数恒为非负数，且根指数为2，一定属于二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题关键是牢记二次根式的两个必备条件，分析带字母的被开方数时要注意判断其是否恒为非负数，避免忽略取值范围误选B选项。
【难度系数】
0.8
解本题的核心是紧扣二次根式的判定条件：一是根指数必须为2，二是被开方数必须为非负数（即大于等于0）。我们只需按照这两个条件逐一排查每个选项，即可得出正确答案。
【解析】
二次根式的定义为：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需同时满足两个要求：①根指数为2（通常省略不写）；②被开方数为非负数。
对各选项逐一分析：
A选项：被开方数为$-6＜0$，式子无意义，不属于二次根式；
B选项：被开方数为$x-2$，当$x＜2$时$x-2＜0$，此时式子无意义，因此不一定是二次根式；
C选项：$\sqrt[3]{9}$的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式根指数为2的要求，不属于二次根式；
D选项：由平方的非负性可知$x^2≥0$，因此$x^2+1≥1＞0$，被开方数恒为非负数，且根指数为2，一定属于二次根式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的定义；平方的非负性
【点评】
本题是二次根式判定的基础题型，解题关键是牢记二次根式的两个必备条件，分析带字母的被开方数时要注意判断其是否恒为非负数，避免忽略取值范围误选B选项。
【难度系数】
0.8
2.(2024·云南)若$\sqrt{x}$在实数范围内有意义，则实数$x$的取值范围为 （
A.$x≥0$
B.$x≤0$
C.$x＞0$
D.$x＜0$
A
）A.$x≥0$
B.$x≤0$
C.$x＞0$
D.$x＜0$
答案
2.A
解析
【分析】
首先明确本题考查二次根式有意义的条件，解题思路如下：第一步回忆二次根式的定义要求，二次根式的被开方数必须是非负数，否则式子在实数范围内没有意义；第二步找到本题中二次根式的被开方数是x，因此只需让x满足非负的要求，即可得到x的取值范围，再匹配选项选出答案。
【解析】
解：要使$\sqrt{x}$在实数范围内有意义，根据二次根式的性质，被开方数需为非负数，可得：
$x≥0$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考查对二次根式基本性质的记忆，掌握被开方数非负的要求就能快速解题。
【难度系数】
0.9
首先明确本题考查二次根式有意义的条件，解题思路如下：第一步回忆二次根式的定义要求，二次根式的被开方数必须是非负数，否则式子在实数范围内没有意义；第二步找到本题中二次根式的被开方数是x，因此只需让x满足非负的要求，即可得到x的取值范围，再匹配选项选出答案。
【解析】
解：要使$\sqrt{x}$在实数范围内有意义，根据二次根式的性质，被开方数需为非负数，可得：
$x≥0$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考查对二次根式基本性质的记忆，掌握被开方数非负的要求就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 新考向·开放性问题 若二次根式$\sqrt{x-5}$有意义，则$x$可以是
6(答案不唯一)
（写出一个符合条件$x$的值即可）答案
3.6(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（大于或等于0）。第一步先找到二次根式的被开方数为$x-5$，据此列出不等式，解不等式得到$x$的取值范围后，在范围内任意选取一个数值即可。
【解析】
解：若二次根式$\sqrt{x-5}$有意义，则被开方数必须为非负数，可列不等式：
$x-5≥0$
解得：$x≥5$
因此所有大于或等于5的数都符合条件，例如取$x=6$。
【答案】
6(答案不唯一)
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础开放性题目，重点考查二次根式有意义的判定规则，解题思路清晰简单，只要牢记二次根式被开方数非负的性质，就能快速求出取值范围，任选符合要求的数值作答即可。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确二次根式有意义的核心条件：被开方数必须是非负数（大于或等于0）。第一步先找到二次根式的被开方数为$x-5$，据此列出不等式，解不等式得到$x$的取值范围后，在范围内任意选取一个数值即可。
【解析】
解：若二次根式$\sqrt{x-5}$有意义，则被开方数必须为非负数，可列不等式：
$x-5≥0$
解得：$x≥5$
因此所有大于或等于5的数都符合条件，例如取$x=6$。
【答案】
6(答案不唯一)
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础开放性题目，重点考查二次根式有意义的判定规则，解题思路清晰简单，只要牢记二次根式被开方数非负的性质，就能快速求出取值范围，任选符合要求的数值作答即可。
【难度系数】
0.9
4. 填空：
(1) $\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ × \_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_.$
(2) $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_.$
(3) $\frac{\sqrt{5} × \sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{(\_\_\_\_\_\_) × (\_\_\_\_\_\_)}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{\_\_\_\_\_\_}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{\_\_\_\_\_\_}{3}} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_.$
(1) $\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_ × \_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_.$
(2) $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_.$
(3) $\frac{\sqrt{5} × \sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{(\_\_\_\_\_\_) × (\_\_\_\_\_\_)}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{\_\_\_\_\_\_}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{\_\_\_\_\_\_}{3}} = \sqrt{\_\_\_\_\_\_} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
4.(1)8 2 16 4 (2)$\frac{18}{2}$ 9 3 (3)5 15 75 75 25 5
