8. (教材 P114 例 3 变式)蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成,如图所示为一个蒙古包的示意图,底面圆半径 $ DE=2 \ \mathrm{m} $,圆锥的高 $ AC=1.5 \ \mathrm{m} $,圆柱的高 $ CD=2.5 \ \mathrm{m} $,则下列说法错误的是( )
A. 圆柱的底面积为 $ 4π \ \mathrm{m}^2 $
B. 圆柱的侧面积为 $ 10π \ \mathrm{m}^2 $
C. 圆锥的母线 $ AB $ 长为 $ 2.25 \ \mathrm{m} $
D. 圆锥的侧面积为 $ 5π \ \mathrm{m}^2 $

C

9. (2023·自贡)如图,小珍同学用半径为8 cm、圆心角为100°的扇形纸片,制作一个底面圆半径为2 cm的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是$\underline{\hspace{3em}}$cm².

$\frac{16\pi}{9}$

10. (数形结合思想)如图,在一张正方形纸片上剪下一个半径为$ r $的圆和一个半径为$ R $的扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥,试确定$ R $与$ r $之间的关系.

解：由题意，得$\frac{90\pi R}{180}=2\pi r，$ $\therefore R = 4r.$

11. 如图,一个圆锥的高 AO 为 $3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$,侧面展开图是一个半圆.求:
(1) 圆锥的母线长与底面圆的半径的比值;
(2) $∠ BAC$ 的度数;
(3) 圆锥的侧面积.

第11题

解：设圆锥的高为$h\ cm，$底面圆的半径为$r\ cm，$母线$AC$长为$l\ cm.$ （1）由题意，得$\frac{180\pi l}{180}=2\pi r，$$\therefore \frac{l}{r}=2，$即圆锥的母线长与底面圆的半径的比值为$2.$ （2）$\because \frac{l}{r}=2，$$\therefore$易得圆锥的高与母线的夹角为$30^{\circ}.$ $\because AB = AC，$$AO\perp BC，$$\therefore \angle BAC = 2\times30^{\circ}=60^{\circ}.$ （3）由题意，可知$l^{2}=h^{2}+r^{2}.$ 又$\because \frac{l}{r}=2，$$h = 3\sqrt{3}，$ $\therefore (2r)^{2}=(3\sqrt{3})^{2}+r^{2}，$解得$r = 3$（负值舍去）.$\therefore l = 2r = 6.$ $\therefore$圆锥的侧面积为$\frac{180\pi l^{2}}{360}=18\pi(cm^{2}).$

12.（新情境·日常生活）如图①，某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD的长之比为1：2.制作这种外包装需要用如图②所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥的侧面时，AE，AF恰好重合.
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的度数；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5 cm，求加工材料剩余部分（图②中涂色部分）的面积（结果保留π）.

第12题

解：（1）设$\angle BAC=\alpha.$ 根据题意，得$\overset{\frown}{EF}$的长就是圆锥底面圆的周长， $\therefore \frac{\alpha}{180^{\circ}}\times\pi\times AD = ED\times\pi.$ 又$\because ED:AD = 1:2，$$\therefore AD = 2ED.$ $\therefore \alpha = 90^{\circ}，$即$\angle BAC = 90^{\circ}.$ （2）$\because$圆锥底面圆的直径$ED$为$5\ cm，$$\therefore AD = 2ED = 10\ cm.$ $\because \angle BAC = 90^{\circ}，$$AB = AC，$$\therefore \triangle ABC$是等腰直角三角形. $\because AD\perp BC，$$\therefore$易得$BC = 2AD = 20\ cm.$ $\therefore S_{涂色部分}=S_{\triangle ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}BC\cdot AD-\frac{90\pi\times AD^{2}}{360}=\frac{1}{2}\times20\times10-\frac{90\pi\times10^{2}}{360}=(100 - 25\pi)cm^{2}.$