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3. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是边$AB$上的高,$∠ ACD=3∠ BCD$,$CE$是斜边$AB$的中线,$CD=\sqrt{2}$,则斜边$AB$的长为(
A.3
B.4
C.$3\sqrt{2}$
D.5
B
)。A.3
B.4
C.$3\sqrt{2}$
D.5
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据∠ACB=90°与∠ACD=3∠BCD的数量关系，求出∠BCD、∠ACD的度数；第二步，结合CD是AB边上的高，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；第三步，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得CE=AE，推出∠ACE=∠A，进而求出∠ECD的度数；第四步，判断△CDE为等腰直角三角形，结合CD的长度求出CE的长，最后根据斜边中线与斜边的关系求出AB的长度。
【解析】
解：$\because ∠ ACB=90°$，$∠ ACD=3∠ BCD$
$\therefore ∠ BCD+3∠ BCD=90°$，解得$∠ BCD=22.5°$，$∠ ACD=67.5°$
$\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore ∠ CDA=90°$
在$Rt△ ACD$中，$∠ A=90°-∠ ACD=90°-67.5°=22.5°$
$\because CE$是$Rt△ ABC$斜边$AB$的中线，$\therefore CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$
$\therefore ∠ ACE=∠ A=22.5°$
$\therefore ∠ ECD=∠ ACD-∠ ACE=67.5°-22.5°=45°$，即$△ CDE$是等腰直角三角形
$\therefore CD=DE=\sqrt{2}$
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$
$\therefore AB=2CE=2×2=4$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质，解题的关键是通过角度推导判断出△CDE是等腰直角三角形，再结合斜边中线的性质计算，需要学生熟练掌握直角三角形的角度运算和线段性质。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：第一步，先根据∠ACB=90°与∠ACD=3∠BCD的数量关系，求出∠BCD、∠ACD的度数；第二步，结合CD是AB边上的高，利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数；第三步，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得CE=AE，推出∠ACE=∠A，进而求出∠ECD的度数；第四步，判断△CDE为等腰直角三角形，结合CD的长度求出CE的长，最后根据斜边中线与斜边的关系求出AB的长度。
【解析】
解：$\because ∠ ACB=90°$，$∠ ACD=3∠ BCD$
$\therefore ∠ BCD+3∠ BCD=90°$，解得$∠ BCD=22.5°$，$∠ ACD=67.5°$
$\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore ∠ CDA=90°$
在$Rt△ ACD$中，$∠ A=90°-∠ ACD=90°-67.5°=22.5°$
$\because CE$是$Rt△ ABC$斜边$AB$的中线，$\therefore CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$
$\therefore ∠ ACE=∠ A=22.5°$
$\therefore ∠ ECD=∠ ACD-∠ ACE=67.5°-22.5°=45°$，即$△ CDE$是等腰直角三角形
$\therefore CD=DE=\sqrt{2}$
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2$
$\therefore AB=2CE=2×2=4$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质，解题的关键是通过角度推导判断出△CDE是等腰直角三角形，再结合斜边中线的性质计算，需要学生熟练掌握直角三角形的角度运算和线段性质。
【难度系数】
0.65
4. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O。给出下列结论:
①$∠ ABC=90°$;
②$∠ AOB=60°$;
③$OA=OB$;
④$△ ABO ≌ △ ADO$。
其中正确的结论有(
A.①
B.①②
C.①③
D.①③④
①$∠ ABC=90°$;
②$∠ AOB=60°$;
③$OA=OB$;
④$△ ABO ≌ △ ADO$。
其中正确的结论有(
C
)。A.①
B.①②
C.①③
D.①③④
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先回忆矩形的核心性质，再逐一验证每个结论：首先矩形的四个内角都是直角，可判断①；其次矩形对角线相等且互相平分，可推导OA和OB的数量关系判断③；对于②，题目没有给出边或角的特殊条件，无法确定∠AOB的度数；对于④，结合全等三角形的判定条件，结合矩形邻边不一定相等、对角线不一定垂直的特点，可判断是否全等。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的四个内角均为直角，即∠ABC=90°，故①正确；
题目未给出边的特殊长度关系或特殊角度条件，无法推导∠AOB=60°，故②错误；
