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4. 定义一种运算符号“★”：$a★b = a^2 - ab$，如：$(-2)★3 = (-2)^2 - (-2)×3 = 10$，那么$[(-3)★(-2)]★\frac{1}{3}$的结果是
8
。答案
4. 8 解析 $[(-3)★(-2)]★\dfrac{1}{3}$
$=[(-3)^2-(-3)×(-2)]★\dfrac{1}{3}$
$=3★\dfrac{1}{3}=3^2-3×\dfrac{1}{3}=8.$
$=[(-3)^2-(-3)×(-2)]★\dfrac{1}{3}$
$=3★\dfrac{1}{3}=3^2-3×\dfrac{1}{3}=8.$
解析
【分析】
本题是新定义运算题型，解题首先要准确理解运算符号“★”的规则：$a★b = a^2 - ab$，即运算结果等于第一个数的平方减去两个数的乘积。计算时遵循有理数混合运算“先算括号内，再算括号外”的顺序，先算出中括号内$(-3)★(-2)$的结果，再将该结果作为新的第一个数，和$\frac{1}{3}$按照规则进行运算，代入时注意符号处理即可。
【解析】
第一步：先计算中括号内的$(-3)★(-2)$，代入新运算规则，其中$a=-3$，$b=-2$：
$\begin{aligned}(-3)★(-2)&=(-3)^2 - (-3)×(-2)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
第二步：计算$3★\frac{1}{3}$，代入新运算规则，其中$a=3$，$b=\frac{1}{3}$：
$\begin{aligned}3★\frac{1}{3}&=3^2 - 3×\frac{1}{3}\\&=9 - 1\\&=8\end{aligned}$
【答案】
$8$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义运算的基础题型，重点考查对新运算规则的理解和有理数运算的计算能力，解题关键是准确把握新运算的计算逻辑，严格按照运算顺序分步计算，注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算题型，解题首先要准确理解运算符号“★”的规则：$a★b = a^2 - ab$，即运算结果等于第一个数的平方减去两个数的乘积。计算时遵循有理数混合运算“先算括号内，再算括号外”的顺序，先算出中括号内$(-3)★(-2)$的结果，再将该结果作为新的第一个数，和$\frac{1}{3}$按照规则进行运算，代入时注意符号处理即可。
【解析】
第一步：先计算中括号内的$(-3)★(-2)$，代入新运算规则，其中$a=-3$，$b=-2$：
$\begin{aligned}(-3)★(-2)&=(-3)^2 - (-3)×(-2)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
第二步：计算$3★\frac{1}{3}$，代入新运算规则，其中$a=3$，$b=\frac{1}{3}$：
$\begin{aligned}3★\frac{1}{3}&=3^2 - 3×\frac{1}{3}\\&=9 - 1\\&=8\end{aligned}$
【答案】
$8$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义运算的基础题型，重点考查对新运算规则的理解和有理数运算的计算能力，解题关键是准确把握新运算的计算逻辑，严格按照运算顺序分步计算，注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
5. 观察下列等式的规律，解答相关问题.
