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13. 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算$1+8+16+24+\dots+8n$（$n$是正整数）的结果为（
A.$(2n+1)^2$
B.$(2n-1)^2$
C.$(n+2)^2$
D.$n^2$
A
）A.$(2n+1)^2$
B.$(2n-1)^2$
C.$(n+2)^2$
D.$n^2$
答案
13. A
解析
【分析】
解题时先从给出的具体图形对应的算式入手，先分别计算每个已知算式的结果，再将结果与算式中最后一项8的倍数对应，寻找规律：第1个式子加到8×1，结果为3²；第2个式子加到8×2，结果为5²；第3个式子加到8×3，结果为7²，观察底数3、5、7与n的关系，即可推导得到通用结论。
【解析】
我们先计算已知的3个算式的结果：
1. 当n=1时，$1+8×1=9=3^2=(2×1+1)^2$；
2. 当n=2时，$1+8+16=1+8×1+8×2=25=5^2=(2×2+1)^2$；
3. 当n=3时，$1+8+16+24=1+8×1+8×2+8×3=49=7^2=(2×3+1)^2$。
观察规律可得，式子$1+8+16+24+\dots+8n$的结果为底数是$2n+1$的平方，即$(2n+1)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
规律探究，列代数式，完全平方数
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是从特殊实例出发，通过计算、对比找到结果和变量的对应关系，体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握平方数的特征能帮助快速锁定规律。
【难度系数】
0.7
解题时先从给出的具体图形对应的算式入手，先分别计算每个已知算式的结果，再将结果与算式中最后一项8的倍数对应，寻找规律：第1个式子加到8×1，结果为3²；第2个式子加到8×2，结果为5²；第3个式子加到8×3，结果为7²，观察底数3、5、7与n的关系，即可推导得到通用结论。
【解析】
我们先计算已知的3个算式的结果：
1. 当n=1时，$1+8×1=9=3^2=(2×1+1)^2$；
2. 当n=2时，$1+8+16=1+8×1+8×2=25=5^2=(2×2+1)^2$；
3. 当n=3时，$1+8+16+24=1+8×1+8×2+8×3=49=7^2=(2×3+1)^2$。
观察规律可得，式子$1+8+16+24+\dots+8n$的结果为底数是$2n+1$的平方，即$(2n+1)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
规律探究，列代数式，完全平方数
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题核心是从特殊实例出发，通过计算、对比找到结果和变量的对应关系，体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握平方数的特征能帮助快速锁定规律。
【难度系数】
0.7
14. 把黑色棋子按如图所示的规律摆放，那么第n个图形应摆放的棋子数为
$n(n+2)$
个。答案
$n(n+2)$
解析
【分析】
解决这道题我们可以从已知的前几个图形入手分析：第一步先数出每个图形对应的棋子总数，第二步把棋子数和对应的n值关联，拆解成含n的式子，第三步归纳通用规律，最后代入前几个n值验证规律是否正确即可。
【解析】
首先统计前4个图形的棋子数量：
当$n=1$时，棋子总数为3，可改写为$1×3=1×(1+2)$；
当$n=2$时，棋子总数为8，可改写为$2×4=2×(2+2)$；
当$n=3$时，棋子总数为15，可改写为$3×5=3×(3+2)$；
当$n=4$时，棋子总数为24，可改写为$4×6=4×(4+2)$。
观察上述式子的规律可发现，第n个图形的棋子数为n与$(n+2)$的乘积。
【答案】
$n(n+2)$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；整式化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，主要考查观察、归纳总结的能力，解题时既可以通过统计前几个图形的数量推导通用规律，也可以结合多边形边和顶点的结构特征推导，注意避免重复计算顶点的棋子即可。
【难度系数】
0.7
解决这道题我们可以从已知的前几个图形入手分析：第一步先数出每个图形对应的棋子总数，第二步把棋子数和对应的n值关联，拆解成含n的式子，第三步归纳通用规律，最后代入前几个n值验证规律是否正确即可。
【解析】
首先统计前4个图形的棋子数量：
当$n=1$时，棋子总数为3，可改写为$1×3=1×(1+2)$；
