8. (教材变式)如图,AD//BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,PE⊥AB于点E. 若PE= 4,则两条平行线AD与BC之间的距离为______.

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9. 如图,在△ABC中,∠ABC= 90°,I为△ABC各内角平分线的交点,过点I作AC的垂线,垂足为H,若BC= 6,AB= 8,AC= 10,则IH的长为______.

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10. (教材变式)如图,AD是△ABC的角平分线,AB= 4,BC= 5,AC= 6,则$S_{△ABD}:S_{ACD}$= ______,BD的长为______.

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11. 如图,在△ABC中,∠C= 90°.
(1)利用直尺和圆规作∠ABC的平分线,交AC于点D(保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下,若CD= 3,AB+BC= 16,求△ABC的面积.

解：(1)∠ABC的平分线如图所示;

(2)过点D作DH⊥AB于点H，∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，
∴CD = DH = 3，
$\begin{aligned}\therefore S_{\triangle ABC}&=S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ABD}\\&=\frac{1}{2}BC\cdot CD+\frac{1}{2}AB\cdot DH\\&=\frac{1}{2}\times3\times BC+\frac{1}{2}\times3\times AB\\&=\frac{1}{2}\times3(BC + AB)\\&=\frac{1}{2}\times3\times16\\&=24.\end{aligned}$

12. (2025武汉二中)如图,在四边形ABCD中,∠A= ∠B= 90°,∠BCD的平分线交AB于点E,BE= AD,连接DE. 求证：BC-CD= AE.

证明：方法一：过点E作EH⊥CD交CD的延长线于点H.
∵CE平分∠BCD，∠B = 90°，
∴EH = BE = AD.
又∵DE = ED，
∴Rt△ADE≌Rt△HED(HL)，∴AE = DH.
∵CE = CE，BE = EH，
∴Rt△BCE≌Rt△HCE(HL)，
∴BC = CH，
∴BC - CD = CH - CD = DH = AE，∴BC - CD = AE；
方法二：在CB上截取CF = CD，
则△CFE≌△CDE(SAS)，
∴FE = DE，
∴Rt△BEF≌Rt△ADE(HL)，
∴AE = BF = BC - CF = BC - CD.

13. (原创题)在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ABC+∠ADC= 180°.
(1)如图1,求证：CD= CB；
(2)如图2,O为AC的中点,OD⊥AD,CE⊥AB于点E. 求证：CE= 2DO.

证明：(1)过点C分别作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD延长线于点F，则∠CEB = ∠CFD = 90°.
∵∠ADC + ∠CDF = 180°，∠ADC + ∠ABC = 180°，
∴∠CDF = ∠ABC.
∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE = CF，
∴△CDF≌△CBE(AAS)，
∴CD = CB；
(2)延长DO至点N，使ON = DO，连接AN.
∵AO = OC，∠AON = ∠COD，
∴△AON≌△COD(SAS)，
∴AN = CD，∠N = ∠CDO，
∴CD//AN，
∴∠DAN + ∠ADC = 180°，
∴∠DAN = 180° - ∠ADC = ∠B.
由(1)知CD = CB，
∵CD = AN，
∴AN = BC.
又∵∠ADN = ∠BEC = 90°，
∴△AND≌△BCE(AAS)，
∴CE = DN = 2DO.