三角形的内切圆与内心
与三角形各边都的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条
的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的。

1. 相切
2. 角平分线
3. 外切三角形

典例 如图，$\odot I$ 是 $△ ABC$ 的内切圆，与 $AB,BC,CA$ 分别相切于点 $D,E,F$，$∠ DEF=50°$. 求 $∠ A$ 的大小.

归纳总结 （1）三角形的内心在三角形的内部.
（2）三角形的内心到三角形三边的距离相等.
（3）过三角形顶点和内心的射线必平分三角形的内角.

解 如图，连接ID，IF.
∵∠DEF=50°，
∴ ∠DIF = 2∠DEF=100°.
∵⊙I是△ABC的内切圆，与AB，CA分别相切于点D，F，
∴ID⊥AB，IF⊥AC，
∴∠ADI=∠AFI=90°，
∴∠A+∠DIF=180°，
∴∠A=180°−100°=80°.

举一反三 如图，AB是$\odot O$的直径，点M是$△ ABC$的内心，连接BM并延长交AC于点F，交$\odot O$于点E，连接OE，AE，OE与AC相交于点D.求证：
(1)$OD=\frac{1}{2}BC$；
(2)$EM=EA$.

(1)
∵点 M 是△ABC 的内心，
∴∠ABE=∠CBE，
∴$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{AE}$,
∴CD=DA.
∵OA=OB，
∴OD 是△ABC 的中位线,
∴$OD=\frac{1}{2}BC$.
(2) 如图，连接AM.
∵M 是△ABC 的内心，
∴ ∠BAM = ∠CAM，∠ABE=∠CBE.
∵∠EMA = ∠ABE + ∠BAM,∠EAM=∠CAE+∠CAM,∠CBE=∠CAE，
∴∠EMA=∠EAM.
∴EM=EA.