角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离。

相等

【分析】
本题考查角平分线性质的基础识记，解题时首先明确题目考察的是教材中角平分线的核心性质内容，回忆相关知识点：角平分线上的点向角的两条边作垂线段，这两条垂线段（即点到角两边的距离）长度一致，直接对应填空即可，无需复杂推导。
【解析】
根据角平分线的性质规定：角的平分线上的点到角两边的距离相等，因此本题空格处填写“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要检验对基础数学性质的识记熟练程度，是角平分线相关知识的基础考点，掌握教材核心概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1.如图,作已知$∠ AOB$的平分线$OC$,合理的顺序是（）
① 作射线$OC$；
② 在$OA$,$OB$上分别截取$ON$,$OM$,使$ON=OM$；
③ 分别以$N$,$M$为圆心,以大于$\frac{1}{2}NM$的长为半径作弧,两弧在$∠ AOB$内交于点$C$.

A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①

【补充设问】能说明$∠ AOC=∠ BOC$的依据是.

1.C 【补充设问】SSS

【分析】
解决这道题首先要明确尺规作角平分线的逻辑顺序：首先需要在角的两条边上截取等长的线段得到两个端点；再以这两个端点为圆心画弧，在角内部得到交点，保证交点到两个端点的距离相等；最后连接顶点和交点得到角平分线。另外判断角相等的依据可结合作图得到的边的关系，通过全等三角形判定定理推导。
【解析】
尺规作∠AOB的平分线的正确步骤如下：
第一步：在OA、OB上分别截取ON、OM，使ON=OM，对应步骤②；
第二步：分别以N、M为圆心，以大于$\frac{1}{2}NM$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C，对应步骤③；
第三步：作射线OC，OC即为∠AOB的平分线，对应步骤①。
因此操作顺序为②③①，选C。
补充设问推导：连接NC、MC，由作图可知ON=OM，NC=MC，又OC是两个三角形的公共边，因此△ONC≌△OMC（SSS），根据全等三角形对应角相等，可得∠AOC=∠BOC，依据为SSS。
【答案】
1.C 【补充设问】SSS
【知识点】
尺规作角平分线；全等三角形SSS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，考查角平分线的尺规作图步骤及作图的原理，熟练掌握基础操作步骤和全等三角形判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.利用尺规作出下图的钝角∠AOB的平分线.
（保留作图痕迹，不写作法）

解：
所作射线OP即为钝角∠AOB的平分线，作图保留以下痕迹：
1. 以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P；
3. 作射线OP，所有作弧的痕迹均保留。

【分析】
要作钝角∠AOB的平分线，核心是通过构造全等三角形得到两个相等的角。首先我们在角的两边截出等长的线段，得到第一组相等边；再通过画弧得到第二组相等边，结合公共边OP，可通过SSS判定两个三角形全等，进而得到对应角相等，即OP为角平分线。作图时需注意：以M、N为圆心画弧时，半径必须大于$\frac{1}{2}MN$，否则两弧无法相交，且交点要取在∠AOB的内部。
【解析】
1. 以点O为圆心，选取适当长度为半径作弧，分别交OA于点M，交OB于点N，此时OM=ON；
2. 分别以点M、N为圆心，选取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，此时MP=NP；
3. 连接O、P作射线OP，由OM=ON、MP=NP、OP=OP，可得△OMP≌△ONP（SSS），因此∠MOP=∠NOP，即OP为∠AOB的角平分线，作图时需保留所有作弧的痕迹。
【答案】
所作射线OP即为钝角∠AOB的平分线，作图保留以下痕迹：
1. 以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点M，交OB于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P；
3. 作射线OP，所有作弧的痕迹均保留。
【知识点】
1. 角平分线尺规作图
2. 全等三角形判定
3. 角平分线定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，重点考查角平分线的作图方法，需要熟练掌握作图的操作步骤和要求，注意作图痕迹不能擦除，两弧的交点需落在角的内部。
【难度系数】
0.8

3. 如图①，如果点M在$∠ ANB$的平分线上，$AM⊥ AN$，$BM⊥ BN$，那么$AM=$。

【变式1·动态分析】如图②，OC平分$∠ AOB$，点P是射线OC上一点，$PM⊥ OB$于点M，点N是射线OA上的一个动点，连接PN.若$PM=6$，则PN的长度不可能是（）
A. 18
B. 7.2
C. 6
D. 4.5

【变式2·转化思想】如图③，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，AD平分$∠ BAC$，AD交BC于点D，$DE⊥ AB$于点E.若$BC=5$，$DE=2$，则DB的长为.
【变式3·其他元素】如图④，在$△ ABC$中，CD平分$∠ ACB$，$DE⊥ AC$，若$BC=2$，$DE=1$，则$S_{△ BCD}=$.

