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1. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,则对角线BD的长为(
A.4.5
B.5
C.5.5
D.$5\sqrt{2}$
(第1题)
B
)。A.4.5
B.5
C.5.5
D.$5\sqrt{2}$
(第1题)答案
1.B
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的性质：矩形的四个角都是直角，且对边相等，因此可推出△BCD是直角三角形，两条直角边的长度可由已知条件得到，最后利用勾股定理计算斜边BD的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，CD=AB=4，
已知BC=3，在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
因此对角线BD的长为5。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，考查矩形的基本性质和勾股定理的简单应用，熟练掌握矩形对边相等、内角为直角的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆矩形的性质：矩形的四个角都是直角，且对边相等，因此可推出△BCD是直角三角形，两条直角边的长度可由已知条件得到，最后利用勾股定理计算斜边BD的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，CD=AB=4，
已知BC=3，在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
因此对角线BD的长为5。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，考查矩形的基本性质和勾股定理的简单应用，熟练掌握矩形对边相等、内角为直角的特点是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（
A.对角线互相垂直
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.对角线平分一组对角
C
）。A.对角线互相垂直
B.对角线互相平分
C.对角线相等
D.对角线平分一组对角
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查矩形与菱形的性质差异，解题时先分别回忆矩形、菱形的对角线相关性质，再逐一比对每个选项，判断性质的归属，即可选出正确答案。首先明确：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有共性，同时各自有独有的特性，我们要找的是矩形的特性、且不是菱形普遍具有的性质。
【解析】
先梳理两种图形的对角线性质：
1. 矩形的对角线性质：对角线互相平分，且对角线相等；
2. 菱形的对角线性质：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
逐一分析选项：
A. 对角线互相垂直：是菱形具有、矩形不具有的性质，不符合题意；
B. 对角线互相平分：是平行四边形的共性，矩形和菱形都具有，不符合题意；
C. 对角线相等：矩形一定具有该性质，菱形只有为正方形（特殊菱形）时对角线才相等，普通菱形不具有该性质，符合“矩形具有而菱形不一定具有”的要求；
D. 对角线平分一组对角：是菱形具有、矩形不具有的性质，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是熟练区分矩形和菱形的共性与特有性质，记忆特殊四边形性质时可以对比记忆，避免混淆不同图形的特性。
【难度系数】
0.8
本题考查矩形与菱形的性质差异，解题时先分别回忆矩形、菱形的对角线相关性质，再逐一比对每个选项，判断性质的归属，即可选出正确答案。首先明确：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有共性，同时各自有独有的特性，我们要找的是矩形的特性、且不是菱形普遍具有的性质。
【解析】
先梳理两种图形的对角线性质：
1. 矩形的对角线性质：对角线互相平分，且对角线相等；
2. 菱形的对角线性质：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
逐一分析选项：
A. 对角线互相垂直：是菱形具有、矩形不具有的性质，不符合题意；
B. 对角线互相平分：是平行四边形的共性，矩形和菱形都具有，不符合题意；
C. 对角线相等：矩形一定具有该性质，菱形只有为正方形（特殊菱形）时对角线才相等，普通菱形不具有该性质，符合“矩形具有而菱形不一定具有”的要求；
D. 对角线平分一组对角：是菱形具有、矩形不具有的性质，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、菱形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，解题的核心是熟练区分矩形和菱形的共性与特有性质，记忆特殊四边形性质时可以对比记忆，避免混淆不同图形的特性。
【难度系数】
0.8
3. 如图，一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸，已知$∠ ACB=90°$，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度分别为1和7，则CD的长为(
A.4.5 cm
B.4 cm
C.3.5 cm
D.3 cm
D
)。A.4.5 cm
B.4 cm
C.3.5 cm
D.3 cm
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先要根据刻度尺上A、B对应的刻度求出斜边AB的长度，再结合题干给出的“∠ACB=90°，D为AB中点”的条件，回忆直角三角形的相关性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用该性质即可求出CD的长度。
