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9. 如果方程$2x + a = x - 1$的解是$x = -4$，求$3a - 2$的值.
答案
9.7
解析
【分析】
解题的关键是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=-4是原方程的解，首先将x=-4代入原方程，即可得到只含有未知数a的一元一次方程，解出a的值后，再将a代入代数式3a-2计算就能得到最终结果。
【解析】
步骤1：将$x=-4$代入原方程$2x + a = x - 1$，得：
$2×(-4) + a = -4 - 1$
计算化简得：$-8 + a = -5$
步骤2：根据等式的性质，等式两边同时加8，解得：
$a = -5 + 8 = 3$
步骤3：将$a=3$代入$3a-2$，得：
$3×3 - 2 = 9 - 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
一元一次方程的解；代数式求值；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，解题时只要先代入已知的方程解求出未知参数，再代入目标代数式计算即可，掌握方程解的定义是答对本题的核心。
【难度系数】
0.8
解题的关键是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。已知x=-4是原方程的解，首先将x=-4代入原方程，即可得到只含有未知数a的一元一次方程，解出a的值后，再将a代入代数式3a-2计算就能得到最终结果。
【解析】
步骤1：将$x=-4$代入原方程$2x + a = x - 1$，得：
$2×(-4) + a = -4 - 1$
计算化简得：$-8 + a = -5$
步骤2：根据等式的性质，等式两边同时加8，解得：
$a = -5 + 8 = 3$
步骤3：将$a=3$代入$3a-2$，得：
$3×3 - 2 = 9 - 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
一元一次方程的解；代数式求值；等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，解题时只要先代入已知的方程解求出未知参数，再代入目标代数式计算即可，掌握方程解的定义是答对本题的核心。
【难度系数】
0.8
10. 你能否找到一个 $ m $ 的值,使代数式 $ 2m + 3 $ 与 $ 7m - 3 $ 的值相等? 若能,请找出 $ m $ 的值;若不能,请说明理由.
答案
10.能. m = 1.2.
解析
【分析】
要判断是否存在m使两个代数式的值相等，首先根据“两个代数式值相等”这一等量关系列出关于m的一元一次方程，再运用刚学的等式的性质求解方程：若方程有解，则存在符合要求的m，方程的解就是所求值；若方程无解则不存在。求解后可以代入两个代数式检验结果是否正确。
【解析】
解：能找到满足条件的m的值，过程如下：
根据题意，两个代数式值相等，列方程得：
$2m + 3 = 7m - 3$
根据等式的性质1，两边同时减去$2m$，得：
$3 = 5m - 3$
再根据等式的性质1，两边同时加3，得：
$6 = 5m$
根据等式的性质2，两边同时除以5，得：
$m = 1.2$
检验：将$m=1.2$代入两个代数式，左边$=2×1.2+3=5.4$，右边$=7×1.2-3=5.4$，两边相等，结果正确。
【答案】
能，$m=1.2$
【知识点】
列一元一次方程、等式的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，解题核心是将代数式值相等的条件转化为方程，掌握等式的基本性质即可顺利求解，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要判断是否存在m使两个代数式的值相等，首先根据“两个代数式值相等”这一等量关系列出关于m的一元一次方程，再运用刚学的等式的性质求解方程：若方程有解，则存在符合要求的m，方程的解就是所求值；若方程无解则不存在。求解后可以代入两个代数式检验结果是否正确。
【解析】
解：能找到满足条件的m的值，过程如下：
根据题意，两个代数式值相等，列方程得：
$2m + 3 = 7m - 3$
根据等式的性质1，两边同时减去$2m$，得：
$3 = 5m - 3$
再根据等式的性质1，两边同时加3，得：
$6 = 5m$
根据等式的性质2，两边同时除以5，得：
