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1.已知A,B两海港相距153 km,一号轮船从A海港以36 km/h的速度向B海港行驶,同一时间二号轮船从B海港出发以42 km/h的速度向A海港行驶.设行驶$x$ h后两船相遇,则根据题意列方程为 (
A.$36x - 42x = 153$
B.$36x + 42x = 153$
C.$36x + 153 = 42x$
D.无法确定
B
)A.$36x - 42x = 153$
B.$36x + 42x = 153$
C.$36x + 153 = 42x$
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
解这道题首先要判断行程类型：两船相向而行，属于相遇问题。第一步先明确相遇时两船的行驶时间相同，均为x小时；第二步结合路程=速度×时间的公式，分别表示出两船行驶的路程；第三步找等量关系：相遇时两船行驶的路程之和等于A、B两海港的总距离，根据等量关系即可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
根据行程问题公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$，
一号轮船行驶x小时的路程为$36x$ km，
二号轮船行驶x小时的路程为$42x$ km，
两船相向而行相遇时，行驶的总路程等于A、B两港的距离153 km，因此可列方程：
$36x + 42x = 153$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
路程公式，相遇问题，列一元一次方程
【点评】
本题是行程相遇类基础题型，核心考查相向而行相遇问题的等量关系，只要理清各行驶主体的路程与总路程的关系，就能快速列出方程解题。
【难度系数】
0.85
解这道题首先要判断行程类型：两船相向而行，属于相遇问题。第一步先明确相遇时两船的行驶时间相同，均为x小时；第二步结合路程=速度×时间的公式，分别表示出两船行驶的路程；第三步找等量关系：相遇时两船行驶的路程之和等于A、B两海港的总距离，根据等量关系即可列出对应方程，再匹配选项即可。
【解析】
根据行程问题公式：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}×\mathrm{时间}$，
一号轮船行驶x小时的路程为$36x$ km，
二号轮船行驶x小时的路程为$42x$ km，
两船相向而行相遇时，行驶的总路程等于A、B两港的距离153 km，因此可列方程：
$36x + 42x = 153$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
路程公式，相遇问题，列一元一次方程
【点评】
本题是行程相遇类基础题型，核心考查相向而行相遇问题的等量关系，只要理清各行驶主体的路程与总路程的关系，就能快速列出方程解题。
【难度系数】
0.85
2. 甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米. 快车先开1小时，两车相向而行，慢车行驶多少小时后两车相遇？
设慢车行驶x小时后两车相遇，根据下面的分析图回答问题：
根据题意列方程：
解得
因此慢车行驶
设慢车行驶x小时后两车相遇，根据下面的分析图回答问题：
根据题意列方程：
$65x+85x+85=450$
，解得
$x=\frac{73}{30}$
.因此慢车行驶
$\frac{73}{30}$
小时后两车相遇.答案
2. $65x+85x+85=450$，$x=\frac{73}{30}$，$\frac{73}{30}$
解析
【分析】
这是相向而行的相遇问题，解题核心是找到路程等量关系：两车行驶的总路程等于甲乙两站的总路程450千米。首先明确两车的行驶时间：慢车行驶x小时，快车比慢车多开1小时，所以快车的路程分为先开1小时的85千米和后续x小时行驶的85x千米，慢车的路程是65x千米，将三部分路程相加等于总路程即可列出方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到x的值。
【解析】
解：设慢车行驶x小时后两车相遇。
1. 表示各部分路程：
慢车行驶x小时的路程为$65x$千米；
快车先开1小时，路程分为两部分：提前1小时行驶的路程$85×1=85$千米，和慢车共同行驶x小时的路程$85x$千米，快车总路程为$(85x+85)$千米。