3.BM 【变式1·动态分析】D 【变式2·转化思想】3 【变式3·其他元素】1

【分析】
本组题目均围绕角平分线的性质设计，解题核心思路如下：首先确定角平分线，再找到角平分线上的点到角两条边的垂线段，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”的性质，结合其他几何规则求解即可。
1. 原题：点M是∠ANB平分线上的点，AM、BM分别是M到角两边AN、BN的垂线段，直接用性质推导相等关系即可。
2. 变式1：点P在角平分线OC上，PM是P到OB的垂线段，长度为6，因此P到OA的最短距离为6；PN是P到OA上点的连线，根据垂线段最短，PN的最小值为6，据此判断不符合要求的取值。
3. 变式2：AD是∠BAC的平分线，D到AC的垂线段是DC，到AB的垂线段是DE，可得DC=DE，再结合BC的总长度即可求出DB。
4. 变式3：CD是∠ACB的平分线，D到AC的垂线段是DE，因此D到BC的距离等于DE，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
原题
∵ 点M在∠ANB的平分线上，且$AM⊥AN$，$BM⊥BN$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ $AM=BM$。
变式1·动态分析
∵ OC平分$∠AOB$，$PM⊥OB$，$PM=6$，
∴ 点P到OA的距离等于$PM=6$，
∵ 点N是射线OA上的动点，根据“垂线段最短”，PN的长度最小值为6，即$PN≥6$，
∴ PN不可能是4.5，故选D。
变式2·转化思想
∵ AD平分$∠BAC$，$∠C=90°$（即$DC⊥AC$），$DE⊥AB$，
根据角平分线的性质得$DC=DE=2$，
又
∵ $BC=5$，
∴ $DB=BC-DC=5-2=3$。
变式3·其他元素
∵ CD平分$∠ACB$，$DE⊥AC$，
∴ 点D到BC的距离等于$DE=1$，
∴ $S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×$点D到BC的距离$=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
3.BM 【变式1·动态分析】D 【变式2·转化思想】3 【变式3·其他元素】1
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本组题目从基础识记到综合应用，多角度考查角平分线性质的运用，解题时要注意准确识别角平分线上的点到角两边的垂线段，再结合其他几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

4. [2026 芜湖期中]如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$BE$与$CD$相交于点$O$，且$∠ 1 = ∠ 2$。求证：$OB = OC$。

证明：
∵ ∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°。
在△ODB和△OEC中，
$\{\begin{array}{l}∠ODB=∠OEC \\OD=OE \\∠DOB=∠EOC\end{array} $
∴ △ODB ≌ △OEC（ASA），
∴ OB=OC。

【分析】
要证明OB=OC，可先证明OB与OC所在的△ODB和△OEC全等。首先结合已知条件：∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，根据角平分线的性质可得到O到AB、AC的距离相等，即OD=OE，同时可得∠ODB=∠OEC=90°；再结合对顶角相等的性质，可得∠DOB=∠EOC，即可通过“ASA”判定△ODB≌△OEC，最后根据全等三角形对应边相等即可得到OB=OC。
【解析】
证明：
∵ ∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°。
在△ODB和△OEC中，
$\{\begin{array}{l}∠ODB=∠OEC \\OD=OE \\∠DOB=∠EOC\end{array} $
∴ △ODB ≌ △OEC（ASA），
∴ OB=OC。
【答案】
OB=OC
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心是将证明边相等转化为证明对应三角形全等，解题时需先从已知条件推导得到全等所需的边、角相等的条件，再结合全等判定定理完成证明，需要熟练掌握角平分线性质和全等三角形相关定理的应用。
【难度系数】
0.8