矩形的对角线相等且互相平分，即AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，因此OA=OB，故③正确；
在△ABO和△ADO中，AO为公共边，OB=OD，但矩形邻边AB和AD不一定相等，且∠AOB与∠AOD不一定相等，不满足全等三角形的判定条件，因此△ABO与△ADO不全等，故④错误。
综上，正确的结论为①③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查矩形的基本性质，解题时需注意不要自行添加题目未给出的特殊条件，逐一验证每个结论即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆矩形的核心性质，再逐一验证每个结论：首先矩形的四个内角都是直角，可判断①；其次矩形对角线相等且互相平分，可推导OA和OB的数量关系判断③；对于②，题目没有给出边或角的特殊条件，无法确定∠AOB的度数；对于④，结合全等三角形的判定条件，结合矩形邻边不一定相等、对角线不一定垂直的特点，可判断是否全等。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形的四个内角均为直角，即∠ABC=90°，故①正确；
题目未给出边的特殊长度关系或特殊角度条件，无法推导∠AOB=60°，故②错误；
矩形的对角线相等且互相平分，即AC=BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，因此OA=OB，故③正确；
在△ABO和△ADO中，AO为公共边，OB=OD，但矩形邻边AB和AD不一定相等，且∠AOB与∠AOD不一定相等，不满足全等三角形的判定条件，因此△ABO与△ADO不全等，故④错误。
综上，正确的结论为①③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查矩形的基本性质，解题时需注意不要自行添加题目未给出的特殊条件，逐一验证每个结论即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,则DE的长为
$\frac{119}{24}$
。答案
5.$\frac{119}{24}$
解析
【分析】
要求DE的长，我们可以结合矩形性质和勾股定理求解：首先根据矩形性质得到AD、CD的长度及对角线AC的长度，已知O是AC中点且OE⊥AC，可知OE是AC的垂直平分线，因此AE=CE；设DE为x，将AE、CE用含x的代数式表示后，放在Rt△CDE中利用勾股定理列方程，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=5，AD=BC=12，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∴$OA=\frac{13}{2}$。
∵OE⊥AC，OA=OC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE=CE。
设DE=x，则AE=AD-DE=12-x，即CE=12-x。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE^2=CD^2+DE^2$，
代入得$(12-x)^2=5^2+x^2$，
展开得：$144-24x+x^2=25+x^2$，
整理得：$24x=119$，
解得：$x=\frac{119}{24}$。
【答案】
$\frac{119}{24}$
【知识点】
矩形的性质；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是常见的几何线段求值题，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到AE=CE，通过设未知数构造方程求解，解题过程中需要熟练掌握矩形的相关性质，能灵活运用勾股定理建立等量关系。
【难度系数】
0.6
要求DE的长，我们可以结合矩形性质和勾股定理求解：首先根据矩形性质得到AD、CD的长度及对角线AC的长度，已知O是AC中点且OE⊥AC，可知OE是AC的垂直平分线，因此AE=CE；设DE为x，将AE、CE用含x的代数式表示后，放在Rt△CDE中利用勾股定理列方程，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=5，AD=BC=12，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13$，
∴$OA=\frac{13}{2}$。
∵OE⊥AC，OA=OC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE=CE。
设DE=x，则AE=AD-DE=12-x，即CE=12-x。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE^2=CD^2+DE^2$，
代入得$(12-x)^2=5^2+x^2$，
展开得：$144-24x+x^2=25+x^2$，
整理得：$24x=119$，
解得：$x=\frac{119}{24}$。
【答案】
$\frac{119}{24}$
【知识点】
矩形的性质；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是常见的几何线段求值题，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到AE=CE，通过设未知数构造方程求解，解题过程中需要熟练掌握矩形的相关性质，能灵活运用勾股定理建立等量关系。
【难度系数】
0.6
6. 如图，$∠ EOF=90°$,矩形$ABCD$的顶点$A$和$B$分别在$∠ EOF$的边$OE$和$OF$上运动，但不与点$O$重合，$AB=8$，$AD=3$，连接$OD$，则线段$OD$长的最大值为
9
。答案
6.9
解析
【分析】
本题要求动线段OD的最大值，可按以下思路分析：首先观察到∠EOF=90°且斜边AB长度固定，因此可以取AB中点M，利用直角三角形斜边中线的性质得到长度固定的OM；再结合矩形的已知边长，用勾股定理求出DM的长度；最后根据三角形三边关系，当O、M、D三点共线时，OD的长度达到最大值，即为OM与DM的和。