2. 列方程：
相遇时两车路程和等于甲乙两站总路程，因此列方程：
$65x + 85x + 85 = 450$
3. 解方程：
合并同类项，得$150x + 85 = 450$
移项，得$150x = 450 - 85$
计算得$150x = 365$
系数化为1，得$x = \frac{365}{150} = \frac{73}{30}$
因此慢车行驶$\frac{73}{30}$小时后两车相遇。
【答案】
$65x+85x+85=450$，$x=\frac{73}{30}$，$\frac{73}{30}$
【知识点】
1. 相遇行程问题 2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程问题的基础题型，解题的关键是准确梳理两车的行驶时间、对应路程，正确找到总路程的等量关系列方程，解题时需注意不要遗漏快车提前行驶的路程。
【难度系数】
0.7
这是相向而行的相遇问题，解题核心是找到路程等量关系：两车行驶的总路程等于甲乙两站的总路程450千米。首先明确两车的行驶时间：慢车行驶x小时，快车比慢车多开1小时，所以快车的路程分为先开1小时的85千米和后续x小时行驶的85x千米，慢车的路程是65x千米，将三部分路程相加等于总路程即可列出方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算即可得到x的值。
【解析】
解：设慢车行驶x小时后两车相遇。
1. 表示各部分路程：
慢车行驶x小时的路程为$65x$千米；
快车先开1小时，路程分为两部分：提前1小时行驶的路程$85×1=85$千米，和慢车共同行驶x小时的路程$85x$千米，快车总路程为$(85x+85)$千米。
2. 列方程：
相遇时两车路程和等于甲乙两站总路程，因此列方程：
$65x + 85x + 85 = 450$
3. 解方程：
合并同类项，得$150x + 85 = 450$
移项，得$150x = 450 - 85$
计算得$150x = 365$
系数化为1，得$x = \frac{365}{150} = \frac{73}{30}$
因此慢车行驶$\frac{73}{30}$小时后两车相遇。
【答案】
$65x+85x+85=450$，$x=\frac{73}{30}$，$\frac{73}{30}$
【知识点】
1. 相遇行程问题 2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是行程问题的基础题型，解题的关键是准确梳理两车的行驶时间、对应路程，正确找到总路程的等量关系列方程，解题时需注意不要遗漏快车提前行驶的路程。
【难度系数】
0.7
3.某天，小万和姐姐在公园里一条笔直的道路上一起晨练，小万以3 m/s的速度向前慢跑，姐姐在小万跑了5 m后以5 m/s的速度追赶小万.设姐姐出发x s后追上小万，则根据题意可列方程为
$5x=3x+5$
.答案
3. $5x=3x+5$
解析
【分析】
这是一道行程追及类的列方程题，解题核心是找到追及时的等量关系：姐姐追上小万时，两人走过的总路程相等。我们可以分别表示出姐姐出发x秒后，姐姐和小万各自的总路程，再根据路程相等列出方程即可。第一步先计算姐姐x秒跑的路程，第二步计算小万的总路程（包含提前跑的5米和x秒内跑的路程），第三步令两者相等列方程。
【解析】
追及问题的核心等量关系：追上时两人的总路程相等。
1. 姐姐的速度为5m/s，出发x秒后，姐姐跑的路程为：速度×时间 = $5x$（m）
2. 小万提前跑了5m，且在姐姐出发的x秒内，小万以3m/s的速度仍在前进，这段时间小万跑的路程为$3x$（m），因此小万的总路程为$(3x + 5)$（m）
3. 姐姐追上小万时两人路程相等，因此可列方程：$5x = 3x + 5$
【答案】
$5x=3x+5$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 追及问题等量关系
【点评】
本题属于行程问题中的基础追及题型，解题关键是准确梳理两人的路程组成，抓住“追上时路程相等”这一核心等量关系，注意不要忽略先行主体提前走过的路程，熟练掌握这类题型可以为后续复杂行程问题的求解打好基础。
【难度系数】
0.8
