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2.如图，$∠ AOB$是直角，$∠ COD=90°$，$OB$平分$∠ DOE$，则$∠ 3$与$∠ 4$是什么关系？请说明理由.
答案
∠3=∠4.理由如下：
因为∠AOB是直角，∠COD=90°，
所以∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°，
所以∠2=∠3.
因为OB平分∠DOE，
所以∠2=∠4，所以∠3=∠4.
因为∠AOB是直角，∠COD=90°，
所以∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°，
所以∠2=∠3.
因为OB平分∠DOE，
所以∠2=∠4，所以∠3=∠4.
解析
【分析】
要判断∠3和∠4的关系，可通过中间角过渡推导：首先结合两个直角的条件，推导与∠3相等的角；再结合角平分线的条件，推导与该中间角相等的角，最后通过等量代换得到∠3和∠4的关系。
【解析】
∠3=∠4，理由如下：
因为∠AOB是直角，∠COD=90°，
所以∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
根据同角的余角相等，可得∠2=∠3。
又因为OB平分∠DOE，
根据角平分线的定义，可得∠2=∠4，
通过等量代换，可得∠3=∠4。
【答案】
∠3=∠4
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题属于角度关系推导的基础题，解题核心是找到中间过渡的相等角∠2，熟练掌握直角、角平分线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断∠3和∠4的关系，可通过中间角过渡推导：首先结合两个直角的条件，推导与∠3相等的角；再结合角平分线的条件，推导与该中间角相等的角，最后通过等量代换得到∠3和∠4的关系。
【解析】
∠3=∠4，理由如下：
因为∠AOB是直角，∠COD=90°，
所以∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
根据同角的余角相等，可得∠2=∠3。
又因为OB平分∠DOE，
根据角平分线的定义，可得∠2=∠4，
通过等量代换，可得∠3=∠4。
【答案】
∠3=∠4
【知识点】
同角的余角相等；角平分线的定义；等量代换
【点评】
本题属于角度关系推导的基础题，解题核心是找到中间过渡的相等角∠2，熟练掌握直角、角平分线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图,已知点O为直线AB上一点,$∠ BOC=100°,∠ COD=90°,OM$平分$∠ AOC$.
(1)求$∠ MOD$的度数;
(2)若$∠ BOP$与$∠ AOM$互余,求$∠ COP$的度数.
(1)求$∠ MOD$的度数;
(2)若$∠ BOP$与$∠ AOM$互余,求$∠ COP$的度数.
答案
解：
(1) 因为点O为直线AB上一点，所以$∠ AOB=180°$。
已知$∠ BOC=100°$，因此$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 100° = 80°$。
因为OM平分$∠ AOC$，所以$∠ AOM = ∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
又因为$∠ COD=90°$，即$∠ AOD + ∠ AOC = 90°$，可得$∠ AOD = 90° - ∠ AOC = 10°$。
因此$∠ MOD = ∠ AOM + ∠ AOD = 40° + 10° = 50°$。
(2) 因为$∠ BOP$与$∠ AOM$互余，所以$∠ BOP + ∠ AOM = 90°$。
由(1)知$∠ AOM=40°$，因此$∠ BOP = 90° - 40° = 50°$。
又因为$∠ BOC=100°$，所以$∠ COP = ∠ BOC - ∠ BOP = 100° - 50° = 50°$。
答案：(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{50°}$
(1) 因为点O为直线AB上一点，所以$∠ AOB=180°$。
已知$∠ BOC=100°$，因此$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 100° = 80°$。
因为OM平分$∠ AOC$，所以$∠ AOM = ∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
又因为$∠ COD=90°$，即$∠ AOD + ∠ AOC = 90°$，可得$∠ AOD = 90° - ∠ AOC = 10°$。
因此$∠ MOD = ∠ AOM + ∠ AOD = 40° + 10° = 50°$。
(2) 因为$∠ BOP$与$∠ AOM$互余，所以$∠ BOP + ∠ AOM = 90°$。
由(1)知$∠ AOM=40°$，因此$∠ BOP = 90° - 40° = 50°$。
又因为$∠ BOC=100°$，所以$∠ COP = ∠ BOC - ∠ BOP = 100° - 50° = 50°$。
答案：(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】
(1) 求解∠MOD时，首先利用直线上的平角为180°，结合已知的∠BOC先算出∠AOC的度数；再根据角平分线的性质求出∠AOM的度数；接着由∠COD是直角，算出∠AOD的度数；最后将∠AOM和∠AOD相加即可得到∠MOD的度数。
(2) 求解∠COP时，首先根据互余的定义（两个角的和为90°），结合第一问得到的∠AOM的度数算出∠BOP的度数；再用已知的∠BOC减去∠BOP，即可得到∠COP的度数。
【解析】
(1) 因为点O为直线AB上一点，所以$∠ AOB=180°$。
