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1.若等腰三角形ABC的一个角是$80°$,则它的底角是(
A.$80°$或$50°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$20°$或$50°$
A
).A.$80°$或$50°$
B.$80°$
C.$50°$
D.$20°$或$50°$
答案
1. A
解析
【分析】
首先明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅说明有一个角是80°，未指明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算，最后验证两种情况是否都符合三角形内角和要求即可得出答案。
【解析】
等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
① 若已知的80°角是等腰三角形的顶角：
则底角的度数为 $\frac{180° - 80°}{2} = 50°$；
② 若已知的80°角是等腰三角形的底角：
则另一个底角也为80°，此时顶角为 $180° - 80° × 2 = 20°$，满足三角形内角和要求，成立。
因此该等腰三角形的底角为80°或50°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，易错点是忽略已知角的分类，仅默认已知角为顶角或底角导致漏解，解题时需注意分情况讨论后验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
首先明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅说明有一个角是80°，未指明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算，最后验证两种情况是否都符合三角形内角和要求即可得出答案。
【解析】
等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°，分两种情况讨论：
① 若已知的80°角是等腰三角形的顶角：
则底角的度数为 $\frac{180° - 80°}{2} = 50°$；
② 若已知的80°角是等腰三角形的底角：
则另一个底角也为80°，此时顶角为 $180° - 80° × 2 = 20°$，满足三角形内角和要求，成立。
因此该等腰三角形的底角为80°或50°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的常见题型，易错点是忽略已知角的分类，仅默认已知角为顶角或底角导致漏解，解题时需注意分情况讨论后验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$AC$上一点，且$BC=BD$，若$∠ CBD=46°$，则$∠ A$的度数为
$46°$
。答案
2. $46°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先识别图中的两个等腰三角形△BCD和△ABC，已知∠CBD是等腰△BCD的顶角，我们可以先利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，求出∠C的度数；再根据△ABC是等腰三角形，可得∠ABC=∠C，最后用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：在△BCD中，
∵BC=BD，
∴△BCD是等腰三角形，∠C=∠BDC，
又
∵∠CBD=46°，三角形内角和为180°，
∴∠C=(180°-∠CBD)÷2=(180°-46°)÷2=67°。
在△ABC中，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=67°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-67°-67°=46°。
【答案】
46°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形性质的灵活应用，解题的突破口是先求出公共角∠C的度数，再结合三角形内角和计算顶角度数，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先识别图中的两个等腰三角形△BCD和△ABC，已知∠CBD是等腰△BCD的顶角，我们可以先利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，求出∠C的度数；再根据△ABC是等腰三角形，可得∠ABC=∠C，最后用三角形内角和定理即可求出∠A的度数。
【解析】
解：在△BCD中，
∵BC=BD，
∴△BCD是等腰三角形，∠C=∠BDC，
又
∵∠CBD=46°，三角形内角和为180°，
∴∠C=(180°-∠CBD)÷2=(180°-46°)÷2=67°。
在△ABC中，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C=67°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=180°-67°-67°=46°。
【答案】
46°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查等腰三角形性质的灵活应用，解题的突破口是先求出公共角∠C的度数，再结合三角形内角和计算顶角度数，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,∠BAD=25°,AE=AD,求∠EDC的度数.
答案
3. 解
∵ 在△ABC 中,AB=AC,AD为 BC 边上的中线，
∴AD 平分∠BAC,且 AD⊥BC，
∴∠DAC=∠BAD=25°,∠ADC=90°,
∵AE=AD，
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAC}{2}$=$\frac{180°-25°}{2}$=77.5°,
∴ ∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90°-77.5°=12.5°.
∵ 在△ABC 中,AB=AC,AD为 BC 边上的中线，
∴AD 平分∠BAC,且 AD⊥BC，
∴∠DAC=∠BAD=25°,∠ADC=90°,
∵AE=AD，
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAC}{2}$=$\frac{180°-25°}{2}$=77.5°,
∴ ∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90°-77.5°=12.5°.