【解析】
第一步：计算AB的长度
已知点A对应的刻度为1cm，点B对应的刻度为7cm，因此AB的长度为：
$AB=7-1=6\ \mathrm{cm}$
第二步：利用直角三角形性质求CD
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore △ ACB$是直角三角形
又$\because$D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
1. 长度的测量
2. 直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先准确求出斜边AB的长度，再结合直角三角形斜边中线的性质计算，熟记相关性质就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先要根据刻度尺上A、B对应的刻度求出斜边AB的长度，再结合题干给出的“∠ACB=90°，D为AB中点”的条件，回忆直角三角形的相关性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，利用该性质即可求出CD的长度。
【解析】
第一步：计算AB的长度
已知点A对应的刻度为1cm，点B对应的刻度为7cm，因此AB的长度为：
$AB=7-1=6\ \mathrm{cm}$
第二步：利用直角三角形性质求CD
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore △ ACB$是直角三角形
又$\because$D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得：
$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
1. 长度的测量
2. 直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先准确求出斜边AB的长度，再结合直角三角形斜边中线的性质计算，熟记相关性质就能快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形$AB'C'D'$,当点$C,B',C'$三点共线时,$AB'$交DC于点E。
(1)求证:$B'C'=CB'$;
(2)求DE的长。
(1)求证:$B'C'=CB'$;
(2)求DE的长。
答案
4.(1)证明:如图,连接AC'和AC。
∵矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AB'C'D',
∴AC'=AC,∠AB'C'=90°,
∴B'C'=CB'。
(2)解:
∵在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,
∴∠D=90°,AD=BC=6,DC=AB=8。
由(1)可得,B'C'=CB'。
∵矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AB'C'D',
∴CB'=B'C'=BC=AD,∠AB'C=∠D=90°。
∵AC=AC,
∴Rt△CB'A≌Rt△ADC(HL),
∴∠B'AC=∠DCA,
∴AE=CE。
在Rt△ADE中,由勾股定理,得
AD²+DE²=AE²,
即6²+DE²=(8-DE)²,解得DE=$\frac{7}{4}$,
∴DE的长为$\frac{7}{4}$。
解析
【分析】
（1）要证$B'C'=CB'$，先结合旋转的性质得到$AC'=AC$，即$△ ACC'$为等腰三角形，再由旋转后$∠ AB'C'=90°$可知$AB'⊥ C'C$，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得$B'$是$C'C$的中点，从而证明$B'C'=CB'$。
（2）求$DE$的长时，先根据矩形性质得到$AD=6$、$DC=8$、$∠ D=90°$；再结合旋转性质和（1）的结论，用HL证明$\mathrm{Rt}△ CB'A≌\mathrm{Rt}△ ADC$，推出$∠ B'AC=∠ DCA$，得到$AE=CE$；最后设$DE=x$，将$AE$用含$x$的式子表示，在$\mathrm{Rt}△ ADE$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$AC'$和$AC$。
∵矩形$ABCD$绕点$A$按逆时针方向旋转得到矩形$AB'C'D'$，
∴$AC'=AC$，$∠ AB'C'=90°$，即$AB'⊥ C'C$，
根据等腰三角形三线合一的性质，$B'$为$C'C$的中点，
∴$B'C'=CB'$。
(2) 解：
∵在矩形$ABCD$中，$AB=8$，$BC=6$，
∴$∠ D=90°$，$AD=BC=6$，$DC=AB=8$。
由(1)得$B'C'=CB'$，结合旋转性质可知$CB'=B'C'=BC=AD$，$∠ AB'C=∠ D=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CB'A$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中：
$\begin{cases}AC=AC \\AD=CB'\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ CB'A≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$，
∴$∠ B'AC=∠ DCA$，
∴$AE=CE$。
设$DE=x$，则$CE=DC-DE=8-x$，即$AE=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2+DE^2=AE^2$，
代入数据得$6^2+x^2=(8-x)^2$，
展开化简得$16x=28$，解得$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