解析
【分析】
本题考查二次根式乘除运算法则的基础应用，解题思路如下：首先明确二次根式的两大运算规则：①乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，即两个非负二次根式相乘，可先将被开方数相乘再开方；②除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$，即两个非负二次根式相除，可先将被开方数相除再开方。每道小题按照运算顺序，对应套用规则逐步计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$，依次填入8、2、16、4；
(2) 根据二次根式除法法则：
$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$，依次填入$\frac{18}{2}$、9、3；
(3) 先对分子用乘法法则，再用除法法则：
$\frac{\sqrt{5} × \sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5 × 15}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$，依次填入5、15、75、75、25、5。
【答案】
(1)8 2 16 4；(2)$\frac{18}{2}$ 9 3；(3)5 15 75 75 25 5
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式除法法则，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是对二次根式乘除运算法则的直接套用，熟练掌握法则就能快速准确解题，是后续学习复杂二次根式运算的必备基础。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式乘除运算法则的基础应用，解题思路如下：首先明确二次根式的两大运算规则：①乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，即两个非负二次根式相乘，可先将被开方数相乘再开方；②除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \ (a≥0,b＞0)$，即两个非负二次根式相除，可先将被开方数相除再开方。每道小题按照运算顺序，对应套用规则逐步计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$，依次填入8、2、16、4；
(2) 根据二次根式除法法则：
$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3$，依次填入$\frac{18}{2}$、9、3；
(3) 先对分子用乘法法则，再用除法法则：
$\frac{\sqrt{5} × \sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5 × 15}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$，依次填入5、15、75、75、25、5。
【答案】
(1)8 2 16 4；(2)$\frac{18}{2}$ 9 3；(3)5 15 75 75 25 5
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式除法法则，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心是对二次根式乘除运算法则的直接套用，熟练掌握法则就能快速准确解题，是后续学习复杂二次根式运算的必备基础。
【难度系数】
0.85
5. (2024·贵州)计算$\sqrt{2} × \sqrt{3}$的结果是
$\sqrt{6}$
.答案
5.$\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题时首先回忆二次根式的乘法运算法则：对于非负数a、b，有$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，观察本题中的两个二次根式，被开方数2和3都是非负数，符合法则的适用条件，直接套用法则计算被开方数的乘积即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的乘法运算法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$），
可得$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查二次根式乘法法则的直接应用，熟练掌握相关运算法则是正确解题的核心。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘法运算，解题时首先回忆二次根式的乘法运算法则：对于非负数a、b，有$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，观察本题中的两个二次根式，被开方数2和3都是非负数，符合法则的适用条件，直接套用法则计算被开方数的乘积即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的乘法运算法则：$\sqrt{a}·\sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$），
可得$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{2×3} = \sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查二次根式乘法法则的直接应用，熟练掌握相关运算法则是正确解题的核心。
【难度系数】
0.9
6.(2024·南通)计算$\sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{3}}$的结果是（
A.9
B.3
C.$3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
B
）A.9
B.3
C.$3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
6.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，有两种常用解题思路：思路1是直接利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先将两个二次根号合并，计算根号内的乘积后再开方；思路2是先分别化简两个二次根式，再将化简后的结果相乘，两种思路都能快速算出结果。
【解析】
方法一：利用二次根式乘法法则计算
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27 × \frac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$
方法二：先化简再计算
先化简两个二次根式：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
