分式的混合运算
式与数有相同的混合运算顺序，涉及分
式的混合运算，也要先，再，然后。

乘方 乘除 加减

【分析】
解题时先抓住题干给出的关键信息“式与数有相同的混合运算顺序”，首先回忆有理数的混合运算优先级：运算优先级从高到低依次为乘方、乘除、加减，同级运算按从左到右计算，有括号优先算括号内的内容，分式的混合运算遵循同样的规则，因此按照优先级顺序对应填空即可。
【解析】
解：已知分式的混合运算顺序与数的混合运算顺序完全一致，运算优先级从高到低排列为：首先进行乘方运算，其次进行乘除运算，最后进行加减运算，同级运算按从左到右的顺序计算，若有括号则优先计算括号内的内容。因此三个空依次填入乘方、乘除、加减。
【答案】
乘方 乘除 加减
【知识点】
分式混合运算顺序、运算优先级规则
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对分式混合运算顺序的识记，掌握数与式运算规则的共通性即可快速作答，该知识点是开展复杂分式运算的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9

典例1 计算：$\dfrac{2x^2 + 2}{x^2 - 2x + 1} ÷ ( x - 1 + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} )$
规律方法 （1）对于分式的混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，异分母分式相加减转化为同分母分式相加减。
（2）在运算过程中，既要注意正确运用运算法则，又要灵活运用交换律、结合律、分配律，注意运算技巧。
举一反三 计算：$( x - 4 + \dfrac{9}{x + 2} ) ÷ \dfrac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}$

解 $( x - 4 + \dfrac{9}{x + 2} ) ÷ \dfrac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}$
$=(\dfrac{x^2 - 2x - 8}{x + 2}+\dfrac{9}{x + 2})÷\dfrac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}$
$=\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x + 2}·\dfrac{x^2 - 4}{(x - 1)^2}$
$=\dfrac{(x - 1)^2}{x + 2}·\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^2}$
$=x - 2.$

【分析】
这是一道分式混合运算题，遵循“先算括号内，再算括号外”的运算顺序思考：①先处理括号内的加减运算：将整式$x-4$通分，转化为分母为$x+2$的分式，再与$\dfrac{9}{x+2}$进行同分母分式相加；②再处理括号外的除法：将除法运算转化为乘法运算，同时对式子中能因式分解的多项式（如$x^2-4$、括号内相加得到的分子）进行因式分解；③最后约分化简得到最简结果。
【解析】
先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
$\begin{aligned}&( x - 4 + \dfrac{9}{x + 2} ) ÷ \dfrac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}\\=&(\dfrac{(x-4)(x+2)}{x + 2}+\dfrac{9}{x + 2})÷\dfrac{(x - 1)^2}{x^2 - 4}\\=&\dfrac{x^2 - 2x - 8 + 9}{x + 2}·\dfrac{x^2 - 4}{(x - 1)^2}\\=&\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x + 2}·\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^2}\\=&\dfrac{(x - 1)^2}{x + 2}·\dfrac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 1)^2}\\=&x - 2\end{aligned}$
【答案】
$x-2$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础典型题，计算时需注意运算顺序，通分、因式分解、约分的步骤要规范，将除法转化为乘法后优先因式分解再约分，可大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.6

典例2 为了促进旅游业的发展，某度假村计划修一条1 000 m的观光隧道.现有甲、乙两个工程队，若甲工程队单独做需要x天完成；若乙工程队单独做需要$y(0＜x＜y)$天完成.
(1)求甲工程队与乙工程队的工作效率之差；
(2)若甲、乙两工程队一起完成这项工程，则需要多长时间？

解 (1)由题意,得甲工程队的工作效率为 $\frac{1000}{x}$(m/天),乙工程队的工作效率为 $\frac{1000}{y}$(m/天),所以,甲工程队与乙工程队的工作效率之差为 $\frac{1000}{x} - \frac{1000}{y} = \frac{1000(y - x)}{xy}$(m/天).
(2)甲、乙两工程队合作共需要的天数为 $1000 ÷ ( \frac{1000}{x} + \frac{1000}{y} ) = \frac{xy}{x + y}.$