第1行：$4^2 - 2^2 -12=0$
第2行：$6^2 -4^2 -12=8$
第3行：$8^2 -6^2 -12=16$
第4行：$10^2 -8^2 -12=24$
按照上述规律，则第8行等式为
第1行：$4^2 - 2^2 -12=0$
第2行：$6^2 -4^2 -12=8$
第3行：$8^2 -6^2 -12=16$
第4行：$10^2 -8^2 -12=24$
按照上述规律，则第8行等式为
$18^2 -16^2 -12=56$
.答案
5. $18^2 -16^2 -12=56$
解析
【分析】
解决此类规律探究题，可先将等式拆分为多个部分分别对应行数找规律：本题中等式的常数项固定为-12，只需分别找第一个平方项的底数、第二个平方项的底数、等号右侧结果与行数n的关系即可。观察前4行数据可得：第一个底数逐行加2，第n行对应为2(n+1)；第二个底数逐行加2，第n行对应为2n；右侧结果逐行加8，第n行对应为8(n-1)。最后将n=8代入各规律表达式，就能得到第8行的等式。
【解析】
设行数为n，观察前4行等式的规律：
1. 第一个平方项的底数：第1行$4=2×(1+1)$，第2行$6=2×(2+1)$，第3行$8=2×(3+1)$，第4行$10=2×(4+1)$，因此第n行第一个底数为$2(n+1)$。当$n=8$时，第一个底数为$2×(8+1)=18$；
2. 第二个平方项的底数：第1行$2=2×1$，第2行$4=2×2$，第3行$6=2×3$，第4行$8=2×4$，因此第n行第二个底数为$2n$。当$n=8$时，第二个底数为$2×8=16$；
3. 等号右侧的结果：第1行$0=8×(1-1)$，第2行$8=8×(2-1)$，第3行$16=8×(3-1)$，第4行$24=8×(4-1)$，因此第n行右侧结果为$8(n-1)$。当$n=8$时，右侧结果为$8×(8-1)=56$；
常数项始终为-12，因此第8行等式为$18^2 -16^2 -12=56$。
【答案】
$18^2 -16^2 -12=56$
【知识点】
数字规律探究；乘方的定义；有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查观察归纳能力，解题时注意将复杂等式拆分多个部分分别找规律，再代入对应行数求解即可，避免整体观察找不到规律的问题。
【难度系数】
0.8
解决此类规律探究题，可先将等式拆分为多个部分分别对应行数找规律：本题中等式的常数项固定为-12，只需分别找第一个平方项的底数、第二个平方项的底数、等号右侧结果与行数n的关系即可。观察前4行数据可得：第一个底数逐行加2，第n行对应为2(n+1)；第二个底数逐行加2，第n行对应为2n；右侧结果逐行加8，第n行对应为8(n-1)。最后将n=8代入各规律表达式，就能得到第8行的等式。
【解析】
设行数为n，观察前4行等式的规律：
1. 第一个平方项的底数：第1行$4=2×(1+1)$，第2行$6=2×(2+1)$，第3行$8=2×(3+1)$，第4行$10=2×(4+1)$，因此第n行第一个底数为$2(n+1)$。当$n=8$时，第一个底数为$2×(8+1)=18$；
2. 第二个平方项的底数：第1行$2=2×1$，第2行$4=2×2$，第3行$6=2×3$，第4行$8=2×4$，因此第n行第二个底数为$2n$。当$n=8$时，第二个底数为$2×8=16$；
3. 等号右侧的结果：第1行$0=8×(1-1)$，第2行$8=8×(2-1)$，第3行$16=8×(3-1)$，第4行$24=8×(4-1)$，因此第n行右侧结果为$8(n-1)$。当$n=8$时，右侧结果为$8×(8-1)=56$；
常数项始终为-12，因此第8行等式为$18^2 -16^2 -12=56$。
【答案】
$18^2 -16^2 -12=56$
【知识点】
数字规律探究；乘方的定义；有理数混合运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查观察归纳能力，解题时注意将复杂等式拆分多个部分分别找规律，再代入对应行数求解即可，避免整体观察找不到规律的问题。
【难度系数】
0.8
6.将一些数排列成下表中的4列：
排列 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 4 5 10
第2行 4
10 12
第3行 9 12 15 14
… … … … …
(1)第4行第1列的数是多少？直接写出答案；
(2)第17行的4个数之和是多少？请写出适当的过程.
排列 第1列 第2列 第3列 第4列
第1行 1 4 5 10
第2行 4
10 12第3行 9 12 15 14
… … … … …
(1)第4行第1列的数是多少？直接写出答案；
(2)第17行的4个数之和是多少？请写出适当的过程.
答案
6. 解 (1)16.