这是一道行程追及类的列方程题，解题核心是找到追及时的等量关系：姐姐追上小万时，两人走过的总路程相等。我们可以分别表示出姐姐出发x秒后，姐姐和小万各自的总路程，再根据路程相等列出方程即可。第一步先计算姐姐x秒跑的路程，第二步计算小万的总路程（包含提前跑的5米和x秒内跑的路程），第三步令两者相等列方程。
【解析】
追及问题的核心等量关系：追上时两人的总路程相等。
1. 姐姐的速度为5m/s，出发x秒后，姐姐跑的路程为：速度×时间 = $5x$（m）
2. 小万提前跑了5m，且在姐姐出发的x秒内，小万以3m/s的速度仍在前进，这段时间小万跑的路程为$3x$（m），因此小万的总路程为$(3x + 5)$（m）
3. 姐姐追上小万时两人路程相等，因此可列方程：$5x = 3x + 5$
【答案】
$5x=3x+5$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 追及问题等量关系
【点评】
本题属于行程问题中的基础追及题型，解题关键是准确梳理两人的路程组成，抓住“追上时路程相等”这一核心等量关系，注意不要忽略先行主体提前走过的路程，熟练掌握这类题型可以为后续复杂行程问题的求解打好基础。
【难度系数】
0.8
4. 如图，甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向山顶进发，甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km.多长时间后，甲队在途中追上乙队？
(1)设x h后，甲队在途中追上乙队，请画图分析问题中各个量之间的关系.
(2)根据(1)中所画的图表示的等量关系系列方程解决问题.
(1)设x h后，甲队在途中追上乙队，请画图分析问题中各个量之间的关系.
(2)根据(1)中所画的图表示的等量关系系列方程解决问题.
答案
4. 解:(1)画图分析如图.
(2)根据题意,得,1.2x+1=0.8x+3,解得x=5.答:5 h后,甲队在途中追上乙队.
解析
【分析】
这是行程类的追及问题，解题核心是找到甲追上乙时的等量关系：此时两队距离大本营的总路程相等。思考步骤如下：1. 设追及时间为x h，分别表示两队x小时后的总路程：甲队从距大本营1km处出发，x小时行进1.2x km，总路程为$(1+1.2x)$km；乙队从距大本营3km处出发，x小时行进0.8x km，总路程为$(3+0.8x)$km。2. 追上时两队总路程相等，据此列一元一次方程求解即可。第一问的线段图可直观呈现各路程的关系，以大本营为起点，依次标注甲出发点、乙出发点、追及点，对应标注各段路程长度。
【解析】
(1) 路程关系线段图如下：
(2) 解：设x h后甲队在途中追上乙队。
根据“甲队距离大本营的总路程=乙队距离大本营的总路程”的等量关系，列方程：
$1 + 1.2x = 3 + 0.8x$
移项得：$1.2x - 0.8x = 3 - 1$
合并同类项得：$0.4x = 2$
系数化为1得：$x = 5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
【答案】
(1)画图分析如图.
(2)5 h后，甲队在途中追上乙队。
【知识点】
追及问题、一元一次方程的应用、线段图分析等量关系
【点评】
本题是一元一次方程在行程问题中的典型应用，通过线段图可直观梳理路程间的数量关系，降低找等量关系的难度，掌握追及问题“追上时对应路程相等”的核心规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是行程类的追及问题，解题核心是找到甲追上乙时的等量关系：此时两队距离大本营的总路程相等。思考步骤如下：1. 设追及时间为x h，分别表示两队x小时后的总路程：甲队从距大本营1km处出发，x小时行进1.2x km，总路程为$(1+1.2x)$km；乙队从距大本营3km处出发，x小时行进0.8x km，总路程为$(3+0.8x)$km。2. 追上时两队总路程相等，据此列一元一次方程求解即可。第一问的线段图可直观呈现各路程的关系，以大本营为起点，依次标注甲出发点、乙出发点、追及点，对应标注各段路程长度。
【解析】
(1) 路程关系线段图如下：
(2) 解：设x h后甲队在途中追上乙队。
根据“甲队距离大本营的总路程=乙队距离大本营的总路程”的等量关系，列方程：
$1 + 1.2x = 3 + 0.8x$
移项得：$1.2x - 0.8x = 3 - 1$
合并同类项得：$0.4x = 2$
系数化为1得：$x = 5$
经检验，$x=5$符合实际题意。
【答案】
(1)画图分析如图.