【解析】
1. 取AB的中点M，连接OM、DM。
2. 在Rt△OAB中，∠EOF=90°，M是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，已知AB=8，可得：
$OM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
3. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠DAB=90°，AM=$\frac{1}{2}AB=4$，AD=3，在Rt△ADM中，由勾股定理计算DM：
$DM=\sqrt{AD^2+AM^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
4. 根据三角形三边关系，$OD≤ OM+DM$，当且仅当O、M、D三点共线时等号成立，此时OD取得最大值，最大值为$4+5=9$。
【答案】
9
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，三角形三边关系
【点评】
本题是动点最值的典型题型，解题核心是找到两条长度固定的线段，利用三点共线时线段和取最大值的规律求解，较好地考查了几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题要求动线段OD的最大值，可按以下思路分析：首先观察到∠EOF=90°且斜边AB长度固定，因此可以取AB中点M，利用直角三角形斜边中线的性质得到长度固定的OM；再结合矩形的已知边长，用勾股定理求出DM的长度；最后根据三角形三边关系，当O、M、D三点共线时，OD的长度达到最大值，即为OM与DM的和。
【解析】
1. 取AB的中点M，连接OM、DM。
2. 在Rt△OAB中，∠EOF=90°，M是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，已知AB=8，可得：
$OM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
3. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠DAB=90°，AM=$\frac{1}{2}AB=4$，AD=3，在Rt△ADM中，由勾股定理计算DM：
$DM=\sqrt{AD^2+AM^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
4. 根据三角形三边关系，$OD≤ OM+DM$，当且仅当O、M、D三点共线时等号成立，此时OD取得最大值，最大值为$4+5=9$。
【答案】
9
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，三角形三边关系
【点评】
本题是动点最值的典型题型，解题核心是找到两条长度固定的线段，利用三点共线时线段和取最大值的规律求解，较好地考查了几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，点$P$为边$BC$上一动点，过点$P$分别作$PE ⊥ AB$于点$E$，$PF ⊥ AC$于点$F$，连接$EF$，$M$为$EF$的中点，则$AM$的最小值为
$\frac{6}{5}$
。答案
7.$\frac{6}{5}$
解析
【分析】
首先观察四边形AEPF的角的特征，由∠BAC=90°、PE⊥AB、PF⊥AC，可判定四边形AEPF是矩形，根据矩形对角线相等的性质可得EF=AP；再结合M是EF中点，由矩形对角线互相平分的性质可得AM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$AP，因此求AM的最小值可转化为求AP的最小值。根据“垂线段最短”，当AP⊥BC时AP长度最小，先通过勾股定理求出BC的长度，再用面积法求出AP的最小值，即可计算得到AM的最小值。
【解析】
1. 推导AM与AP的数量关系：
∵ ∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP=∠AFP=∠EAF=90°，
∴ 四边形AEPF是矩形，
∴ EF=AP，且矩形对角线互相平分。
∵ M为EF的中点，
∴ AM = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}$AP。
2. 求AP的最小值：
根据垂线段最短的性质，当AP⊥BC时，AP的长度最小。
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AP$，
代入数值计算：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AP$，
解得$AP=\frac{12}{5}$。
3. 计算AM的最小值：
$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}$。
【答案】
$\frac{6}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题将几何最值问题与矩形的性质结合考查，解题的核心是将求AM的最小值转化为求BC边上的高的一半，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握特殊四边形的性质和几何最值的常见求解思路。
【难度系数】
0.6
首先观察四边形AEPF的角的特征，由∠BAC=90°、PE⊥AB、PF⊥AC，可判定四边形AEPF是矩形，根据矩形对角线相等的性质可得EF=AP；再结合M是EF中点，由矩形对角线互相平分的性质可得AM=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$AP，因此求AM的最小值可转化为求AP的最小值。根据“垂线段最短”，当AP⊥BC时AP长度最小，先通过勾股定理求出BC的长度，再用面积法求出AP的最小值，即可计算得到AM的最小值。
【解析】
1. 推导AM与AP的数量关系：
∵ ∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP=∠AFP=∠EAF=90°，
∴ 四边形AEPF是矩形，