已知$∠ BOC=100°$，因此$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 100° = 80°$。
因为OM平分$∠ AOC$，所以$∠ AOM = ∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
又因为$∠ COD=90°$，即$∠ AOD + ∠ AOC = 90°$，可得$∠ AOD = 90° - ∠ AOC = 90° -80°= 10°$。
因此$∠ MOD = ∠ AOM + ∠ AOD = 40° + 10° = 50°$。
(2) 因为$∠ BOP$与$∠ AOM$互余，所以$∠ BOP + ∠ AOM = 90°$。
由(1)知$∠ AOM=40°$，因此$∠ BOP = 90° - 40° = 50°$。
又因为$∠ BOC=100°$，所以$∠ COP = ∠ BOC - ∠ BOP = 100° - 50° = 50°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{50°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，余角的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是理清图中各角的和差关系，结合对应几何性质逐步推导即可，计算时注意不要混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠MOD时，首先利用直线上的平角为180°，结合已知的∠BOC先算出∠AOC的度数；再根据角平分线的性质求出∠AOM的度数；接着由∠COD是直角，算出∠AOD的度数；最后将∠AOM和∠AOD相加即可得到∠MOD的度数。
(2) 求解∠COP时，首先根据互余的定义（两个角的和为90°），结合第一问得到的∠AOM的度数算出∠BOP的度数；再用已知的∠BOC减去∠BOP，即可得到∠COP的度数。
【解析】
(1) 因为点O为直线AB上一点，所以$∠ AOB=180°$。
已知$∠ BOC=100°$，因此$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 100° = 80°$。
因为OM平分$∠ AOC$，所以$∠ AOM = ∠ COM = \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2} × 80° = 40°$。
又因为$∠ COD=90°$，即$∠ AOD + ∠ AOC = 90°$，可得$∠ AOD = 90° - ∠ AOC = 90° -80°= 10°$。
因此$∠ MOD = ∠ AOM + ∠ AOD = 40° + 10° = 50°$。
(2) 因为$∠ BOP$与$∠ AOM$互余，所以$∠ BOP + ∠ AOM = 90°$。
由(1)知$∠ AOM=40°$，因此$∠ BOP = 90° - 40° = 50°$。
又因为$∠ BOC=100°$，所以$∠ COP = ∠ BOC - ∠ BOP = 100° - 50° = 50°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$；(2) $\boldsymbol{50°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，余角的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是理清图中各角的和差关系，结合对应几何性质逐步推导即可，计算时注意不要混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7
1.若$∠A=40°$,则$∠A$的余角的度数是（
A.$50°$
B.$60°$
C.$140°$
D.$160°$
A
）A.$50°$
B.$60°$
C.$140°$
D.$160°$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆余角的定义：互为余角的两个角的和为90°，要求∠A的余角，只需用90°减去∠A的度数即可，注意不要和补角的定义（和为180°）混淆。
【解析】
根据余角的定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角。
已知∠A=40°，则∠A的余角 = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对余角定义的记忆和应用，解题时注意区分余角和补角的概念，避免概念混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆余角的定义：互为余角的两个角的和为90°，要求∠A的余角，只需用90°减去∠A的度数即可，注意不要和补角的定义（和为180°）混淆。
【解析】
根据余角的定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角。
已知∠A=40°，则∠A的余角 = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°。
所以答案选A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心是对余角定义的记忆和应用，解题时注意区分余角和补角的概念，避免概念混淆导致计算错误。
【难度系数】
0.9
2.若$∠ A=48°$,则$∠ A$的补角的度数为（
A.$42°$
B.$52°$
C.$132°$
D.$142°$
C
）A.$42°$
B.$52°$
C.$132°$
D.$142°$
答案
2. C
解析
【分析】首先回忆补角的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。要求∠A的补角，只需用180°减去∠A的度数，算出结果后匹配对应选项即可得到答案。