(2)5 h后，甲队在途中追上乙队。
【知识点】
追及问题、一元一次方程的应用、线段图分析等量关系
【点评】
本题是一元一次方程在行程问题中的典型应用，通过线段图可直观梳理路程间的数量关系，降低找等量关系的难度，掌握追及问题“追上时对应路程相等”的核心规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.(教材P151例3变式)运动场的跑道一圈长400 m，小刚练习骑自行车，平均每分钟骑350 m，小强练习跑步，平均每分钟跑250 m.
(1)若两人同时同地同向出发，则经过多长时间首次相遇？
(2)若两人同时同地反向出发，则经过多长时间首次相遇？
(1)若两人同时同地同向出发，则经过多长时间首次相遇？
(2)若两人同时同地反向出发，则经过多长时间首次相遇？
答案
5. 解:(1)设两人同时同地同向出发,经过x min首次相遇.根据题意,得$(350-250)x=400$,解得$x=4$.答:两人同时同地同向出发,经过4 min首次相遇.
(2)设两人同时同地反向出发,经过y min首次相遇.根据题意,得$(350+250)y=400$,解得$y=\frac{2}{3}$.答:两人同时同地反向出发,经过$\frac{2}{3}$ min首次相遇.
(2)设两人同时同地反向出发,经过y min首次相遇.根据题意,得$(350+250)y=400$,解得$y=\frac{2}{3}$.答:两人同时同地反向出发,经过$\frac{2}{3}$ min首次相遇.
解析
【分析】
(1) 两人同时同地同向出发时，小刚骑行速度比小强跑步速度快，首次相遇时小刚恰好比小强多跑1圈（400m），等量关系为：（小刚速度-小强速度）×相遇时间=跑道一圈长度，按照这个等量关系设未知数列一元一次方程即可求解。
(2) 两人同时同地反向出发时，两人运动方向相反，首次相遇时两人走过的路程之和刚好等于跑道一圈的长度（400m），等量关系为：（小刚速度+小强速度）×相遇时间=跑道一圈长度，按照这个等量关系设未知数列一元一次方程即可求解。
【解析】
(1) 设两人同时同地同向出发，经过$x$ min首次相遇。
根据题意列方程：
$(350-250)x=400$
化简得$100x=400$
解得$x=4$
(2) 设两人同时同地反向出发，经过$y$ min首次相遇。
根据题意列方程：
$(350+250)y=400$
化简得$600y=400$
解得$y=\frac{2}{3}$
答：(1)两人同时同地同向出发，经过4 min首次相遇；(2)两人同时同地反向出发，经过$\frac{2}{3}$ min首次相遇。
【答案】
(1)4 min；(2)$\frac{2}{3}$ min
【知识点】
一元一次方程的应用、追及问题、相遇问题
【点评】
本题是行程类应用题的基础典型题，核心是区分同向追及和反向相遇两种场景的等量关系，解题关键是根据运动方向找准路程差或路程和的对应数值，掌握列一元一次方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 两人同时同地同向出发时，小刚骑行速度比小强跑步速度快，首次相遇时小刚恰好比小强多跑1圈（400m），等量关系为：（小刚速度-小强速度）×相遇时间=跑道一圈长度，按照这个等量关系设未知数列一元一次方程即可求解。
(2) 两人同时同地反向出发时，两人运动方向相反，首次相遇时两人走过的路程之和刚好等于跑道一圈的长度（400m），等量关系为：（小刚速度+小强速度）×相遇时间=跑道一圈长度，按照这个等量关系设未知数列一元一次方程即可求解。
【解析】
(1) 设两人同时同地同向出发，经过$x$ min首次相遇。
根据题意列方程：
$(350-250)x=400$
化简得$100x=400$
解得$x=4$
(2) 设两人同时同地反向出发，经过$y$ min首次相遇。
根据题意列方程：
$(350+250)y=400$
化简得$600y=400$
解得$y=\frac{2}{3}$
答：(1)两人同时同地同向出发，经过4 min首次相遇；(2)两人同时同地反向出发，经过$\frac{2}{3}$ min首次相遇。
【答案】
(1)4 min；(2)$\frac{2}{3}$ min
【知识点】
一元一次方程的应用、追及问题、相遇问题
【点评】
本题是行程类应用题的基础典型题，核心是区分同向追及和反向相遇两种场景的等量关系，解题关键是根据运动方向找准路程差或路程和的对应数值，掌握列一元一次方程解应用题的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. (2024·陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除. 根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h. 当天，小峰先单独打扫了一段时间，然后去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务. 小峰和爸爸这次打扫一共用了3 h，求这次打扫小峰用了多长时间.