(2)因为第17行第1列的数为$17^2$,第17行第2列的数为$4×17$,第17行第3列的数为$5×17$,第17行第4列的数为$10+2×(17-1)$,
所以第17行的4个数之和是$17^2 +4×17+5×17+10+2×(17-1)=484.$
(2)因为第17行第1列的数为$17^2$,第17行第2列的数为$4×17$,第17行第3列的数为$5×17$,第17行第4列的数为$10+2×(17-1)$,
所以第17行的4个数之和是$17^2 +4×17+5×17+10+2×(17-1)=484.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要观察表格中每一列数字和行数的对应规律：
1. 观察第1列：第1行是$1=1^2$，第2行是$4=2^2$，第3行是$9=3^2$，可总结规律：第$n$行第1列的数为$n^2$，据此可直接求解第(1)问；
2. 依次推导其余列的规律：
第2列：第1行$4=4×1$，第2行$8=4×2$，第3行$12=4×3$，规律为第$n$行第2列的数是$4n$；
第3列：第1行$5=5×1$，第2行$10=5×2$，第3行$15=5×3$，规律为第$n$行第3列的数是$5n$；
第4列：第1行$10$，第2行$12=10+2×1$，第3行$14=10+2×2$，规律为第$n$行第4列的数是$10+2(n-1)$。
找到规律后将$n=17$代入四个表达式，求和即可得到第(2)问的结果。
【解析】
(1) 根据第1列的规律，第4行第1列的数为$4^2=16$。
(2) 当$n=17$时：
第17行第1列的数：$17^2=289$；
第17行第2列的数：$4×17=68$；
第17行第3列的数：$5×17=85$；
第17行第4列的数：$10+2×(17-1)=42$；
四个数的和为：$289+68+85+42=484$。
【答案】
(1) $\boxed{16}$；
(2) $\boxed{484}$
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算，乘方运算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力和基础运算能力，需要分别梳理每列数字和行数的对应关系，找到规律后计算难度较低，注意代入数值时不要出错。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要观察表格中每一列数字和行数的对应规律：
1. 观察第1列：第1行是$1=1^2$，第2行是$4=2^2$，第3行是$9=3^2$，可总结规律：第$n$行第1列的数为$n^2$，据此可直接求解第(1)问；
2. 依次推导其余列的规律：
第2列：第1行$4=4×1$，第2行$8=4×2$，第3行$12=4×3$，规律为第$n$行第2列的数是$4n$；
第3列：第1行$5=5×1$，第2行$10=5×2$，第3行$15=5×3$，规律为第$n$行第3列的数是$5n$；
第4列：第1行$10$，第2行$12=10+2×1$，第3行$14=10+2×2$，规律为第$n$行第4列的数是$10+2(n-1)$。
找到规律后将$n=17$代入四个表达式，求和即可得到第(2)问的结果。
【解析】
(1) 根据第1列的规律，第4行第1列的数为$4^2=16$。
(2) 当$n=17$时：
第17行第1列的数：$17^2=289$；
第17行第2列的数：$4×17=68$；
第17行第3列的数：$5×17=85$；
第17行第4列的数：$10+2×(17-1)=42$；
四个数的和为：$289+68+85+42=484$。
【答案】
(1) $\boxed{16}$；
(2) $\boxed{484}$
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算，乘方运算
【点评】
本题重点考查观察归纳能力和基础运算能力，需要分别梳理每列数字和行数的对应关系，找到规律后计算难度较低，注意代入数值时不要出错。
【难度系数】
0.7
把一个大于10的数表示成$a×10^n$的形式(其中a大于或等于
1
，且a小于10
，n是正整数
)，使用的是科学记数法。答案
1. 1 2. 10 3. 正整数
解析
【分析】
这道题考查科学记数法的基础定义，解题时只需回忆科学记数法的规范要求即可：首先科学记数法要求前半部分的因数a的整数部分只能有1位，因此a必须满足大于等于1且小于10的要求；其次当被表示的数是大于10的正数时，n等于原数的整数位数减1，因此n是正整数，对应三个空缺依次填入对应内容即可。
【解析】
根据科学记数法的定义：将大于10的数表示为$a×10^n$的形式时，有明确的规范要求：
1. 为了保证记数的统一性、简洁性，规定$a$的取值范围为$1≤ a＜10$，此时a的整数位仅有1位；
2. 当原数大于10时，$n$的取值等于原数的整数位数减1，因此$n$是正整数。
因此三个空依次填入1、10、正整数。
【答案】
1；10；正整数
【知识点】
科学记数法的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对科学记数法基本规则的掌握，是运用科学记数法表示大数的必备基础，学习时要牢记核心定义，避免概念混淆即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查科学记数法的基础定义，解题时只需回忆科学记数法的规范要求即可：首先科学记数法要求前半部分的因数a的整数部分只能有1位，因此a必须满足大于等于1且小于10的要求；其次当被表示的数是大于10的正数时，n等于原数的整数位数减1，因此n是正整数，对应三个空缺依次填入对应内容即可。
【解析】
根据科学记数法的定义：将大于10的数表示为$a×10^n$的形式时，有明确的规范要求：
1. 为了保证记数的统一性、简洁性，规定$a$的取值范围为$1≤ a＜10$，此时a的整数位仅有1位；
2. 当原数大于10时，$n$的取值等于原数的整数位数减1，因此$n$是正整数。
因此三个空依次填入1、10、正整数。
【答案】
1；10；正整数
【知识点】
科学记数法的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对科学记数法基本规则的掌握，是运用科学记数法表示大数的必备基础，学习时要牢记核心定义，避免概念混淆即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
典例 目前，中国国家版本馆中央总馆入藏版本量共16 000 000余册.数据16 000 000用科学记数法表示为.