$m = 1.2$
检验：将$m=1.2$代入两个代数式，左边$=2×1.2+3=5.4$，右边$=7×1.2-3=5.4$，两边相等，结果正确。
【答案】
能，$m=1.2$
【知识点】
列一元一次方程、等式的性质、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，解题核心是将代数式值相等的条件转化为方程，掌握等式的基本性质即可顺利求解，计算时注意不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8
11.宁宁同学拿了一个天平,测量饼干与糖果的质量(每块饼干的质量都相同,每颗糖果的质量都相同).第一次,左盘放两块饼干,右盘放三颗糖果,结果天平平衡;第二次,左盘放10 g砝码,右盘放一块饼干和一颗糖果,结果天平平衡;第三次,左盘放一颗糖果,右盘放一块饼干.下列哪一种方法可使天平再度平衡?(
A.在左盘上加2 g砝码
B.在右盘上加2 g砝码
C.在左盘上加5 g砝码
D.在右盘上加5 g砝码
A
)A.在左盘上加2 g砝码
B.在右盘上加2 g砝码
C.在左盘上加5 g砝码
D.在右盘上加5 g砝码
答案
11.A
解析
【分析】
解题时先抓住天平平衡时左右托盘质量相等这一核心，先根据前两次天平的平衡状态，得到饼干和糖果质量的等量关系，再利用等式的性质计算出1块饼干和1颗糖果各自的质量，最后对比第三次称量时左右两边的质量差，就能判断出添加砝码的方法。
【解析】
设1颗糖果的质量为$x\ \mathrm{g}$。
根据第一次天平平衡可知：2块饼干的质量=3颗糖果的质量，因此1块饼干的质量为$\frac{3}{2}x\ \mathrm{g}$。
根据第二次天平平衡可知：1块饼干的质量 + 1颗糖果的质量 = $10\ \mathrm{g}$，代入对应量可得：
$\frac{3}{2}x + x = 10$
合并同类项得：$\frac{5}{2}x = 10$
解得：$x=4$
即1颗糖果质量为$4\ \mathrm{g}$，1块饼干的质量为$\frac{3}{2}×4=6\ \mathrm{g}$。
第三次称量时，左盘是1颗糖果（$4\ \mathrm{g}$），右盘是1块饼干（$6\ \mathrm{g}$），右盘比左盘重$6-4=2\ \mathrm{g}$，因此只需在左盘上加$2\ \mathrm{g}$砝码，天平就能再度平衡。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的天平称量场景，将等式的性质融入实际问题中，解题的关键是通过两次平衡的条件建立等量关系，求出单个物体的质量后即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住天平平衡时左右托盘质量相等这一核心，先根据前两次天平的平衡状态，得到饼干和糖果质量的等量关系，再利用等式的性质计算出1块饼干和1颗糖果各自的质量，最后对比第三次称量时左右两边的质量差，就能判断出添加砝码的方法。
【解析】
设1颗糖果的质量为$x\ \mathrm{g}$。
根据第一次天平平衡可知：2块饼干的质量=3颗糖果的质量，因此1块饼干的质量为$\frac{3}{2}x\ \mathrm{g}$。
根据第二次天平平衡可知：1块饼干的质量 + 1颗糖果的质量 = $10\ \mathrm{g}$，代入对应量可得：
$\frac{3}{2}x + x = 10$
合并同类项得：$\frac{5}{2}x = 10$
解得：$x=4$
即1颗糖果质量为$4\ \mathrm{g}$，1块饼干的质量为$\frac{3}{2}×4=6\ \mathrm{g}$。
第三次称量时，左盘是1颗糖果（$4\ \mathrm{g}$），右盘是1块饼干（$6\ \mathrm{g}$），右盘比左盘重$6-4=2\ \mathrm{g}$，因此只需在左盘上加$2\ \mathrm{g}$砝码，天平就能再度平衡。
【答案】
A
【知识点】
等式的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的天平称量场景，将等式的性质融入实际问题中，解题的关键是通过两次平衡的条件建立等量关系，求出单个物体的质量后即可快速求解。
【难度系数】
0.7
12.如图,三角形最中间的数为3,三角形三条边上的6个数分别记为:$a,b,c,d,e,f$.已知每条线上的3个圆内数字之和相等,即$a + b + c = c + e + f = f + d + a = d + 3 + e = b + 3 + f$,试说明:$2f = c + e$.
