1. 如图,在CD上作一点P,使它到OA,OB的距离相等,则点P是().

A.线段CD的中点
B.△OCD的边CD上的高与CD的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.以上答案都不对

1. C

【分析】
要找到CD上到OA、OB距离相等的点P，首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点都在角的平分线上。因此满足“到OA、OB距离相等”的点都在∠AOB的平分线上，同时点P还要在CD上，所以P就是∠AOB的平分线与CD的交点。再逐一排除错误选项：线段CD的中点仅满足到C、D两点距离相等，CD边上的高的交点仅满足连线与CD垂直，均不符合到OA、OB距离相等的要求。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
题目要求点P满足两个条件：①在CD上；②到OA、OB的距离相等。
因此点P必须同时在∠AOB的平分线和线段CD上，即P为CD与∠AOB的平分线的交点。
对选项逐一判断：
A. 线段CD的中点只能保证到C、D两点距离相等，无法保证到OA、OB距离相等，错误；
B. △OCD的边CD上的高与CD的交点，只能保证连线与CD垂直，和到OA、OB距离无关，错误；
C. 符合推导结论，正确。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对不同几何线性质的区分，解题关键是牢记角平分线的性质与判定，不要和线段中点、高线的性质混淆，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8

2. 如图，$PM = PN$，$∠ BOC = 30°$，则$∠ AOB=$。

2. 60°

【分析】
首先观察图形特征，PM⊥OA、PN⊥OB，可知PM、PN是点P到∠AOB两边的距离；结合已知条件PM=PN，回忆角平分线的判定定理，可推出OC是∠AOB的角平分线，即∠AOB=2∠BOC，最后代入已知角度计算即可得到结果。
【解析】
由图可知：$PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，即PM、PN分别是点P到∠AOB两边的距离。
∵$PM=PN$
∴根据角平分线的判定定理，可得OC平分$∠ AOB$，即$∠ AOB=2∠ BOC$
又
∵$∠ BOC=30°$
∴$∠ AOB=2×30°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
角平分线的判定；角的运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线判定定理的应用，解题的关键是结合垂直和线段相等的条件判断出角平分线，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在平面内画∠AOB,在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE,过点D作OD的垂线,过点E作OE的垂线.若两条垂线相交于点P,则点P在∠DOE的平分线上吗?为什么?

3. 解 点P在∠DOE的平分线上，理由:
∵OD⊥PD,OE⊥PE,OD=OE,
∴PO平分∠DPE，即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD,PE⊥OE，
∴90°−∠DPO=90°−∠EPO，即∠DOP=∠EOP，
∴OP为∠DOE的平分线,即点P在∠DOE的平分线上.

【分析】
要判断点P是否在∠DOE的平分线上，根据角平分线的定义，只需证明∠DOP=∠EOP即可。首先从已知条件出发：OD=OE，且PD垂直OD、PE垂直OE，说明点O到∠DPE两边的距离相等，由此可推出PO平分∠DPE，得到∠DPO=∠EPO；再结合直角三角形两锐角互余的性质，利用等角的余角相等即可推出∠DOP=∠EOP，完成证明。
【解析】
点P在∠DOE的平分线上，理由：
∵OD⊥PD，OE⊥PE，OD=OE，
∴PO平分∠DPE，即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD，PE⊥OE，
∴90°−∠DPO=90°−∠EPO，即∠DOP=∠EOP，
∴OP为∠DOE的平分线，即点P在∠DOE的平分线上。
【答案】
点P在∠DOE的平分线上。
【知识点】
角平分线的判定，直角三角形的性质，等角的余角相等
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题，解题核心是明确角平分线的判定条件，结合已知的垂直关系和线段相等条件推导角的等量关系即可，难度不大，注意角平分线判定定理的适用场景。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，$DC = BC$. 求证:点C在$∠ DAB$的平分线上.

4. 证明 如图,作CE垂直AB,CF垂直AD的延长线,垂足分别为E,F，
∴∠BEC=∠DFC=90°.
∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,
∴∠ABC=∠CDF.
在△CBE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC, \\ ∠BEC=∠DFC, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS),
∴FC=EC,
∴点C在∠DAB的平分线上.