规律总结 用科学记数法表示数应注意的问题有哪些？
（1）用科学记数法表示绝对值较大的负数时，不要漏掉“－”号.
（2）带数量单位的数要先转化为原数，再用科学记数法来表示.
（3）用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后一致.
举一反三1 随着各光伏、风电场站的陆续建成并网，以及新疆第三条特高压疆电外送通道——哈密—重庆±800千伏特高压直流输电工程的建成投运，新疆新能源装机规模和占比持续提升，更多绿色电力被输送到全国各地.截至2024年11月底，新疆
典例解析
规律总结 用科学记数法表示数应注意的问题有哪些？
（1）用科学记数法表示绝对值较大的负数时，不要漏掉“－”号.
（2）带数量单位的数要先转化为原数，再用科学记数法来表示.
（3）用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后一致.
举一反三1 随着各光伏、风电场站的陆续建成并网，以及新疆第三条特高压疆电外送通道——哈密—重庆±800千伏特高压直流输电工程的建成投运，新疆新能源装机规模和占比持续提升，更多绿色电力被输送到全国各地.截至2024年11月底，新疆
典例解析
答案
解：
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数。
将16 000 000的小数点向左移动7位得到$a=1.6$，此时$n=7$。
所以16 000 000用科学记数法表示为$\boldsymbol{1.6×10^7}$。
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数。
将16 000 000的小数点向左移动7位得到$a=1.6$，此时$n=7$。
所以16 000 000用科学记数法表示为$\boldsymbol{1.6×10^7}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数。解题分两步走：第一步确定$a$的取值，把原数的小数点向左移动，直到得到的数大于等于1且小于10，这个数就是$a$；第二步确定$n$的取值，$n$等于小数点向左移动的位数，也等于原数的整数位数减1，代入形式即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数。
将16000000的小数点向左移动7位得到$a=1.6$，小数点一共移动了7位，因此$n=7$。
所以16000000用科学记数法表示为$1.6×10^7$。
【答案】
$1.6×10^7$
【知识点】
科学记数法表示大数
【点评】
本题是科学记数法的基础应用类题目，核心考查科学记数法的表示规则，解题的关键是正确确定$a$和$n$的取值，熟练掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆科学记数法的表示规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数。解题分两步走：第一步确定$a$的取值，把原数的小数点向左移动，直到得到的数大于等于1且小于10，这个数就是$a$；第二步确定$n$的取值，$n$等于小数点向左移动的位数，也等于原数的整数位数减1，代入形式即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数。
将16000000的小数点向左移动7位得到$a=1.6$，小数点一共移动了7位，因此$n=7$。
所以16000000用科学记数法表示为$1.6×10^7$。
【答案】
$1.6×10^7$
【知识点】
科学记数法表示大数
【点评】
本题是科学记数法的基础应用类题目，核心考查科学记数法的表示规则，解题的关键是正确确定$a$和$n$的取值，熟练掌握规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9
