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2. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k^2=0$有实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若方程的一个根是1,求$k$的值；
(3)设$x_1,x_2$是方程的两个实数根,是否存在实数$k$,使得$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=6$成立? 若成立,试求出$k$的值;若不存在,请说明理由.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若方程的一个根是1,求$k$的值；
(3)设$x_1,x_2$是方程的两个实数根,是否存在实数$k$,使得$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=6$成立? 若成立,试求出$k$的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) $k≤ \frac{1}{4}$ (2) $k=0$或$-2$ (3) 存在,$k=-1$
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ≥0时方程有实数根，本题二次项系数为1≠0，直接计算判别式列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
（2）已知方程的一个根为1，根据方程的根的定义，根代入方程等式成立，将x=1代入原方程得到关于k的一元二次方程，求解后结合第一问的k的取值范围验证即可。
（3）对于两根的代数式求值问题，先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2$变形为$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$，再根据一元二次方程根与系数的关系写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于k的表达式，代入等式得到关于k的方程，求解后结合第一问的k的取值范围取舍，即可判断是否存在符合条件的k。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k^2=0$有实数根，二次项系数$a=1≠0$
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac=(2k-1)^2-4×1× k^2 ≥ 0$
展开计算得：$4k^2-4k+1-4k^2 ≥ 0$，即$-4k+1≥0$
解得：$k ≤ \frac{1}{4}$
（2）
∵ 方程的一个根是1，将x=1代入原方程得：
$1^2 + (2k-1)×1 +k^2 =0$
化简得：$k^2+2k=0$
因式分解得：$k(k+2)=0$
解得：$k=0$或$k=-2$
经检验，$k=0$和$k=-2$都满足$k≤\frac{1}{4}$，均符合题意。
（3）存在，理由如下：
根据根与系数的关系，得：
$x_1+x_2 = -(2k-1) = 1-2k$，$x_1x_2 = k^2$
∵ $x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=6$
将代数式变形得：$(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 =6$
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式得：
$(1-2k)^2 -3k^2 =6$
展开化简得：$1-4k+4k^2-3k^2 =6$，即$k^2-4k-5=0$
因式分解得：$(k-5)(k+1)=0$
解得：$k=5$或$k=-1$
由（1）知$k≤\frac{1}{4}$，故$k=5$不符合题意，舍去
∴ $k=-1$
【答案】
(1) $k≤ \frac{1}{4}$ (2) $k=0$或$-2$ (3) 存在,$k=-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，方程的根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，依次考查了判别式求参数范围、根的代入求值、韦达定理的应用，解题时要注意求解出的参数必须满足判别式的取值范围，避免出现增根，能较好地考查学生对一元二次方程核心知识点的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）已知一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ≥0时方程有实数根，本题二次项系数为1≠0，直接计算判别式列出关于k的不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
（2）已知方程的一个根为1，根据方程的根的定义，根代入方程等式成立，将x=1代入原方程得到关于k的一元二次方程，求解后结合第一问的k的取值范围验证即可。
（3）对于两根的代数式求值问题，先利用完全平方公式将$x_1^2+x_2^2 -x_1x_2$变形为$(x_1+x_2)^2-3x_1x_2$，再根据一元二次方程根与系数的关系写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于k的表达式，代入等式得到关于k的方程，求解后结合第一问的k的取值范围取舍，即可判断是否存在符合条件的k。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k^2=0$有实数根，二次项系数$a=1≠0$
∴ 判别式$\Delta = b^2-4ac=(2k-1)^2-4×1× k^2 ≥ 0$
展开计算得：$4k^2-4k+1-4k^2 ≥ 0$，即$-4k+1≥0$
解得：$k ≤ \frac{1}{4}$
（2）
∵ 方程的一个根是1，将x=1代入原方程得：
$1^2 + (2k-1)×1 +k^2 =0$
化简得：$k^2+2k=0$
因式分解得：$k(k+2)=0$
解得：$k=0$或$k=-2$
经检验，$k=0$和$k=-2$都满足$k≤\frac{1}{4}$，均符合题意。
（3）存在，理由如下：
根据根与系数的关系，得：
$x_1+x_2 = -(2k-1) = 1-2k$，$x_1x_2 = k^2$
∵ $x_1^2+x_2^2 -x_1x_2=6$
将代数式变形得：$(x_1+x_2)^2 - 3x_1x_2 =6$
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的表达式得：
$(1-2k)^2 -3k^2 =6$
展开化简得：$1-4k+4k^2-3k^2 =6$，即$k^2-4k-5=0$
因式分解得：$(k-5)(k+1)=0$
解得：$k=5$或$k=-1$
由（1）知$k≤\frac{1}{4}$，故$k=5$不符合题意，舍去
∴ $k=-1$
【答案】
(1) $k≤ \frac{1}{4}$ (2) $k=0$或$-2$ (3) 存在,$k=-1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，方程的根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的综合基础题，依次考查了判别式求参数范围、根的代入求值、韦达定理的应用，解题时要注意求解出的参数必须满足判别式的取值范围，避免出现增根，能较好地考查学生对一元二次方程核心知识点的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -7x +m -3=0$的两个实数根是矩形两邻边的长.
