1. 把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，则“其中一段长度大于另一段长度的2倍”的概率为$\underline{\hspace{5cm}}$．

$\frac{2}{3}$

2.（2024·济宁期末）丽丽和小明两位同学一起玩飞镖游戏，飞镖的靶子设计如图所示，已知从里到外的三个圆的半径分别为1、2、4，圆形靶子被分为A、B、C三个区域.如果飞镖投出后没有落在靶子上，或是停留在圆周上，那么可以重新投镖.
（1）分别求出飞镖落在三个区域的概率.
（2）丽丽和小明约定，如果飞镖落在A、B区域，那么丽丽得三分，如果飞镖落在C区域，那么小明得一分，你认为这个游戏公平吗？说明理由.如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平.

解：​$(1)$​因为三个圆的半径分别为​$1、$​​$2、$​​$4，$​根据圆的面积公式​$S = \pi r^2，$​可得​$S_{A}=\pi ×1^2=\pi ，$​​$S_{B}=\pi ×2^2-\pi ×1^2=3\pi ，$​​$S_{C}=\pi ×4^2-\pi ×2^2=12\pi 。$​​$ $​飞镖落在​$A$​区域的概率​$P(\mathrm {A})$​​$=\frac {\pi }{\pi + 3\pi +12\pi }=\frac {1}{16}；$​​$ $​飞镖落在​$B$​区域的概率​$P(\mathrm {B})$​​$=\frac {3\pi }{\pi + 3\pi +12\pi }=\frac {3}{16}；$​​$ $​飞镖落在​$C$​区域的概率​$P(\mathrm {C})$​​$=\frac {12\pi }{\pi + 3\pi +12\pi }=\frac {3}{4}。$​​$ (2)$​公平。理由如下：​$ $​因为​$P(\mathrm {A})=\frac {1}{16}，$​​$P(\mathrm {B})=\frac {3}{16}，$​​$P(\mathrm {C})=\frac {3}{4}，$​​$ $​所以​$P($​丽丽得分​$)=\frac {1}{16}×3+\frac {3}{16}×3=\frac {3}{4}，$​​$P($​小明得分​$)=\frac {3}{4}×1=\frac {3}{4}。$​​$ $​因为​$P($​丽丽得分​$)=P($​小明得分​$)，$​所以这个游戏公平。

3. (2024·汕头潮阳区期末)一个不透明的袋子中装有四个小球,上面分别标有数字-2、-1、0、1,它们除了数字不同外,其他完全相同.
(1)随机从袋子中摸出一个小球,摸出的球上面标的数字为正数的概率是________.
(2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标;然后放回搅匀,接着小明从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为点M的纵坐标.如图,已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为$A(-2,0)$、$B(0,-2)$、$C(1,0)$、$D(0,1)$,请用画树状图或列表法,求点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的概率.

$\frac{1}{4}$ ; 解​$： (2)$​列表如下：
由表知，共有​$16$​种等可能结果，其中点​$M$​落在四边形​$ABCD$​所围成的部分内（含边界）的有​$(-2，0)，$​​$(-1，-1)，$​​$(-1，0)，$​​$(0，-2)，$​​$(0，-1)，$​​$(0，0)，$​​$(0，1)，$​​$(1，0)，$​共​$8$​个，所以点​$M$​落在四边形​$ABCD$​所围成的部分内​$($​含边界​$)$​的概率为​$\frac {8}{16}=\frac {1}{2}。$​

4. (贵阳中考)图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子,每个面上分别标有数字1、2、3、4,图②是一个正六边形棋盘,现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏,规则是:将这枚骰子掷出后,看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几,就从图②中的点A开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点,第二次从第一次的终点处开始,按第一次的方法跳动.
(1)随机掷一次骰子,则棋子跳动到点C处的概率是______;
(2)随机掷两次骰子,用画树状图或列表的方法,求棋子最终跳动到点C处的概率.

$\frac{1}{4}$ ; 解​$： (2)$​列表如下：
由表格可知，共有$16$种等可能的结果，其中棋子最终跳动到点$C$处的结果有$3$种，所以$P$(棋子最终跳动到点$C$处)$=\frac{3}{16}。$