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典例 计算：$-16 ÷ (-2)^3 - 2^2 × \left| -\dfrac{1}{2} \right| + (-1)^{202}$。
规律方法 进行有理数的混合运算需注意哪些问题？
(1)先观察有几种运算，再按照运算顺序进行计算。
(2)在运算过程中，一般先将带分数化为假分数、小数化为分数再进行计算会较为简便。
典例解析
典例
规律方法 进行有理数的混合运算需注意哪些问题？
(1)先观察有几种运算，再按照运算顺序进行计算。
(2)在运算过程中，一般先将带分数化为假分数、小数化为分数再进行计算会较为简便。
典例解析
典例
答案
解：
先计算乘方、绝对值运算：
$(-2)^3=-8$，$2^2=4$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，$(-1)^{202}=1$
$\begin{aligned}原式&=-16÷(-8) - 4×\dfrac{1}{2} + 1\\&=2 - 2 + 1\\&=1\end{aligned}$
先计算乘方、绝对值运算：
$(-2)^3=-8$，$2^2=4$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，$(-1)^{202}=1$
$\begin{aligned}原式&=-16÷(-8) - 4×\dfrac{1}{2} + 1\\&=2 - 2 + 1\\&=1\end{aligned}$
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，可按运算优先级逐步思考：首先明确有理数混合运算的顺序：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减；计算乘方和绝对值时要注意符号规则：负数的奇次幂为负、偶次幂为正，负数的绝对值是它的相反数，-1的偶次幂等于1；将乘方、绝对值项化简后，先计算乘除运算，再依次计算加减运算，每一步注意核对符号，避免出错。
【解析】
先计算乘方、绝对值运算：
$(-2)^3=-8$，$2^2=4$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，$(-1)^{202}=1$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-16÷(-8) - 4×\dfrac{1}{2} + 1\\&=2 - 2 + 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；绝对值化简
【点评】
本题是有理数混合运算的常规题型，核心考查运算顺序的掌握和符号处理能力，解题时严格按照运算优先级逐步计算、不跳步，重点注意负数乘方的符号判断，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的混合运算，可按运算优先级逐步思考：首先明确有理数混合运算的顺序：先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减；计算乘方和绝对值时要注意符号规则：负数的奇次幂为负、偶次幂为正，负数的绝对值是它的相反数，-1的偶次幂等于1；将乘方、绝对值项化简后，先计算乘除运算，再依次计算加减运算，每一步注意核对符号，避免出错。
【解析】
先计算乘方、绝对值运算：
$(-2)^3=-8$，$2^2=4$，$\left|-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$，$(-1)^{202}=1$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-16÷(-8) - 4×\dfrac{1}{2} + 1\\&=2 - 2 + 1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
有理数混合运算；乘方运算；绝对值化简
【点评】
本题是有理数混合运算的常规题型，核心考查运算顺序的掌握和符号处理能力，解题时严格按照运算优先级逐步计算、不跳步，重点注意负数乘方的符号判断，即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解 $-16÷(-2)^3 -2^2×\left|-\dfrac{1}{2}\right| + (-1)^{202}$
(3)在进行混合运算时,若能利用运算律,就用运算律,同时要分清运算符号及幂的符号.
举一反三 计算: $-1^4 +4×(-2)-(-4)÷\left|-\dfrac{1}{3}\right|$.
$=-16÷(-8)-4×\dfrac{1}{2}+1=2-2+1$
$=1.$
(3)在进行混合运算时,若能利用运算律,就用运算律,同时要分清运算符号及幂的符号.
举一反三 计算: $-1^4 +4×(-2)-(-4)÷\left|-\dfrac{1}{3}\right|$.