(1)当矩形的对角线长为5时,求$m$的值;
(2)当$m$为何值时,该矩形为正方形.
(1)当矩形的对角线长为5时,求$m$的值;
(2)当$m$为何值时,该矩形为正方形.
答案
(1) $m=15$ (2) $m=\frac{61}{4}$
解析
【分析】
解题时先利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的表达式。(1)问结合矩形对角线与邻边的勾股定理关系，将邻边平方和转化为含两根和、两根积的形式，代入计算即可求出m的值，注意要验证方程有两个实数根的前提；(2)问矩形为正方形等价于两邻边相等，即方程有两个相等的实数根，利用根的判别式Δ=0即可求解m的值。
【解析】
设方程$x^2 -7x +m -3=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=m-3$。
(1) 已知矩形对角线长为5，根据矩形性质和勾股定理得：
$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 =25$
由完全平方公式变形得$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入数据：
$7^2 - 2(m-3)=25$
$49 -2m +6=25$
$55-2m=25$
解得$m=15$。
检验：当$m=15$时，方程的判别式$\Delta=(-7)^2 -4×1×(15-3)=49-48=1＞0$，符合方程有两个实数根的条件，故$m=15$成立。
(2) 当矩形为正方形时，矩形两邻边长度相等，即方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-7)^2 -4×1×(m-3)=0$
$49 -4m +12=0$
$61=4m$
解得$m=\frac{61}{4}$。
【答案】
(1) $m=15$；(2) $m=\dfrac{61}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 矩形的性质
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，需要熟练掌握一元二次方程相关性质和矩形、正方形的特征，解题时要注意隐含的方程有实根的前提，避免求出不符合条件的解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的表达式。(1)问结合矩形对角线与邻边的勾股定理关系，将邻边平方和转化为含两根和、两根积的形式，代入计算即可求出m的值，注意要验证方程有两个实数根的前提；(2)问矩形为正方形等价于两邻边相等，即方程有两个相等的实数根，利用根的判别式Δ=0即可求解m的值。
【解析】
设方程$x^2 -7x +m -3=0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=m-3$。
(1) 已知矩形对角线长为5，根据矩形性质和勾股定理得：
$x_1^2 + x_2^2 = 5^2 =25$
由完全平方公式变形得$x_1^2 + x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，代入数据：
$7^2 - 2(m-3)=25$
$49 -2m +6=25$
$55-2m=25$
解得$m=15$。
检验：当$m=15$时，方程的判别式$\Delta=(-7)^2 -4×1×(15-3)=49-48=1＞0$，符合方程有两个实数根的条件，故$m=15$成立。
(2) 当矩形为正方形时，矩形两邻边长度相等，即方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-7)^2 -4×1×(m-3)=0$
$49 -4m +12=0$
$61=4m$
解得$m=\frac{61}{4}$。
【答案】
(1) $m=15$；(2) $m=\dfrac{61}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 矩形的性质
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是代数与几何结合的典型基础题，需要熟练掌握一元二次方程相关性质和矩形、正方形的特征，解题时要注意隐含的方程有实根的前提，避免求出不符合条件的解。
【难度系数】
0.7