【分析】
要证明点C在∠DAB的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到∠DAB的两边AD、AB的距离相等。因此首先过点C作AD延长线的垂线CF、AB的垂线CE，构造出两个直角三角形；再结合∠ADC+∠ABC=180°，利用同角的补角相等可推出∠ABC=∠CDF，结合已知DC=BC，即可证明两个直角三角形全等，得到CF=CE，最终符合角平分线的判定条件。
【解析】
证明：如图，作CE垂直AB，CF垂直AD的延长线，垂足分别为E、F，
∴∠BEC=∠DFC=90°.
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF.
在△CBE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC, \\ ∠BEC=∠DFC, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS),
∴FC=EC,
∴点C在∠DAB的平分线上.
【答案】
证明 如图,作CE垂直AB,CF垂直AD的延长线,垂足分别为E,F，
∴∠BEC=∠DFC=90°.
∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,
∴∠ABC=∠CDF.
在△CBE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC, \\ ∠BEC=∠DFC, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS),
∴FC=EC,
∴点C在∠DAB的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；等角的补角相等
【点评】
本题是几何证明基础题，解题核心是掌握角平分线的判定逻辑，通过构造垂线段辅助线得到全等三角形，结合已知的边角关系完成证明，需要学生熟练掌握全等三角形的判定方法，学会根据证明目标选择合适的辅助线构造方式。
【难度系数】
0.6

5. 如图，在$∠ AOB$的两边$OA$，$OB$上分别取$OM=ON$，$OD=OE$，$DN$和$EM$相交于点$C$. 求证：点$C$在$∠ AOB$的平分线上.

5. 证明 过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F,如图，
在△MOE和△NOD中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠MOE=∠NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
∴△MOE≌△NOD(SAS),
∴S△MOE=S△NOD，
即S△MDC=S△NEC.
∵OM=ON,OD=OE,
∴MD=NE,
∴CG=CF.
∵CG⊥OA,CF⊥OB,
∴点C在∠AOB的平分线上.

【分析】
要证明点C在∠AOB的平分线上，根据角平分线的判定定理，需先证明点C到OA、OB两边的距离相等，因此第一步考虑过C作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，接下来只需证CG=CF即可。已知给出OM=ON、OD=OE，且∠MOE和∠NOD是公共角，可先通过SAS证明△MOE≌△NOD，得到两个三角形面积相等，二者减去公共部分四边形ODCE的面积后，剩余的△MDC和△NEC面积相等；再由OM-OD=ON-OE可得MD=NE，两个三角形等底、面积相等则对应高相等，即CG=CF，满足角平分线的判定条件。
【解析】
1. 作辅助线：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F。
2. 证明△MOE≌△NOD：
在△MOE和△NOD中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠MOE=∠NOD（公共角）, \\ OE=OD, \end{cases}$
∴△MOE≌△NOD（SAS）。
3. 推导面积关系：
全等三角形面积相等，故$S_{△ MOE}=S_{△ NOD}$，两个三角形同时减去公共部分四边形ODCE的面积，可得$S_{△ MDC}=S_{△ NEC}$。
4. 推导MD=NE：
∵OM=ON，OD=OE，
∴OM-OD=ON-OE，即$MD=NE$。
5. 证明CG=CF：
△MDC以MD为底的高为CG，△NEC以NE为底的高为CF，两三角形等底且面积相等，因此对应高相等，即$CG=CF$。
6. 判定角平分线：
∵CG⊥OA，CF⊥OB，且CG=CF，根据角平分线的判定定理，可得点C在∠AOB的平分线上。
【答案】
证明 过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F,如图，
在△MOE和△NOD中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠MOE=∠NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
∴△MOE≌△NOD(SAS),
∴S△MOE=S△NOD，
即S△MDC=S△NEC.
∵OM=ON,OD=OE,
∴MD=NE,
∴CG=CF.
∵CG⊥OA,CF⊥OB,
∴点C在∠AOB的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形面积的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用，解题的核心是通过全等得到面积关系，结合等底三角形的面积与高的对应关系推出距离相等，相比多次证明全等的方法，面积法更为简洁，能有效考查学生对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6