6. 如图，若$DC// FE// AB$，则有 （ ）
A. $\frac{OD}{OF}=\frac{OC}{OE}$
B. $\frac{OF}{OB}=\frac{OA}{OC}$
C. $\frac{OA}{OC}=\frac{OD}{OB}$
D. $\frac{CO}{OF}=\frac{OD}{OE}$

D

7. 如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$EF// AB$,若$AB=3BD$,$CF=1$,则$BF$的长为 （ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

A

8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=135°$,过点$B$作$AB$的垂线交$AC$于点$P$,若$\frac{CP}{PA}=\frac{1}{2}$,$PB=2$,求$BC$的长.

解：过点​$C$​作​$CD\perp AB$​交​$AB$​的延长线于点​$D$​∵​$P B\perp AB，$​​$CD\perp AB，$​∴​$P B//CD$​​$ $​则​$\triangle AP B\sim \triangle ACD，$​∴​$\frac {P B}{CD}=\frac {AP}{AC}$​∵​$\frac {CP}{P A}=\frac 12，$​∴​$\frac {AP}{AC}=\frac 23$​ 又∵​$P B = 2，$​∴​$\frac 2{CD}=\frac 23，$​解得​$CD = 3$​∵​$∠ABC = 135°，$​∴​$∠DBC = 180°-135°=45°$​ 又∵​$CD\perp BD，$​∴​$\triangle BCD$​是等腰直角三角形，​$BD = CD = 3$​​$ $​根据勾股定理​$BC=\sqrt {BD^2+CD^2}=\sqrt {3^2+3^2} = 3\sqrt 2$​ ;

9. 如图,在$□ ABCD$中,$E$为边$BC$上一点,$AE$交$BD$于点$F$.
(1)求证:$△ ADF ∽ △ EBF$.
(2)若$BE=6$,$EC=3$,$BF=5$,求对角线$BD$的长.

​$ (1)$​证明：∵四边形​$ABCD$​为平行四边形，∴​$AD// BC$​∴​$∠DAF=∠BEF，$​​$∠ADF=∠EBF$​∴​$\triangle ADF\sim \triangle EBF$​​$ (2)$​解：∵四边形​$ABCD$​为平行四边形，∴​$AD = BC$​∵​$BE = 6，$​​$EC = 3，$​∴​$AD = BC=BE + EC = 9$​∵​$\triangle ADF\sim \triangle EBF，$​∴​$\frac {AD}{EB}=\frac {DF}{BF}$​​$ $​即​$\frac 96=\frac {DF}5，$​解得​$DF = 7.5$​∴​$BD = DF + BF = 7.5 + 5 = 12.5$​

10. 如图,已知点 F 在 AB 上,且 $ AF:BF=1:2 $,D 是 BC 延长线上一点,$ BC:CD=2:1 $,连接 FD 交 AC 于点 N,求$ \frac{FN}{ND} $的值.

解：过点​$F $​作​$FE//BD，$​交​$AC$​于点​$E$​​$ $​则​$\frac {EF}{BC}=\frac {AF}{AB}$​∵​$AF∶BF = 1∶2$​∴​$\frac {AF}{AB}=\frac 1{1 + 2}=\frac 13，$​即​$\frac {AF}{AB}=\frac 13=\frac {EF}{BC}，$​∴​$EF=\frac 13BC$​∵​$BC∶CD = 2∶1，$​∴​$CD=\frac 12BC$​ 又∵​$EF// BD，$​∴​$\frac {FN}{ND}=\frac {EF}{CD}=\frac {\frac 13BC}{\frac 12BC}=\frac 23$​ ;