$=-16÷(-8)-4×\dfrac{1}{2}+1=2-2+1$
$=1.$
答案
解 $-1^4 + 4 × (-2) - (-4) ÷ \left|-\dfrac{1}{3}\right| =-1-8+4×3=-1-8+12=3.$
解析
【分析】
解决本题首先要牢记有理数混合运算的顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减。第一步先识别易错点：$-1^4$是$1$的$4$次方的相反数，不是$(-1)$的$4$次方，避免符号判断错误；第二步计算绝对值$\left|-\dfrac{1}{3}\right|$；第三步分别计算乘法和除法运算，注意除法要转化为乘法计算，同时处理好正负号；最后按照从左到右的顺序计算加减即可得到结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序计算：
$\begin{aligned}&-1^4 + 4 × (-2) - (-4) ÷ \left|-\dfrac{1}{3}\right|\\=&-1 - 8 + 4×3\\=&-1 -8 +12\\=&3\end{aligned}$
【答案】
$3$
【知识点】
有理数混合运算、绝对值化简、乘方运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算法则，易错点为乘方的符号判断、负号的处理以及除法转乘法的规则，熟练掌握运算顺序和符号法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要牢记有理数混合运算的顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减。第一步先识别易错点：$-1^4$是$1$的$4$次方的相反数，不是$(-1)$的$4$次方，避免符号判断错误；第二步计算绝对值$\left|-\dfrac{1}{3}\right|$；第三步分别计算乘法和除法运算，注意除法要转化为乘法计算，同时处理好正负号；最后按照从左到右的顺序计算加减即可得到结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序计算：
$\begin{aligned}&-1^4 + 4 × (-2) - (-4) ÷ \left|-\dfrac{1}{3}\right|\\=&-1 - 8 + 4×3\\=&-1 -8 +12\\=&3\end{aligned}$
【答案】
$3$
【知识点】
有理数混合运算、绝对值化简、乘方运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算法则，易错点为乘方的符号判断、负号的处理以及除法转乘法的规则，熟练掌握运算顺序和符号法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 计算$-3^2 + 2$的结果是(
A.7
B.11
C.-7
D.-4
C
).A.7
B.11
C.-7
D.-4
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算加减。其次要注意区分$-3^2$和$(-3)^2$的不同：$-3^2$表示3的平方的相反数，底数是3；$(-3)^2$表示两个-3相乘，底数是-3，避免因混淆二者算错乘方结果，再按顺序计算加法即可得到答案。
【解析】
根据有理数混合运算顺序计算：
第一步：先计算乘方：$-3^2 = -(3×3) = -9$
第二步：再计算加法：$-9 + 2 = -7$
因此结果为-7，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的运算、有理数加法、混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是误将$-3^2$当成$(-3)^2$计算得到9，最终错算为11，牢记乘方的底数定义和混合运算顺序即可快速准确作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算加减。其次要注意区分$-3^2$和$(-3)^2$的不同：$-3^2$表示3的平方的相反数，底数是3；$(-3)^2$表示两个-3相乘，底数是-3，避免因混淆二者算错乘方结果，再按顺序计算加法即可得到答案。
【解析】
根据有理数混合运算顺序计算：
第一步：先计算乘方：$-3^2 = -(3×3) = -9$
第二步：再计算加法：$-9 + 2 = -7$
因此结果为-7，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的运算、有理数加法、混合运算顺序
【点评】
本题属于基础运算类题目，易错点是误将$-3^2$当成$(-3)^2$计算得到9，最终错算为11，牢记乘方的底数定义和混合运算顺序即可快速准确作答。
【难度系数】
0.7
2. 找规律:1,4,9,16,(
25
),(36
),49,64,81.答案
2. 25 36
解析
【分析】