再计算乘积：$3\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3}=(3 × \frac{1}{3}) × (\sqrt{3} × \sqrt{3})=1 × 3=3$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法运算，二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，核心考查二次根式乘法法则的应用，运算时可根据熟练度选择合适的计算方法，牢记运算法则即可轻松求解。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘法运算，有两种常用解题思路：思路1是直接利用二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先将两个二次根号合并，计算根号内的乘积后再开方；思路2是先分别化简两个二次根式，再将化简后的结果相乘，两种思路都能快速算出结果。
【解析】
方法一：利用二次根式乘法法则计算
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{27} × \sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27 × \frac{1}{3}}=\sqrt{9}=3$
方法二：先化简再计算
先化简两个二次根式：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
再计算乘积：$3\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3}=(3 × \frac{1}{3}) × (\sqrt{3} × \sqrt{3})=1 × 3=3$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法运算，二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，核心考查二次根式乘法法则的应用，运算时可根据熟练度选择合适的计算方法，牢记运算法则即可轻松求解。
【难度系数】
0.9
7. 计算：
(1) $\sqrt{20} × \sqrt{5}$.
(2) $\frac{\sqrt{12} × \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$.
(1) $\sqrt{20} × \sqrt{5}$.
(2) $\frac{\sqrt{12} × \sqrt{2}}{\sqrt{6}}$.
答案
7.解:(1)原式$=\sqrt{20×5}=\sqrt{100}=10.$ (2)原式$=\frac{\sqrt{12×2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{12×2}{6}}=2.$
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除运算，解题思路如下：（1）针对二次根式的乘法运算，直接运用二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先将两个被开方数相乘，再计算乘积的算术平方根即可。（2）针对含乘除的二次根式混合运算，先对分子部分用乘法法则合并，再运用二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），将分子分母合并到同一个根号下计算，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 依据二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{20×5}=\sqrt{100}=10$
(2) 先计算分子的二次根式乘法，再依据除法法则计算：
原式$=\frac{\sqrt{12×2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{12×2}{6}}=\sqrt{4}=2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式除法运算，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，核心考查二次根式乘除运算法则的掌握程度，运算时先合并根号再计算可简化计算过程，注意最终运算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘除运算，解题思路如下：（1）针对二次根式的乘法运算，直接运用二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），先将两个被开方数相乘，再计算乘积的算术平方根即可。（2）针对含乘除的二次根式混合运算，先对分子部分用乘法法则合并，再运用二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），将分子分母合并到同一个根号下计算，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 依据二次根式乘法法则计算：
原式$=\sqrt{20×5}=\sqrt{100}=10$
(2) 先计算分子的二次根式乘法，再依据除法法则计算：
原式$=\frac{\sqrt{12×2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{12×2}{6}}=\sqrt{4}=2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式除法运算，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，核心考查二次根式乘除运算法则的掌握程度，运算时先合并根号再计算可简化计算过程，注意最终运算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.9
8. 下列计算正确的是（
A.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 36$
B.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 12 × 9 = 108$
A
）A.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 36$
B.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3} = 12 × 9 = 108$
答案
8.A
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路清晰明确：首先回忆二次根式的乘法运算规则，分步计算两个带系数的二次根式的乘积，第一步先计算系数的乘积，第二步计算二次根式部分的乘积并化简，最后将两部分结果相乘得到最终值，再和四个选项对比就能选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$a\sqrt{b} × c\sqrt{d}=(a × c) × \sqrt{b × d}$（$b≥0,d≥0$），计算$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3}$的步骤如下：
1. 计算系数的乘积：$3 × 4 = 12$
2. 计算二次根式部分的乘积：$\sqrt{3} × \sqrt{3}=\sqrt{3 × 3}=\sqrt{9}=3$