(1)证明:如图,连接AC'和AC。
∵矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AB'C'D',
∴AC'=AC,∠AB'C'=90°,
∴B'C'=CB'。
(2)DE的长为$\frac{7}{4}$
【知识点】
旋转的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转与矩形结合的基础综合题，解题核心是抓住旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，第一问借助等腰三角形三线合一即可快速证明线段相等，第二问通过全等推导得到等腰三角形，再结合方程思想和勾股定理求解，是几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.6
（1）要证$B'C'=CB'$，先结合旋转的性质得到$AC'=AC$，即$△ ACC'$为等腰三角形，再由旋转后$∠ AB'C'=90°$可知$AB'⊥ C'C$，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得$B'$是$C'C$的中点，从而证明$B'C'=CB'$。
（2）求$DE$的长时，先根据矩形性质得到$AD=6$、$DC=8$、$∠ D=90°$；再结合旋转性质和（1）的结论，用HL证明$\mathrm{Rt}△ CB'A≌\mathrm{Rt}△ ADC$，推出$∠ B'AC=∠ DCA$，得到$AE=CE$；最后设$DE=x$，将$AE$用含$x$的式子表示，在$\mathrm{Rt}△ ADE$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接$AC'$和$AC$。
∵矩形$ABCD$绕点$A$按逆时针方向旋转得到矩形$AB'C'D'$，
∴$AC'=AC$，$∠ AB'C'=90°$，即$AB'⊥ C'C$，
根据等腰三角形三线合一的性质，$B'$为$C'C$的中点，
∴$B'C'=CB'$。
(2) 解：
∵在矩形$ABCD$中，$AB=8$，$BC=6$，
∴$∠ D=90°$，$AD=BC=6$，$DC=AB=8$。
由(1)得$B'C'=CB'$，结合旋转性质可知$CB'=B'C'=BC=AD$，$∠ AB'C=∠ D=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CB'A$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中：
$\begin{cases}AC=AC \\AD=CB'\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ CB'A≌\mathrm{Rt}△ ADC(\mathrm{HL})$，
∴$∠ B'AC=∠ DCA$，
∴$AE=CE$。
设$DE=x$，则$CE=DC-DE=8-x$，即$AE=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2+DE^2=AE^2$，
代入数据得$6^2+x^2=(8-x)^2$，
展开化简得$16x=28$，解得$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
(1)证明:如图,连接AC'和AC。
∵矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AB'C'D',
∴AC'=AC,∠AB'C'=90°,
∴B'C'=CB'。
(2)DE的长为$\frac{7}{4}$
【知识点】
旋转的性质，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是旋转与矩形结合的基础综合题，解题核心是抓住旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，第一问借助等腰三角形三线合一即可快速证明线段相等，第二问通过全等推导得到等腰三角形，再结合方程思想和勾股定理求解，是几何计算的典型考法。
【难度系数】
0.6
1. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE//BD交AB的延长线于点E。图中与△BCE全等的三角形(不包含△BCE)有(
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A
)。A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先回忆矩形的性质，得到矩形的内角、对边、对角线的等量关系；再结合CE//BD、DC//AE（AB的延长线为AE）判定四边形DBEC是平行四边形，推导得到CE=AC、BE=AB=DC等相等的边，同时明确∠CBE=90°，和矩形的四个内角相等；最后根据全等三角形的判定定理（SAS）逐一验证，统计与△BCE全等的三角形数量即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AC=BD，AB//CD。
∵CE//BD，CD//AE，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD，
∴CE=AC，BE=AB。
1. 在△ABC和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=BE\\ ∠ ABC=∠ EBC=90°\\ BC=BC\end{array} $
∴△ABC≌△BCE（SAS）；
2. 在△BAD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ ∠ BAD=∠ EBC=90°\\ AB=BE\end{array} $
∴△BAD≌△BCE（SAS）；
3. 在△DCB和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}DC=BE\\ ∠ DCB=∠ EBC=90°\\ BC=BC\end{array} $