拿到这类找规律的题目，首先可以尝试将数列中的数和它的排列序号对应起来观察：第1个数是1，第2个数是4，第3个数是9，第4个数是16，联想到乘方的运算，逐一验证发现每个数都等于对应序号的平方，因此规律为第n个数等于n²，按照规律即可算出空缺的数值，最后还要和后面给出的数验证规律是否正确。
【解析】
我们将数列的项数与对应数值对照分析：
第1项：$1=1^2$
第2项：$4=2^2$
第3项：$9=3^2$
第4项：$16=4^2$
由此可总结规律：该数列的第n项等于n的平方（$n^2$）。
那么第5项为$5^2=25$，第6项为$6^2=36$。
验证后续数值：第7项$7^2=49$，第8项$8^2=64$，第9项$9^2=81$，均符合已知数列，规律成立。
【答案】
25 36
【知识点】
乘方运算；数列规律探究
【点评】
本题是基础的数字规律探究题，解题核心是建立数列项数和对应数值的关联，熟练掌握常用的平方数可以快速锁定规律，降低解题难度。
【难度系数】
0.9
拿到这类找规律的题目，首先可以尝试将数列中的数和它的排列序号对应起来观察：第1个数是1，第2个数是4，第3个数是9，第4个数是16，联想到乘方的运算，逐一验证发现每个数都等于对应序号的平方，因此规律为第n个数等于n²，按照规律即可算出空缺的数值，最后还要和后面给出的数验证规律是否正确。
【解析】
我们将数列的项数与对应数值对照分析：
第1项：$1=1^2$
第2项：$4=2^2$
第3项：$9=3^2$
第4项：$16=4^2$
由此可总结规律：该数列的第n项等于n的平方（$n^2$）。
那么第5项为$5^2=25$，第6项为$6^2=36$。
验证后续数值：第7项$7^2=49$，第8项$8^2=64$，第9项$9^2=81$，均符合已知数列，规律成立。
【答案】
25 36
【知识点】
乘方运算；数列规律探究
【点评】
本题是基础的数字规律探究题，解题核心是建立数列项数和对应数值的关联，熟练掌握常用的平方数可以快速锁定规律，降低解题难度。
【难度系数】
0.9
3. 计算:
(1)$(-2)^2 × (-\dfrac{9}{16}) ÷ (-\dfrac{3}{2})^2$；
(2)$(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)$；
(3)$-2^4÷(-4)^3 - (-\dfrac{1}{2})^3 × |-4|$；
(4)$-6÷(-\dfrac{1}{3})^2 -5^2 +2×(-4)^2$。
(1)$(-2)^2 × (-\dfrac{9}{16}) ÷ (-\dfrac{3}{2})^2$；
(2)$(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)$；
(3)$-2^4÷(-4)^3 - (-\dfrac{1}{2})^3 × |-4|$；
(4)$-6÷(-\dfrac{1}{3})^2 -5^2 +2×(-4)^2$。
答案
3. 解 (1)$(-2)^2 × (-\dfrac{9}{16}) ÷ (-\dfrac{3}{2})^2$
$=4×(-\dfrac{9}{16}) ÷ \dfrac{9}{4}=4×(-\dfrac{9}{16}) × \dfrac{4}{9}=-1.$
(2)$(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)=4+4÷2=4+2=6.$
(3)$-2^4÷(-4)^3 - (-\dfrac{1}{2})^3 × |-4|$
$=-16÷(-64)-(-\dfrac{1}{8}) ×4$
$=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.$
(4)$-6÷(-\dfrac{1}{3})^2 -5^2 +2×(-4)^2$
$=-6÷\dfrac{1}{9}-25+2×16$
$=-54-25+32$
$=-47.$
$=4×(-\dfrac{9}{16}) ÷ \dfrac{9}{4}=4×(-\dfrac{9}{16}) × \dfrac{4}{9}=-1.$
(2)$(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)=4+4÷2=4+2=6.$
(3)$-2^4÷(-4)^3 - (-\dfrac{1}{2})^3 × |-4|$
$=-16÷(-64)-(-\dfrac{1}{8}) ×4$
$=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}.$
(4)$-6÷(-\dfrac{1}{3})^2 -5^2 +2×(-4)^2$
$=-6÷\dfrac{1}{9}-25+2×16$
$=-54-25+32$
$=-47.$
解析
【分析】
解决有理数混合运算类题目，首先要牢记运算优先级：①先计算乘方、绝对值以及括号内的运算；②再计算乘除（同级运算从左到右依次计算，除法可转化为乘法简化计算）；③最后计算加减。
针对每一小问的思考路径：
(1) 先分别计算两个乘方项$(-2)^2$、$(-\dfrac{3}{2})^2$，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果；