3. 两部分结果相乘得最终值：$12 × 3 = 36$
对各选项逐一判断：
A选项结果为36，计算正确；
B选项错误将系数相加，不符合乘法运算规则，排除；
C选项仅计算了系数乘积，未计算二次根式部分的乘积，排除；
D选项错误将$\sqrt{3} × \sqrt{3}$算为9，未正确化简二次根式，排除。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式的乘法法则 2.二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式乘法的运算逻辑，易错点是容易混淆加减和乘法的运算规则，或是错误计算根式部分的乘积，牢记“系数乘系数、根式乘根式、结果再合并”的分步运算方法即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路清晰明确：首先回忆二次根式的乘法运算规则，分步计算两个带系数的二次根式的乘积，第一步先计算系数的乘积，第二步计算二次根式部分的乘积并化简，最后将两部分结果相乘得到最终值，再和四个选项对比就能选出正确答案。
【解析】
根据二次根式的乘法法则：$a\sqrt{b} × c\sqrt{d}=(a × c) × \sqrt{b × d}$（$b≥0,d≥0$），计算$3\sqrt{3} × 4\sqrt{3}$的步骤如下：
1. 计算系数的乘积：$3 × 4 = 12$
2. 计算二次根式部分的乘积：$\sqrt{3} × \sqrt{3}=\sqrt{3 × 3}=\sqrt{9}=3$
3. 两部分结果相乘得最终值：$12 × 3 = 36$
对各选项逐一判断：
A选项结果为36，计算正确；
B选项错误将系数相加，不符合乘法运算规则，排除；
C选项仅计算了系数乘积，未计算二次根式部分的乘积，排除；
D选项错误将$\sqrt{3} × \sqrt{3}$算为9，未正确化简二次根式，排除。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式的乘法法则 2.二次根式的化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式乘法的运算逻辑，易错点是容易混淆加减和乘法的运算规则，或是错误计算根式部分的乘积，牢记“系数乘系数、根式乘根式、结果再合并”的分步运算方法即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
9.(2024·天津)计算$(\sqrt{11}+1)(\sqrt{11}-1)$的结果为
10
.答案
9.10
解析
【分析】
观察算式的结构，可发现两个因式符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，其中$a=\sqrt{11}$，$b=1$，因此可以利用平方差公式简化计算，无需直接展开多项式相乘，只需分别计算两个数的平方再作差即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式进行计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{11}+1)(\sqrt{11}-1)&=(\sqrt{11})^2 - 1^2 \\&=11 - 1 \\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算题，将整式乘法公式迁移到二次根式运算中可大幅降低计算量，熟练掌握常用乘法公式是解决这类运算题的关键。
【难度系数】
0.9
观察算式的结构，可发现两个因式符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式，其中$a=\sqrt{11}$，$b=1$，因此可以利用平方差公式简化计算，无需直接展开多项式相乘，只需分别计算两个数的平方再作差即可得到结果。
【解析】
根据平方差公式进行计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{11}+1)(\sqrt{11}-1)&=(\sqrt{11})^2 - 1^2 \\&=11 - 1 \\&=10\end{aligned}$
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算题，将整式乘法公式迁移到二次根式运算中可大幅降低计算量，熟练掌握常用乘法公式是解决这类运算题的关键。
【难度系数】
0.9
10.计算:$(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}+2)=$
$11+5\sqrt{5}$
.答案
10.$11+5\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路如下：首先观察算式是两个含二次根式的二项式相乘，可类比整式的多项式乘多项式法则（$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$）展开算式；再按照二次根式乘法运算规则计算每一项的乘积；最后合并有理项和同类二次根式即可得到结果。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}+2)&=\sqrt{5}×\sqrt{5}+\sqrt{5}×2+3×\sqrt{5}+3×2\\&=5+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+6\\&=(5+6)+(2\sqrt{5}+3\sqrt{5})\\&=11+5\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$11+5\sqrt{5}$
【知识点】
多项式乘多项式、二次根式乘法运算、合并同类二次根式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是将整式乘法法则迁移到二次根式运算中，运算过程中要注意二次根式乘法的计算规则，最后不要忘记合并同类项，只要细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路如下：首先观察算式是两个含二次根式的二项式相乘，可类比整式的多项式乘多项式法则（$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$）展开算式；再按照二次根式乘法运算规则计算每一项的乘积；最后合并有理项和同类二次根式即可得到结果。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}+2)&=\sqrt{5}×\sqrt{5}+\sqrt{5}×2+3×\sqrt{5}+3×2\\&=5+2\sqrt{5}+3\sqrt{5}+6\\&=(5+6)+(2\sqrt{5}+3\sqrt{5})\\&=11+5\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$11+5\sqrt{5}$
【知识点】
多项式乘多项式、二次根式乘法运算、合并同类二次根式
【点评】
本题属于基础运算题，核心是将整式乘法法则迁移到二次根式运算中，运算过程中要注意二次根式乘法的计算规则，最后不要忘记合并同类项，只要细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
11. 计算:
(1) $2\sqrt{15} × (-3\sqrt{2})$.