答案
6. 解:设这次打扫小峰用了x h,则爸爸用了$(3-x)$h. 根据题意,得$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$,解得$x=2$.答:这次打扫小峰用了2 h.
解析
【分析】
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题思路如下：①首先将总打扫任务量看作单位“1”，由此可得小峰的工作效率为$\frac{1}{4}$每小时，爸爸的工作效率为$\frac{1}{2}$每小时；②设未知数：要求小峰的打扫时间，可设小峰用了$x$ h，因为两人总用时3 h，因此爸爸的打扫时间为$(3-x)$ h；③找等量关系：工程问题的核心等量关系为“各部分工作量之和=总工作量”，其中工作量=工作效率×工作时间，代入对应量即可列出方程求解。
【解析】
解：设这次打扫小峰用了$x$ h，则爸爸打扫的时间为$(3-x)$ h，将总打扫任务量看作单位“1”。
根据题意，小峰的工作量为$\frac{x}{4}$，爸爸的工作量为$\frac{3-x}{2}$，两人工作量之和等于总工作量，列方程得：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
解方程：
去分母，得$x + 2(3-x) = 4$
去括号，得$x + 6 - 2x = 4$
移项、合并同类项，得$-x = -2$
系数化为1，得$x = 2$
经检验，$x=2$符合实际题意。
答：这次打扫小峰用了2 h。
【答案】
2 h
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 工程问题
3. 工作量计算
【点评】
本题是工程类基础应用题，解题核心是将总工作量视为单位“1”，准确梳理两人的工作时间、工作效率与总工作量的对应关系，掌握对应等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题思路如下：①首先将总打扫任务量看作单位“1”，由此可得小峰的工作效率为$\frac{1}{4}$每小时，爸爸的工作效率为$\frac{1}{2}$每小时；②设未知数：要求小峰的打扫时间，可设小峰用了$x$ h，因为两人总用时3 h，因此爸爸的打扫时间为$(3-x)$ h；③找等量关系：工程问题的核心等量关系为“各部分工作量之和=总工作量”，其中工作量=工作效率×工作时间，代入对应量即可列出方程求解。
【解析】
解：设这次打扫小峰用了$x$ h，则爸爸打扫的时间为$(3-x)$ h，将总打扫任务量看作单位“1”。
根据题意，小峰的工作量为$\frac{x}{4}$，爸爸的工作量为$\frac{3-x}{2}$，两人工作量之和等于总工作量，列方程得：
$\frac{x}{4}+\frac{3-x}{2}=1$
解方程：
去分母，得$x + 2(3-x) = 4$
去括号，得$x + 6 - 2x = 4$
移项、合并同类项，得$-x = -2$
系数化为1，得$x = 2$
经检验，$x=2$符合实际题意。
答：这次打扫小峰用了2 h。
【答案】
2 h
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 工程问题
3. 工作量计算
【点评】
本题是工程类基础应用题，解题核心是将总工作量视为单位“1”，准确梳理两人的工作时间、工作效率与总工作量的对应关系，掌握对应等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