(2) 先计算括号内的$7-5$，再计算乘方项$2^2$，接着计算乘除运算，最后计算加法即可；
(3) 先计算所有乘方项$-2^4$、$(-4)^3$、$(-\dfrac{1}{2})^3$以及绝对值$|-4|$，再计算乘除运算，最后计算加减，注意减去负数等价于加对应的正数；
(4) 先计算所有乘方项$(-\dfrac{1}{3})^2$、$5^2$、$(-4)^2$，再计算乘除运算，最后从左到右计算加减即可。
【解析】
(1) 先算乘方：
$(-2)^2 × (-\dfrac{9}{16}) ÷ (-\dfrac{3}{2})^2$
$=4×(-\dfrac{9}{16}) ÷ \dfrac{9}{4}$
再将除法转化为乘法约分：
$=4×(-\dfrac{9}{16}) × \dfrac{4}{9}=-1$
(2) 先算括号内和乘方：
$(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)$
$=4+4÷2$
再算除法，最后算加法：
$=4+2=6$
(3) 先算乘方和绝对值：
$-2^4÷(-4)^3 - (-\dfrac{1}{2})^3 × |-4|$
$=-16÷(-64)-(-\dfrac{1}{8}) ×4$
再算乘除：
$=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}$
最后算加法：
$=\dfrac{3}{4}$
(4) 先算乘方：
$-6÷(-\dfrac{1}{3})^2 -5^2 +2×(-4)^2$
$=-6÷\dfrac{1}{9}-25+2×16$
再算乘除：
$=-54-25+32$
最后从左到右算加减：
$=-47$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-1}$；(2)$\boldsymbol{6}$；(3)$\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$；(4)$\boldsymbol{-47}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方的运算、绝对值的性质
【点评】
本题属于有理数混合运算的基础题型，重点考察运算顺序的掌握程度，易错点是带负号的乘方符号判断错误、运算顺序颠倒，计算时注意每一步的符号处理即可避免失分。
【难度系数】
0.8
解决有理数混合运算类题目，首先要牢记运算优先级：①先计算乘方、绝对值以及括号内的运算；②再计算乘除（同级运算从左到右依次计算，除法可转化为乘法简化计算）；③最后计算加减。
针对每一小问的思考路径：
(1) 先分别计算两个乘方项$(-2)^2$、$(-\dfrac{3}{2})^2$，再将除法转化为乘法，约分后即可得到结果；
(2) 先计算括号内的$7-5$，再计算乘方项$2^2$，接着计算乘除运算，最后计算加法即可；
(3) 先计算所有乘方项$-2^4$、$(-4)^3$、$(-\dfrac{1}{2})^3$以及绝对值$|-4|$，再计算乘除运算，最后计算加减，注意减去负数等价于加对应的正数；
(4) 先计算所有乘方项$(-\dfrac{1}{3})^2$、$5^2$、$(-4)^2$，再计算乘除运算，最后从左到右计算加减即可。
【解析】
(1) 先算乘方：
$(-2)^2 × (-\dfrac{9}{16}) ÷ (-\dfrac{3}{2})^2$
$=4×(-\dfrac{9}{16}) ÷ \dfrac{9}{4}$
再将除法转化为乘法约分：
$=4×(-\dfrac{9}{16}) × \dfrac{4}{9}=-1$
(2) 先算括号内和乘方：
$(-1)×(-4)+2^2÷(7-5)$
$=4+4÷2$
再算除法，最后算加法：
$=4+2=6$
(3) 先算乘方和绝对值：
$-2^4÷(-4)^3 - (-\dfrac{1}{2})^3 × |-4|$
$=-16÷(-64)-(-\dfrac{1}{8}) ×4$
再算乘除：
$=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}$
最后算加法：
$=\dfrac{3}{4}$
(4) 先算乘方：
$-6÷(-\dfrac{1}{3})^2 -5^2 +2×(-4)^2$
$=-6÷\dfrac{1}{9}-25+2×16$
再算乘除：
$=-54-25+32$
最后从左到右算加减：
$=-47$
【答案】
(1)$\boldsymbol{-1}$；(2)$\boldsymbol{6}$；(3)$\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$；(4)$\boldsymbol{-47}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方的运算、绝对值的性质
【点评】
本题属于有理数混合运算的基础题型，重点考察运算顺序的掌握程度，易错点是带负号的乘方符号判断错误、运算顺序颠倒，计算时注意每一步的符号处理即可避免失分。
【难度系数】
0.8