∴△DCB≌△BCE（SAS）；
4. 在△CDA和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}DC=BE\\ ∠ ADC=∠ EBC=90°\\ AD=BC\end{array} $
∴△CDA≌△BCE（SAS）。
综上，与△BCE全等的三角形共有4个。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是基础综合题，将特殊四边形的性质和全等三角形的判定结合考查，解题的关键是先推导得到相等的边和角，再逐一验证全等关系，计数时注意做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：首先回忆矩形的性质，得到矩形的内角、对边、对角线的等量关系；再结合CE//BD、DC//AE（AB的延长线为AE）判定四边形DBEC是平行四边形，推导得到CE=AC、BE=AB=DC等相等的边，同时明确∠CBE=90°，和矩形的四个内角相等；最后根据全等三角形的判定定理（SAS）逐一验证，统计与△BCE全等的三角形数量即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AC=BD，AB//CD。
∵CE//BD，CD//AE，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD，
∴CE=AC，BE=AB。
1. 在△ABC和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AB=BE\\ ∠ ABC=∠ EBC=90°\\ BC=BC\end{array} $
∴△ABC≌△BCE（SAS）；
2. 在△BAD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AD=BC\\ ∠ BAD=∠ EBC=90°\\ AB=BE\end{array} $
∴△BAD≌△BCE（SAS）；
3. 在△DCB和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}DC=BE\\ ∠ DCB=∠ EBC=90°\\ BC=BC\end{array} $
∴△DCB≌△BCE（SAS）；
4. 在△CDA和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}DC=BE\\ ∠ ADC=∠ EBC=90°\\ AD=BC\end{array} $
∴△CDA≌△BCE（SAS）。
综上，与△BCE全等的三角形共有4个。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是基础综合题，将特殊四边形的性质和全等三角形的判定结合考查，解题的关键是先推导得到相等的边和角，再逐一验证全等关系，计数时注意做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
2. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，连接OE。若OE=2，矩形ABCD的面积为24，则CD的长为(
A.5.5
B.6
C.7.5
D.8
B
)。A.5.5
B.6
C.7.5
D.8
答案
2.B
解析
【分析】
首先利用矩形对角线互相平分的性质，确定点O是AC的中点，结合点E是AB中点，可得出OE是△ABC的中位线，根据中位线定理即可求出BC的长度；再利用矩形面积公式，结合已知面积和求出的BC长，计算出AB的长度，最后根据矩形对边相等的性质得到CD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC、BD互相平分，即O为AC的中点，且AB=CD，
又
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$OE=\frac{1}{2}BC$，
已知OE=2，代入得$BC=2×2=4$，
∵矩形ABCD的面积为24，矩形面积$S=AB× BC$，
∴$AB=24÷4=6$，
又
∵矩形对边相等，CD=AB，
∴CD=6。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，三角形中位线定理，矩形面积公式
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的突破口是识别出三角形中位线，从而快速求出矩形的一条边长，再结合面积公式即可求解，考查了学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
首先利用矩形对角线互相平分的性质，确定点O是AC的中点，结合点E是AB中点，可得出OE是△ABC的中位线，根据中位线定理即可求出BC的长度；再利用矩形面积公式，结合已知面积和求出的BC长，计算出AB的长度，最后根据矩形对边相等的性质得到CD的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC、BD互相平分，即O为AC的中点，且AB=CD，
又
∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$OE=\frac{1}{2}BC$，
已知OE=2，代入得$BC=2×2=4$，
∵矩形ABCD的面积为24，矩形面积$S=AB× BC$，
∴$AB=24÷4=6$，
又
∵矩形对边相等，CD=AB，
∴CD=6。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，三角形中位线定理，矩形面积公式
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的突破口是识别出三角形中位线，从而快速求出矩形的一条边长，再结合面积公式即可求解，考查了学生对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