答案
12. 因为$a + b + c = c + e + f$,所以$a + b = e + f$. 因为$a + b + c = f + d + a$,所以$b + c = f + d$,所以$a + c + 2b = 2f + d + e$. 因为$a + b + c = d + e + 3$,所以$2f = b + 3$,所以$3f = b + 3 + f = c + e + f$,所以$2f = c + e$.
解析
【分析】
我们的目标是推导$2f = c + e$，可从题目给出的多个相等的和式出发，利用等式的性质，先消去等式两边相同的公共项，得到简化的等量关系，再通过等量代换逐步消去$a、b、d$这些和结论无关的变量，最终得到$f、c、e$三者的关系。解题时优先处理有公共项的等式，能快速简化关系，降低推导难度。
【解析】
已知每条线上的3个圆内数字之和相等：
1. 由$a + b + c = c + e + f$，根据等式的性质，两边同时减去$c$，可得$a + b = e + f$；
2. 由$a + b + c = f + d + a$，根据等式的性质，两边同时减去$a$，可得$b + c = f + d$；
3. 将上述两个等式左右两边分别相加，整理得$a + c + 2b = 2f + d + e$；
4. 结合$a + b + c = d + e + 3$，推导可得$2f = b + 3$；
5. 因为$b + 3 + f = c + e + f$（二者都等于三条边的公共和），将$b + 3 = 2f$代入得$3f = c + e + f$；
6. 等式两边同时减去$f$，即可得到$2f = c + e$。
【答案】
证明如下：
因为$a + b + c = c + e + f$，所以$a + b = e + f$；
因为$a + b + c = f + d + a$，所以$b + c = f + d$，两式相加得$a + c + 2b = 2f + d + e$；
因为$a + b + c = d + e + 3$，所以$2f = b + 3$，因此$3f = b + 3 + f = c + e + f$，两边同时减去$f$得$2f = c + e$。
【知识点】
等式的性质、等量代换、整式加减
【点评】
本题侧重考查逻辑推导能力，需要从多个相等关系中筛选有效信息，通过消去公共项、代换无关变量的方式逐步聚焦待证结论，熟练掌握等式的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
我们的目标是推导$2f = c + e$，可从题目给出的多个相等的和式出发，利用等式的性质，先消去等式两边相同的公共项，得到简化的等量关系，再通过等量代换逐步消去$a、b、d$这些和结论无关的变量，最终得到$f、c、e$三者的关系。解题时优先处理有公共项的等式，能快速简化关系，降低推导难度。
【解析】
已知每条线上的3个圆内数字之和相等：
1. 由$a + b + c = c + e + f$，根据等式的性质，两边同时减去$c$，可得$a + b = e + f$；
2. 由$a + b + c = f + d + a$，根据等式的性质，两边同时减去$a$，可得$b + c = f + d$；
3. 将上述两个等式左右两边分别相加，整理得$a + c + 2b = 2f + d + e$；
4. 结合$a + b + c = d + e + 3$，推导可得$2f = b + 3$；
5. 因为$b + 3 + f = c + e + f$（二者都等于三条边的公共和），将$b + 3 = 2f$代入得$3f = c + e + f$；
6. 等式两边同时减去$f$，即可得到$2f = c + e$。
【答案】
证明如下：
因为$a + b + c = c + e + f$，所以$a + b = e + f$；
因为$a + b + c = f + d + a$，所以$b + c = f + d$，两式相加得$a + c + 2b = 2f + d + e$；
因为$a + b + c = d + e + 3$，所以$2f = b + 3$，因此$3f = b + 3 + f = c + e + f$，两边同时减去$f$得$2f = c + e$。
【知识点】
等式的性质、等量代换、整式加减
【点评】
本题侧重考查逻辑推导能力，需要从多个相等关系中筛选有效信息，通过消去公共项、代换无关变量的方式逐步聚焦待证结论，熟练掌握等式的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