【分析】
本题是结合工程问题的分式运算应用题，解题核心是掌握工程问题的基本数量关系：①工作效率=工作总量÷工作时间；②合作工作时间=工作总量÷工作效率之和。
针对第(1)问：先根据工作效率公式分别求出甲、乙两队的工作效率，由0＜x＜y可知甲的工作效率更高，因此用甲的效率减去乙的效率，再对分式进行通分化简，即可得到效率之差。
针对第(2)问：先计算甲、乙两队的工作效率之和，再用总工作量除以效率之和，通过分式的混合运算化简，即可得到合作完成所需的时间。
【解析】
(1) 已知工作总量为1000m，甲单独做需x天，乙单独做需y天。
根据工作效率公式，甲的工作效率为 $\frac{1000}{x}$ m/天，乙的工作效率为 $\frac{1000}{y}$ m/天。
则甲乙工作效率之差为：
$\frac{1000}{x} - \frac{1000}{y} = \frac{1000y - 1000x}{xy} = \frac{1000(y - x)}{xy}$（m/天）。
(2) 甲乙两队的工作效率之和为 $\frac{1000}{x} + \frac{1000}{y}$，
则合作完成所需时间为：
$1000 ÷ ( \frac{1000}{x} + \frac{1000}{y} ) = 1000 ÷ \frac{1000(y + x)}{xy} = 1000 × \frac{xy}{1000(x + y)} = \frac{xy}{x + y}$（天）。
【答案】
(1) $\frac{1000(y - x)}{xy}$ m/天；
(2) $\frac{xy}{x + y}$ 天。
【知识点】
工程问题数量关系、分式加减运算、分式混合运算
【点评】
本题是分式应用的基础常考题，既考查对工程问题核心公式的理解运用，也考查分式通分、约分的运算能力，解题时注意最终结果要化为最简分式。
【难度系数】
0.8

举一反三 已知A,B两地相距s km,小刚从A地到B地需要m h,小军从B地到A地,需要n h,若他们同时出发相向而行,需要多长时间才能相遇?

解 根据题意知,小刚的速度为 $\frac{s}{m}$(km/h),小军的速度为 $\frac{s}{n}$(km/h),
所以两人相遇需要的时间为 $\dfrac{s}{\dfrac{s}{m}+\dfrac{s}{n}}=\dfrac{mn}{m+n}$(h).

【分析】
这是一道行程中的相遇问题，解题思路遵循行程问题的基本逻辑：首先根据“速度=路程÷时间”分别求出小刚、小军的行驶速度；再计算两人相向而行的速度和；接着根据“相遇时间=总路程÷速度和”列出对应的分式；最后利用分式的混合运算法则化简分式，即可得到相遇时间。
【解析】
首先计算两人的速度：
小刚从A地到B地的路程为$s$ km，用时$m$ h，因此小刚的速度为 $\frac{s}{m}$ km/h；
小军从B地到A地的路程为$s$ km，用时$n$ h，因此小军的速度为 $\frac{s}{n}$ km/h；
两人相向而行的速度和为 $\frac{s}{m}+\frac{s}{n}$ km/h；
根据相遇时间公式，可得相遇时间为：
$\begin{aligned}\frac{s}{\frac{s}{m}+\frac{s}{n}}&=\frac{s}{\frac{sn+sm}{mn}}\\&=\frac{s· mn}{s(m+n)}\\&=\frac{mn}{m+n} \ (\mathrm{h})\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{mn}{m+n}$ h
【知识点】
行程相遇问题、分式混合运算、分式化简
【点评】
本题是分式运算在实际场景中的典型应用，既考查了行程问题的基本数量关系，也考查了分式通分、约分的运算能力，掌握基础公式和分式运算法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7