1. 去分母解一元一次方程
典例1 请将下列解方程$\frac{0.3x - 0.5}{0.2} = \frac{1 - 2x}{3} - 3$的过程补充完整并完成解答.
解:原方程可变形为$\frac{3x - 5}{2} = \frac{1 - 2x}{3} - 3$.
（①），得 $3(3x - 5) = 2(1 - 2x) - 18$.
去括号，得②.
（③），得④.
合并同类项，得⑤.
系数化为1，得⑥.
（其中①③填写变形步骤名称，②④⑤⑥填写变形结果）
请你根据平时解方程的经验，就解此类方程时需要注意的事项提一条合理化的建议.

1. ①去分母 ②$9x - 15 = 2 - 4x - 18$ ③移项 ④$9x + 4x = 2 - 18 + 15$ ⑤$13x = -1$ ⑥$x = -\dfrac{1}{13}$
合理化建议:去分母时,方程中的每一项都要乘分母的最小公倍数,不要漏乘,特别是数字1也要乘(答案不唯一,合理即可).

【分析】
本题考查含小数系数的一元一次方程的解法，解题时先回忆解一元一次方程的标准步骤：先将小数系数化为整数，再去分母（给方程两边同乘所有分母的最小公倍数，每一项都要乘，避免漏乘常数项），之后去括号（运用乘法分配律，注意符号），接着移项（含未知数的项移到等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号），再合并同类项，最后系数化为1得到解，按步骤对应填空即可。
【解析】
1. 原方程已将小数系数化为整数得到$\frac{3x - 5}{2} = \frac{1 - 2x}{3} - 3$，分母2和3的最小公倍数是6，给方程两边同时乘6消去分母，该步骤为①去分母，得到$3(3x - 5) = 2(1 - 2x) - 18$；
2. 去括号，根据乘法分配律展开得：左边$3×3x-3×5=9x-15$，右边$2×1-2×2x-18=2-4x-18$，因此②为$9x - 15 = 2 - 4x - 18$；
3. 接下来将含$x$的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，该步骤为③移项，移项要变号，因此④为$9x + 4x = 2 - 18 + 15$；
4. 合并同类项，左侧$9x+4x=13x$，右侧$2-18+15=-1$，因此⑤为$13x = -1$；
5. 系数化为1，给方程两边同时除以13，因此⑥为$x = -\dfrac{1}{13}$。
合理化建议：去分母时，方程中的每一项都要乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
①去分母 ②$9x - 15 = 2 - 4x - 18$ ③移项 ④$9x + 4x = 2 - 18 + 15$ ⑤$13x = -1$ ⑥$x = -\dfrac{1}{13}$；
建议：去分母时，方程中的每一项都要乘分母的最小公倍数，不要漏乘，特别是常数项也要乘（答案不唯一，合理即可）。
【知识点】
解一元一次方程、去分母、移项
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础题型，重点考察解方程的规范步骤，解题时需注意规避去分母漏乘、移项或去括号时符号出错等常见易错点，熟练掌握基础步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.7

举一反三 解方程：

解 去分母,得 $8x -(x-1)=8-2(3-x).$
去括号,得 $8x-x+1=8-6+2x.$
移项,得 $8x-x-2x=8-6-1.$
合并同类项,得 $5x=1.$
系数化为 1,得 $x=\dfrac{1}{5}.$

【分析】
这是一道含有分母的一元一次方程求解问题，解题思路遵循解含分母一元一次方程的常规步骤：①先找分母4和2的最小公倍数为4，根据等式的性质，方程两边同时乘4去掉分母，注意每一项都要乘4，不能漏乘不含分母的项2x和常数项2；②去括号，注意括号前是负号时，括号内各项都要变号；③移项，将含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；④合并同类项；⑤将未知数系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
解：去分母，得 $8x -(x-1)=8-2(3-x)$
去括号，得 $8x-x+1=8-6+2x$
移项，得 $8x-x-2x=8-6-1$
合并同类项，得 $5x=1$
系数化为 1，得 $x=\dfrac{1}{5}$
【答案】
$x=\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 去分母解一元一次方程
2. 一元一次方程解法
3. 等式的基本性质
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，核心易错点为去分母时漏乘不含分母的项，以及去括号时未正确处理符号，熟练掌握解方程的各步规则即可快速正确求解。
【难度系数】
0.7

2. 利用一元一次方程解决行程问题
典例2 小丽一家三口去野餐.爸爸开车载着野餐垫和野餐篮等,妈妈和小丽骑自行车.他们同时从家出发,匀速前行,爸爸开车的速度是 60 km/h,妈妈和小丽骑自行车的速度为 12 km/h,爸爸比她们早半小时到达目的地,求小丽家到目的地的距离.