当$n=2$时，棋子总数为8，可改写为$2×4=2×(2+2)$；
当$n=3$时，棋子总数为15，可改写为$3×5=3×(3+2)$；
当$n=4$时，棋子总数为24，可改写为$4×6=4×(4+2)$。
观察上述式子的规律可发现，第n个图形的棋子数为n与$(n+2)$的乘积。
【答案】
$n(n+2)$
【知识点】
图形规律探究；列代数式；整式化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，主要考查观察、归纳总结的能力，解题时既可以通过统计前几个图形的数量推导通用规律，也可以结合多边形边和顶点的结构特征推导，注意避免重复计算顶点的棋子即可。
【难度系数】
0.7
15. 已知下列用字母表示的数学规律：
①若$a^2 + b^2 = 0$，则$a = b = 0$；②若$ab = 0$，则$a = b = 0$；③当$a ＜ 0$时，$a + |a| = 0$；④$\sqrt{a^2} = a$。其中正确的有
①若$a^2 + b^2 = 0$，则$a = b = 0$；②若$ab = 0$，则$a = b = 0$；③当$a ＜ 0$时，$a + |a| = 0$；④$\sqrt{a^2} = a$。其中正确的有
①③
（填序号）。答案
①③
解析
【分析】
本题需要逐一判断4个数学规律的正误，解题时可结合对应知识点逐个验证：先结合平方的非负性判断①，再根据有理数乘法的性质判断②，接着利用负数的绝对值化简规则判断③，最后结合算术平方根的非负性判断④，最终选出正确的序号即可。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 分析结论①：任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，$b^2≥0$，两个非负数的和为0时，只能是两个数同时为0，因此若$a^2+b^2=0$，则$a=b=0$，①正确。
2. 分析结论②：若两个数的乘积为0，只要其中至少一个数为0即可，例如$a=0$，$b=3$时，$ab=0$，但$b≠0$，因此②错误。
3. 分析结论③：当$a＜0$时，$a$是负数，负数的绝对值是它的相反数，即$|a|=-a$，因此$a+|a|=a+(-a)=0$，③正确。
4. 分析结论④：$\sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，结果一定是非负数，当$a＜0$时，例如$a=-2$，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2=-a≠ a$，因此$\sqrt{a^2}=|a|$，不是恒等于$a$，④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
平方的非负性；绝对值的性质；有理数乘法法则
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握相关性质的适用条件，也可以通过举反例的方式快速判断错误结论，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
本题需要逐一判断4个数学规律的正误，解题时可结合对应知识点逐个验证：先结合平方的非负性判断①，再根据有理数乘法的性质判断②，接着利用负数的绝对值化简规则判断③，最后结合算术平方根的非负性判断④，最终选出正确的序号即可。
【解析】
我们逐个分析每个结论：
1. 分析结论①：任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，$b^2≥0$，两个非负数的和为0时，只能是两个数同时为0，因此若$a^2+b^2=0$，则$a=b=0$，①正确。
2. 分析结论②：若两个数的乘积为0，只要其中至少一个数为0即可，例如$a=0$，$b=3$时，$ab=0$，但$b≠0$，因此②错误。
3. 分析结论③：当$a＜0$时，$a$是负数，负数的绝对值是它的相反数，即$|a|=-a$，因此$a+|a|=a+(-a)=0$，③正确。
4. 分析结论④：$\sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，结果一定是非负数，当$a＜0$时，例如$a=-2$，$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2=-a≠ a$，因此$\sqrt{a^2}=|a|$，不是恒等于$a$，④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
平方的非负性；绝对值的性质；有理数乘法法则
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握相关性质的适用条件，也可以通过举反例的方式快速判断错误结论，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