解析
【分析】
解题时首先梳理题干条件：△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，AD是BC边上的中线，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是∠BAC的角平分线和BC边上的高，即可求出∠DAC的度数与∠ADC的度数；再根据AE=AD可知△ADE是等腰三角形，结合三角形内角和为180°就能算出底角∠ADE的度数；最后观察角的位置关系，∠EDC是∠ADC与∠ADE的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 在△ABC 中，AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴AD 平分∠BAC，且AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠DAC=∠BAD=25°，∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴△ADE为等腰三角形，∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAC}{2}$=$\frac{180°-25°}{2}$=77.5°，
∴ ∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90°-77.5°=12.5°。
【答案】
12.5°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，重点考查等腰三角形相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的特点，结合等腰三角形内角的计算方法推导未知角，掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理题干条件：△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，AD是BC边上的中线，首先联想到等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD同时是∠BAC的角平分线和BC边上的高，即可求出∠DAC的度数与∠ADC的度数；再根据AE=AD可知△ADE是等腰三角形，结合三角形内角和为180°就能算出底角∠ADE的度数；最后观察角的位置关系，∠EDC是∠ADC与∠ADE的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ 在△ABC 中，AB=AC，AD为BC边上的中线，
∴AD 平分∠BAC，且AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠DAC=∠BAD=25°，∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴△ADE为等腰三角形，∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=$\frac{180°-∠DAC}{2}$=$\frac{180°-25°}{2}$=77.5°，
∴ ∠EDC = ∠ADC - ∠ADE = 90°-77.5°=12.5°。
【答案】
12.5°
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，重点考查等腰三角形相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的特点，结合等腰三角形内角的计算方法推导未知角，掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在△ABC中,∠C=25°,AD⊥BC,垂足为D,且AB+BD=CD,求∠BAC的度数.
答案
4. 解 延长 DB 至点 E,使 BE=AB,连接 AE，
∵AB+BD=CD，
∴BE+BD=CD，
即 DE=CD,
∴∠C=∠E=25°.
∵BE=AB,
∴∠ABC=2∠E=50°,
∴∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°.
解析
【分析】
遇到含线段和（如本题AB+BD=CD）的几何问题，通常采用“截长补短”的辅助线思路转化条件。本题已知AD⊥BC，若构造出CD=DE，可得AD是CE的垂直平分线，能推出∠C=∠E。因此选择“补短”的方法：延长DB到E，使BE=AB，即可将AB+BD=CD转化为DE=CD，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角性质、三角形内角和定理逐步推导角度即可。
【解析】
延长DB至点E，使BE=AB，连接AE，
∵AB+BD=CD，
∴BE+BD=CD，即DE=CD，
又
∵AD⊥BC，
∴AD是线段CE的垂直平分线，可得AC=AE，
∴∠C=∠E=25°。
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠E=25°，
由三角形外角性质得∠ABC=∠BAE+∠E=2∠E=50°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°。
【答案】
∠BAC的度数为105°
【知识点】
截长补短法，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是线段和差与角度计算结合的典型题型，解题核心是通过截长补短法构造辅助线，将线段和的条件转化为相等线段，再结合等腰三角形、三角形外角及内角和的性质计算角度，熟练掌握常见的辅助线构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
遇到含线段和（如本题AB+BD=CD）的几何问题，通常采用“截长补短”的辅助线思路转化条件。本题已知AD⊥BC，若构造出CD=DE，可得AD是CE的垂直平分线，能推出∠C=∠E。因此选择“补短”的方法：延长DB到E，使BE=AB，即可将AB+BD=CD转化为DE=CD，再结合等腰三角形等边对等角、三角形外角性质、三角形内角和定理逐步推导角度即可。
【解析】
延长DB至点E，使BE=AB，连接AE，
∵AB+BD=CD，
∴BE+BD=CD，即DE=CD，
又
∵AD⊥BC，
∴AD是线段CE的垂直平分线，可得AC=AE，
∴∠C=∠E=25°。
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠E=25°，
由三角形外角性质得∠ABC=∠BAE+∠E=2∠E=50°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-25°-50°=105°。
【答案】
∠BAC的度数为105°
【知识点】
截长补短法，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是线段和差与角度计算结合的典型题型，解题核心是通过截长补短法构造辅助线，将线段和的条件转化为相等线段，再结合等腰三角形、三角形外角及内角和的性质计算角度，熟练掌握常见的辅助线构造方法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