【解析】根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°，因此∠A的补角 = 180° - ∠A。
已知∠A=48°，代入计算得：180° - 48° = 132°，对应选项C。
【答案】C
【知识点】补角的定义，角度计算
【点评】本题属于基础题，核心考查对补角概念的掌握，熟记互为补角的两个角和为180°即可快速解题，计算量小，易得分。
【难度系数】0.9
【解析】根据补角的定义，互为补角的两个角之和为180°，因此∠A的补角 = 180° - ∠A。
已知∠A=48°，代入计算得：180° - 48° = 132°，对应选项C。
【答案】C
【知识点】补角的定义，角度计算
【点评】本题属于基础题，核心考查对补角概念的掌握，熟记互为补角的两个角和为180°即可快速解题，计算量小，易得分。
【难度系数】0.9
3.下列各角中,可能与$30°$角互补的角是(
D
) 答案
3. D
解析
【分析】
首先回忆互补角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。解题第一步先计算30°角的补角：用180°减去30°得到补角的度数为150°，150°是钝角（大于90°且小于180°的角是钝角）。接下来观察四个选项的角，判断每个角的类型，选出是钝角的选项即可。
【解析】
根据补角的定义，两个角互为补角则两角之和为180°，因此30°角的补角为：
$180° - 30° = 150°$
$150°$是大于$90°$、小于$180°$的钝角。
观察选项：
A、B中的角都是小于$90°$的锐角，不符合要求；
C中的角是等于$90°$的直角，不符合要求；
D中的角是大于$90°$、小于$180°$的钝角，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义；角的分类与识别
【点评】
本题考查基础的角度计算和角的分类判断，核心是掌握互补角的性质，能准确识别不同类型的角，整体解题难度低。
【难度系数】
0.9
首先回忆互补角的定义：如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角。解题第一步先计算30°角的补角：用180°减去30°得到补角的度数为150°，150°是钝角（大于90°且小于180°的角是钝角）。接下来观察四个选项的角，判断每个角的类型，选出是钝角的选项即可。
【解析】
根据补角的定义，两个角互为补角则两角之和为180°，因此30°角的补角为：
$180° - 30° = 150°$
$150°$是大于$90°$、小于$180°$的钝角。
观察选项：
A、B中的角都是小于$90°$的锐角，不符合要求；
C中的角是等于$90°$的直角，不符合要求；
D中的角是大于$90°$、小于$180°$的钝角，符合要求。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
补角的定义；角的分类与识别
【点评】
本题考查基础的角度计算和角的分类判断，核心是掌握互补角的性质，能准确识别不同类型的角，整体解题难度低。
【难度系数】
0.9
4.已知∠A 的补角为 60°,则∠A=
120
°答案
4. 120
解析
【分析】
首先需要回忆补角的定义：若两个角互为补角，则这两个角的度数之和为180°。题目已知∠A的补角为60°，我们可以根据补角的定义建立等量关系，将已知的补角度数代入关系中，通过简单的减法运算就能求出∠A的度数。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角的和为180°。
由题意可知：$∠ A + 60° = 180°$
计算得：$∠ A = 180° - 60° = 120°$
【答案】
120
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对补角定义的理解和简单的角度计算，牢记补角的和为180°即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先需要回忆补角的定义：若两个角互为补角，则这两个角的度数之和为180°。题目已知∠A的补角为60°，我们可以根据补角的定义建立等量关系，将已知的补角度数代入关系中，通过简单的减法运算就能求出∠A的度数。
【解析】
根据补角的定义，互为补角的两个角的和为180°。
由题意可知：$∠ A + 60° = 180°$
计算得：$∠ A = 180° - 60° = 120°$
【答案】
120
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，主要考查对补角定义的理解和简单的角度计算，牢记补角的和为180°即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5.已知一个角的余角比这个角的补角的$\frac{1}{3}$小$20°$,则这个角的余角的度数是
15°
,补角的度数是105°
.答案
5. 15° 105°
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以先设这个角的度数为未知数，再根据余角、补角的定义分别用含未知数的式子表示出它的余角和补角，最后结合题目给出的等量关系列出一元一次方程，求解得到这个角的度数后，再计算它的余角和补角即可。
【解析】
设这个角的度数为$x°$。
根据余角和补角的定义，这个角的余角为$(90 - x)°$，补角为$(180 - x)°$。
由题意得等量关系：余角 = 补角的$\frac{1}{3}$ - 20°，列方程：
$90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) - 20$
解方程：
两边同时乘3去分母，得：$270 - 3x = 180 - x - 60$
整理右边：$270 - 3x = 120 - x$
移项，得：$-3x + x = 120 - 270$
合并同类项：$-2x = -150$
系数化为1：$x = 75$
则这个角的余角为：$90° - 75° = 15°$
补角为：$180° - 75° = 105°$
