8. 如图，AB是$\odot O$的直径，$AB=4$，M是OA的中点，过点M的直线与$\odot O$交于C，D两点. 若$∠ CMA=45°$，则弦CD的长为______.

第8题图

第9题图

第10题图

$\sqrt{14}$

9.(2023·连云港期末)如图,在$\odot O$中,弦$AB=4$,点$C$在$AB$上移动,连接$OC$,过点$C$作$CD ⊥ OC$,交$\odot O$于点$D$,则$CD$长的最大值为$\underline{\hspace{5em}}$.

2

10.如图,在平面直角坐标系中,一个圆与两坐标轴分别交于A,B,C,D四点.已知$A(6,0),B(-2,0)$,$C(0,3)$,则点$D$的坐标为______.

$(0,-4)$

11. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$,$AD⊥ OC$于点$D$.求证:$AB=2AD$.

第11题图

; 证明：延长$AD$交$\odot O$于点$E。$ $∵OC\perp AD，$$∴\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}，$$AE = 2AD。$ $∵\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}，$$∴\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AB}，$ $∴AB = AE，$$∴AB = 2AD。$

12.(2024·淮安区期中)如图,某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为24 m,拱顶高出水面8 m(即$CD=8$ m),$OC⊥AB$.
(1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径;
(2)现有一艘宽10 m,船舱高出水面7.5 m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座桥吗?

第12题图

解：​$ (1)$​连接​$OA。$​ ∵​$AB = 24m，$​​$OC\perp AB，$​∴​$AD = \frac {1}{2}AB = 12m。$​​$ $​设​$OA = OC = rm，$​ ∵​$CD = 8m，$​∴​$OD=(r - 8)m，$​​$ $​在​$Rt\triangle AOD$​中，根据勾股定理，可得​$AD^2+OD^2=OA^2，$​​$ $​即​$12^2+(r - 8)^2=r^2，$​​$ $​展开得​$144+r^2-16r + 64 = r^2，$​​$ $​移项化简得​$16r = 208，$​解得​$r = 13，$​ ∴该圆弧形拱桥所在圆的半径为​$13m。$​​$ (2)$​∵​$r = 13m，$​​$CD = 8m，$​ ∴​$OD = OC - CD = 5m。$​​$ $​连接​$OM，$​​$ $​当​$EF = MN = 10m $​时， ∵​$OC\perp AB，$​∴​$OC\perp MN，$​∴​$MH = \frac {1}{2}MN = 5m。$​ 根据勾股定理，可得​$OH = \sqrt {OM^2-MH^2} = 12m，$​ ∴​$DH = OH - OD = 12 - 5 = 7(\mathrm {m})。$​ ∵​$7<7.5，$
​∴此货船不能顺利通过这座桥。 ;