(2) $(2 - \sqrt{3})^2$.
(3) $\sqrt{125} × \sqrt{\frac{1}{5}} - 2$.
(4) $\frac{\sqrt{48} - \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$.
(5) $(\sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{2}) × \sqrt{2}$.
(1) $2\sqrt{15} × (-3\sqrt{2})$.
(2) $(2 - \sqrt{3})^2$.
(3) $\sqrt{125} × \sqrt{\frac{1}{5}} - 2$.
(4) $\frac{\sqrt{48} - \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$.
(5) $(\sqrt{\frac{9}{2}} + \sqrt{2}) × \sqrt{2}$.
答案
11.解:(1)原式$=2×(-3)×\sqrt{15}×\sqrt{2}=-6\sqrt{30}.$ (2)原式$=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}.$ (3)原式$=\sqrt{125×\frac{1}{5}}-2=\sqrt{25}-2=5-2=3.$ (4)原式$=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}-\sqrt{2}=4-\sqrt{2}.$ (5)原式$=\sqrt{\frac{9}{2}}×\sqrt{2}+\sqrt{2}×\sqrt{2}=\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5.$
解析
【分析】
这组题目均为二次根式的基础运算题，解题思路如下：
(1) 属于二次根式乘法运算，遵循“系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简结果”的规则，注意负号的处理；
(2) 符合完全平方公式的形式，直接套用$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开后合并同类项即可；
(3) 先按照二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算乘法部分，化简后再做减法运算；
(4) 可利用除法分配律拆分后，按照二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$分别计算，再合并结果；
(5) 利用乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$展开，分别计算两个乘法项后求和即可。
【解析】
(1) 原式$=2×(-3)×\sqrt{15}×\sqrt{2}=-6\sqrt{15×2}=-6\sqrt{30}$
(2) 原式$=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$
(3) 原式$=\sqrt{125×\frac{1}{5}} - 2 = \sqrt{25} - 2 = 5 - 2 = 3$
(4) 原式$=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} - \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{16} - \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2}$
(5) 原式$=\sqrt{\frac{9}{2}}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\sqrt{2} = \sqrt{\frac{9}{2}×2} + \sqrt{2×2} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$
【答案】
(1) $-6\sqrt{30}$；(2) $7-4\sqrt{3}$；(3) $3$；(4) $4-\sqrt{2}$；(5) $5$
【知识点】
二次根式乘除运算，完全平方公式，乘法分配律
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心是将整式的运算公式、运算律迁移到二次根式运算中，解题时需注意运算顺序，准确套用法则，最终结果要化为最简形式，熟练掌握后可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
这组题目均为二次根式的基础运算题，解题思路如下：
(1) 属于二次根式乘法运算，遵循“系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后化简结果”的规则，注意负号的处理；
(2) 符合完全平方公式的形式，直接套用$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开后合并同类项即可；
(3) 先按照二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$计算乘法部分，化简后再做减法运算；
(4) 可利用除法分配律拆分后，按照二次根式除法法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$分别计算，再合并结果；
(5) 利用乘法分配律$a(b+c)=ab+ac$展开，分别计算两个乘法项后求和即可。
【解析】
(1) 原式$=2×(-3)×\sqrt{15}×\sqrt{2}=-6\sqrt{15×2}=-6\sqrt{30}$
(2) 原式$=2^2 - 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$
(3) 原式$=\sqrt{125×\frac{1}{5}} - 2 = \sqrt{25} - 2 = 5 - 2 = 3$
(4) 原式$=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} - \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{16} - \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2}$