∴ EF=AP，且矩形对角线互相平分。
∵ M为EF的中点，
∴ AM = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}$AP。
2. 求AP的最小值：
根据垂线段最短的性质，当AP⊥BC时，AP的长度最小。
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AP$，
代入数值计算：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AP$，
解得$AP=\frac{12}{5}$。
3. 计算AM的最小值：
$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}$。
【答案】
$\frac{6}{5}$
【知识点】
矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题将几何最值问题与矩形的性质结合考查，解题的核心是将求AM的最小值转化为求BC边上的高的一半，体现了转化思想的应用，需要熟练掌握特殊四边形的性质和几何最值的常见求解思路。
【难度系数】
0.6
8. 如图，在矩形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线分别交AD于点E，F。
(1)求证：AF＝DE；
(2)当E是DF的中点，AB＝4时，直接写出矩形ABCD的面积。
(1)求证：AF＝DE；
(2)当E是DF的中点，AB＝4时，直接写出矩形ABCD的面积。
答案
8.(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,AB=DC,
∴∠AEB=∠EBC,∠DFC=∠FCB。
∵∠ABC和∠BCD的平分线分别交AD于点E,F,
∴∠ABE=∠EBC,∠DCF=∠FCB,
∴∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF,
∴AB=AE,DF=DC,
∴AE=DF,
∴AE-EF=DF-EF,
∴AF=DE。
(2)解:矩形ABCD的面积是24。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,AB=DC,
∴∠AEB=∠EBC,∠DFC=∠FCB。
∵∠ABC和∠BCD的平分线分别交AD于点E,F,
∴∠ABE=∠EBC,∠DCF=∠FCB,
∴∠ABE=∠AEB,∠DFC=∠DCF,
∴AB=AE,DF=DC,
∴AE=DF,
∴AE-EF=DF-EF,
∴AF=DE。
(2)解:矩形ABCD的面积是24。
解析
【分析】
(1)要证明AF=DE，可先推导AE=DF，再减去公共线段EF即可。首先利用矩形对边平行且相等的性质，结合平行线的性质得到角的等量关系；再结合角平分线的定义推导出等腰三角形，得到AE=AB、DF=DC，结合AB=DC可得AE=DF，最后减去公共段EF就能得到要证的结论。
(2)由(1)的结论可知AB=AE=DC=DF=4，结合E是DF中点求出DE的长度，进而算出AD的长，代入矩形面积公式即可求得结果。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=DC，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB。
∵∠ABC和∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCF=∠FCB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，
∴AB=AE，DF=DC，
∴AE=DF，
∴AE-EF=DF-EF，
∴AF=DE。
(2)解：由(1)可得AB=AE=DC=DF=4，
∵E是DF的中点，
∴DE=EF=$\frac{1}{2}$DF=2，
∴AD=AE+DE=4+2=6，
∴矩形ABCD的面积=AB×AD=4×6=24。
【答案】
(1)AF=DE，得证；
(2)24
【知识点】
矩形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是矩形性质应用的常规题型，核心是利用“平行线+角平分线”的模型推导等腰三角形，进而得到线段的等量关系，既考察了基础性质的记忆，也考察了简单的线段运算能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AF=DE，可先推导AE=DF，再减去公共线段EF即可。首先利用矩形对边平行且相等的性质，结合平行线的性质得到角的等量关系；再结合角平分线的定义推导出等腰三角形，得到AE=AB、DF=DC，结合AB=DC可得AE=DF，最后减去公共段EF就能得到要证的结论。
(2)由(1)的结论可知AB=AE=DC=DF=4，结合E是DF中点求出DE的长度，进而算出AD的长，代入矩形面积公式即可求得结果。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB=DC，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB。
∵∠ABC和∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCF=∠FCB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DFC=∠DCF，
∴AB=AE，DF=DC，
∴AE=DF，
∴AE-EF=DF-EF，
∴AF=DE。
(2)解：由(1)可得AB=AE=DC=DF=4，
∵E是DF的中点，
∴DE=EF=$\frac{1}{2}$DF=2，
∴AD=AE+DE=4+2=6，
∴矩形ABCD的面积=AB×AD=4×6=24。
【答案】
(1)AF=DE，得证；
(2)24
【知识点】
矩形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题是矩形性质应用的常规题型，核心是利用“平行线+角平分线”的模型推导等腰三角形，进而得到线段的等量关系，既考察了基础性质的记忆，也考察了简单的线段运算能力。
【难度系数】
0.7