【答案】
$15°$；$105°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握余角、补角的概念，准确根据题意找到等量关系列方程求解，注意不要混淆余角和补角的计算方式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以先设这个角的度数为未知数，再根据余角、补角的定义分别用含未知数的式子表示出它的余角和补角，最后结合题目给出的等量关系列出一元一次方程，求解得到这个角的度数后，再计算它的余角和补角即可。
【解析】
设这个角的度数为$x°$。
根据余角和补角的定义，这个角的余角为$(90 - x)°$，补角为$(180 - x)°$。
由题意得等量关系：余角 = 补角的$\frac{1}{3}$ - 20°，列方程：
$90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) - 20$
解方程：
两边同时乘3去分母，得：$270 - 3x = 180 - x - 60$
整理右边：$270 - 3x = 120 - x$
移项，得：$-3x + x = 120 - 270$
合并同类项：$-2x = -150$
系数化为1：$x = 75$
则这个角的余角为：$90° - 75° = 15°$
补角为：$180° - 75° = 105°$
【答案】
$15°$；$105°$
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握余角、补角的概念，准确根据题意找到等量关系列方程求解，注意不要混淆余角和补角的计算方式。
【难度系数】
0.8
6.如图,已知$∠ AOB=90°,∠ BOC=60°$.
(1)求$∠ AOC$的补角的度数;
(2)若$OE$平分$∠ AOB$,$OF$平分$∠ BOC$,求$∠ EOF$的度数.
(1)求$∠ AOC$的补角的度数;
(2)若$OE$平分$∠ AOB$,$OF$平分$∠ BOC$,求$∠ EOF$的度数.
答案
6. 解:(1)30°. (2)75°.
解析
【分析】
(1) 首先结合图形确定∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，先代入已知角度求出∠AOC的度数，再根据补角的定义（互为补角的两个角和为180°），用180°减去∠AOC的度数即可得到其补角的度数。
(2) 先根据角平分线的定义，分别求出∠BOE和∠BOF的度数，再观察图形可知∠EOF是∠BOE与∠BOF的和，将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
(1) 由图可得：$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$
已知$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=60°$，代入得：
$∠ AOC=90°+60°=150°$
根据补角定义，$∠ AOC$的补角为：$180°-∠ AOC=180°-150°=30°$
(2) $\because OE$平分$∠ AOB$
$\therefore ∠ BOE=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$
$\because OF$平分$∠ BOC$
$\therefore ∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$
由图可得：$∠ EOF=∠ BOE+∠ BOF$
代入得：$∠ EOF=45°+30°=75°$
【答案】
(1) $30°$；(2) $75°$
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角运算的基础题，解题的核心是结合图形理清各个角之间的数量关系，熟练掌握补角和角平分线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 首先结合图形确定∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，先代入已知角度求出∠AOC的度数，再根据补角的定义（互为补角的两个角和为180°），用180°减去∠AOC的度数即可得到其补角的度数。
(2) 先根据角平分线的定义，分别求出∠BOE和∠BOF的度数，再观察图形可知∠EOF是∠BOE与∠BOF的和，将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
(1) 由图可得：$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$
已知$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=60°$，代入得：
$∠ AOC=90°+60°=150°$
根据补角定义，$∠ AOC$的补角为：$180°-∠ AOC=180°-150°=30°$
(2) $\because OE$平分$∠ AOB$
$\therefore ∠ BOE=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$
$\because OF$平分$∠ BOC$
$\therefore ∠ BOF=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$
由图可得：$∠ EOF=∠ BOE+∠ BOF$
代入得：$∠ EOF=45°+30°=75°$
【答案】
(1) $30°$；(2) $75°$
【知识点】
补角的定义；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角运算的基础题，解题的核心是结合图形理清各个角之间的数量关系，熟练掌握补角和角平分线的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