解 设小丽家到目的地的距离为$x$ km,
那么爸爸用时$\dfrac{x}{60}$ h,小丽和妈妈用时$\dfrac{x}{12}$ h.
根据“爸爸早到半小时”,列得方程
$\dfrac{x}{12} - \dfrac{x}{60} = \dfrac{1}{2}$,
去分母,得$5x - x = 30$.
合并同类项,得$4x = 30$.
系数化为1,得$x = 7.5$.
答:小丽家到目的地的距离为7.5 km.

【分析】
这是行程类应用题，核心公式为“路程=速度×时间”。本题已知爸爸、妈妈和小丽的行驶速度，以及二者的到达时间差，要求家到目的地的距离。我们可以直接设距离为未知数$x$，分别用$x$表示出爸爸、妈妈和小丽的行驶时间，再根据“妈妈和小丽的用时 - 爸爸的用时 = 半小时（即$\frac{1}{2}$小时）”的等量关系列出一元一次方程，最后按解方程步骤求解即可。
【解析】
设小丽家到目的地的距离为$x$ km，
根据时间=路程÷速度，可得爸爸到达目的地的用时为$\dfrac{x}{60}$ h，妈妈和小丽到达目的地的用时为$\dfrac{x}{12}$ h。
由爸爸比她们早半小时到达，可列方程：
$\dfrac{x}{12} - \dfrac{x}{60} = \dfrac{1}{2}$
去分母（两边同时乘60），得：$5x - x = 30$
合并同类项，得：$4x = 30$
系数化为1，得：$x = 7.5$
答：小丽家到目的地的距离为7.5 km。
【答案】
7.5 km
【知识点】
1.一元一次方程的应用 2.行程问题 3.去分母解方程
【点评】
本题属于基础的行程类应用题，解题关键是准确找到两类人群的行驶时间差这一等量关系，熟练掌握去分母解一元一次方程的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.7

举一反三 交通高峰期间，爸爸开车送小明到学校需20 min. 某天他们没有遇到交通高峰，车速比平时快了18 km/h，用了12 min 就将小明送到学校. 则小明家到学校的距离是().

A.6 km
B.8 km
C.9 km
D.12 km

C

【分析】
本题是行程类一元一次方程应用题，对应去分母解一元一次方程的知识点。解题核心是抓住“小明家到学校的路程固定”这一等量关系：首先将时间单位统一为小时（和速度单位匹配），设平时的车速为未知数，分别用“路程=速度×时间”表示两种情况下的路程，列得含分母的一元一次方程，再通过去分母的方法解方程求出车速，最后计算路程即可。
【解析】
步骤1：统一单位
$20\ \mathrm{min} = \frac{20}{60}\ \mathrm{h} = \frac{1}{3}\ \mathrm{h}$，$12\ \mathrm{min} = \frac{12}{60}\ \mathrm{h} = \frac{1}{5}\ \mathrm{h}$
步骤2：设未知数
设平时爸爸开车的车速为$x$ km/h，则非高峰时车速为$(x+18)$ km/h
步骤3：根据路程相等列方程
因为小明家到学校的距离固定，可得：
$\frac{1}{3}x = \frac{1}{5}(x+18)$
步骤4：去分母解方程
方程两边同时乘以15（3和5的最小公倍数）去分母，得：
$5x = 3(x+18)$
去括号得：$5x = 3x + 54$
移项、合并同类项得：$2x = 54$
系数化为1得：$x = 27$
步骤5：计算路程
小明家到学校的距离为$\frac{1}{3}x = \frac{1}{3}×27 = 9\ \mathrm{km}$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；行程问题公式；去分母解方程
【点评】
本题考查一元一次方程在行程问题中的实际应用，解题的核心是找到路程不变的隐含等量关系，易错点是解题时忽略时间与速度的单位匹配，或去分母时漏乘常数项导致计算错误。
【难度系数】
0.7