(5) 原式$=\sqrt{\frac{9}{2}}×\sqrt{2} + \sqrt{2}×\sqrt{2} = \sqrt{\frac{9}{2}×2} + \sqrt{2×2} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$
【答案】
(1) $-6\sqrt{30}$；(2) $7-4\sqrt{3}$；(3) $3$；(4) $4-\sqrt{2}$；(5) $5$
【知识点】
二次根式乘除运算，完全平方公式，乘法分配律
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，核心是将整式的运算公式、运算律迁移到二次根式运算中，解题时需注意运算顺序，准确套用法则，最终结果要化为最简形式，熟练掌握后可快速准确作答。
【难度系数】
0.8
12. 计算：$\sqrt{18} ÷ \sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{3}} =$
$\sqrt{2}$
.答案
12.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题是二次根式的乘除同级运算，解题思路如下：首先回忆二次根式乘除的运算法则：二次根式相乘除，把被开方数对应相乘除，根指数不变，最终结果要化为最简二次根式。同级运算可按从左到右的顺序分步计算，也可以先将所有被开方数放到同一个根号下统一进行乘除运算，再化简得到结果。
【解析】
我们可以通过合并被开方数的方法简化计算：
根据二次根式乘除的运算法则，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}×\sqrt{c}=\sqrt{a÷ b× c}$（$a≥0,b＞0,c≥0$），可得：
原式$=\sqrt{18÷3×\frac{1}{3}}$
先计算根号内的运算：$18÷3×\frac{1}{3}=6×\frac{1}{3}=2$
因此原式$=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式乘除运算法则的应用，计算时注意运算顺序，也可以通过合并被开方数的方式简化计算过程，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是二次根式的乘除同级运算，解题思路如下：首先回忆二次根式乘除的运算法则：二次根式相乘除，把被开方数对应相乘除，根指数不变，最终结果要化为最简二次根式。同级运算可按从左到右的顺序分步计算，也可以先将所有被开方数放到同一个根号下统一进行乘除运算，再化简得到结果。
【解析】
我们可以通过合并被开方数的方法简化计算：
根据二次根式乘除的运算法则，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}×\sqrt{c}=\sqrt{a÷ b× c}$（$a≥0,b＞0,c≥0$），可得：
原式$=\sqrt{18÷3×\frac{1}{3}}$
先计算根号内的运算：$18÷3×\frac{1}{3}=6×\frac{1}{3}=2$
因此原式$=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式乘除运算法则的应用，计算时注意运算顺序，也可以通过合并被开方数的方式简化计算过程，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
13.(2024·盐城)已知长方形相邻两边长分别为$\sqrt{2}$ cm，$\sqrt{5}$ cm，设其面积为$S$ cm²，则$S$在哪两个连续整数之间（
A.1和2
B.2和3
C.3和4
D.4和5
C
）A.1和2
B.2和3
C.3和4
D.4和5
答案
13.C
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步，回忆长方形面积公式，面积等于相邻两边长的乘积，据此列出面积S的计算式；第二步，运用二次根式的乘法法则化简S，再对比S的被开方数和相邻整数的平方，估算出S的取值范围，即可确定答案。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
$S=\sqrt{2} × \sqrt{5}$
由二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，计算得：
$S=\sqrt{2 × 5}=\sqrt{10}$
接下来估算$\sqrt{10}$的大小：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
因此S在3和4两个连续整数之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算，无理数的估算，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，将二次根式运算和无理数估算结合考查，核心是掌握二次根式的运算法则，熟记常见整数的平方数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第一步，回忆长方形面积公式，面积等于相邻两边长的乘积，据此列出面积S的计算式；第二步，运用二次根式的乘法法则化简S，再对比S的被开方数和相邻整数的平方，估算出S的取值范围，即可确定答案。
【解析】
根据长方形面积公式可得：
$S=\sqrt{2} × \sqrt{5}$
由二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b}=\sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，计算得：
$S=\sqrt{2 × 5}=\sqrt{10}$
接下来估算$\sqrt{10}$的大小：
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
因此S在3和4两个连续整数之间。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算，无理数的估算，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，将二次根式运算和无理数估算结合考查，核心是掌握二次根式的运算法则，熟记常见整数的平方数即可快速解题。
【难度系数】
0.8
