12.若$∠α$与$∠β$互补，且$∠α＞∠β$，给出下列式子：①$90° - ∠β$；②$∠α - 90°$；③$180° - ∠α$；④$\frac{1}{2}(∠α - ∠β)$。其中是$∠β$的余角的是（）。

A.①②
B.①②④
C.①②③
D.①②③④

12. B

【分析】
要判断哪些式子是∠β的余角，首先明确余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，即∠β的余角满足“式子 + ∠β = 90°”。首先根据∠α与∠β互补的条件，得到∠α + ∠β = 180°，再将四个式子分别代入验证，判断是否满足余角的定义即可。
【解析】
已知∠α与∠β互补，根据补角的定义可得：
$∠α + ∠β = 180°$，且$∠α ＞ ∠β$。
根据余角定义，$∠β$的余角为$90° - ∠β$，因此逐个验证：
1. 式子①：$90° - ∠β$，直接符合余角定义，是$∠β$的余角；
2. 式子②：将$∠α = 180° - ∠β$代入得，$∠α - 90° = (180° - ∠β) - 90° = 90° - ∠β$，是$∠β$的余角；
3. 式子③：$180° - ∠α = ∠β$，$∠β + ∠β = 2∠β$，只有当$∠β = 45°$时才等于90°，不具有普遍性，不是$∠β$的余角；
4. 式子④：将$∠α = 180° - ∠β$代入得，$\frac{1}{2}(∠α - ∠β) = \frac{1}{2}[(180° - ∠β) - ∠β] = \frac{1}{2}(180° - 2∠β) = 90° - ∠β$，且$∠α ＞ ∠β$，故结果为正，是$∠β$的余角。
综上，①②④是$∠β$的余角。
【答案】
B
【知识点】
余角的定义；补角的定义；角度运算
【点评】
本题考查余角、补角定义的灵活应用，解题的核心是利用互补关系将∠α用∠β代换，再通过代数化简验证式子是否满足余角的判定条件，注意结合已知的角度大小关系保证余角的合理性。
【难度系数】
0.7

13.将一副三角尺的直角顶点C叠放在一起.
【观察分析】
(1)如图 1,①若$∠ DCE = 35°$,则$∠ ACB =$ $°$;
②若$∠ ACB = 150°$,则$∠ DCE =$ $°$.

【猜想探究】
(2)如图 1,请你猜想$∠ ACB$与$∠ DCE$有何关系,并说明理由.
【拓展应用】
(3)如图 2,若将两个同样的三角尺的$60°$角的顶点A重合在一起,请你猜想$∠ DAB$与$∠ EAC$有何关系,并说明理由.

(4)如图 3,如果把任意两个锐角$∠ AOB$,$∠ COD$的顶点O重合在一起,已知$∠ AOB = α$,$∠ COD = β$($α$,$β$都是锐角),请你写出$∠ AOD$与$∠ BOC$的关系,并说明理由.

13. 解:(1)①因为∠ACD=90°,∠DCE=35°,
所以∠ACE=90°−35°=55°.
又∠BCE=90°,所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=55°+90°=145°.
故答案为:145
②因为∠BCE=90°,
所以∠ACE=150°−90°=60°.
又∠ACD=90°,
所以∠DCE=90°−60°=30°.
故答案为:30
(2)∠ACB与∠DCE互补.理由如下.
因为∠ACE+∠DCE=90°,
∠DCE+∠DCB=90°,
所以∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCB=180°.
因为∠ACE+∠DCE+∠DCB=∠ACB,
所以∠ACB+∠DCE=180°,即∠ACB与∠DCE互补.
(3)∠DAB+∠EAC=120°.理由如下.
因为∠DAE+∠EAC=60°,
∠EAC+∠CAB=60°,
所以∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°.
因为∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB,
所以∠DAB+∠EAC=120°.
(4)因为∠AOD=∠DOC+∠COA=β+∠COA,
所以∠AOD+∠BOC=β+∠COA+∠BOC=β+∠AOB=α+β.
故∠AOD+∠BOC=α+β.

【分析】
本题围绕角的叠放情境展开，解题思路如下：
1. 解决(1)的两个小问时，先明确三角尺的∠ACD、∠BCE均为90°，要求∠ACB或∠DCE，只需将所求角拆分为已知小角的和差，结合已知角度逐步计算即可。
2. 解决(2)的猜想问题时，可将∠ACB拆分为∠ACE+∠DCE+∠DCB，结合两个直角的和为180°，整理即可得到∠ACB与∠DCE的关系。
3. 解决(3)的问题时，类比(2)的思路，利用两个三角尺的60°角和为120°，拆分∠DAB即可推导关系。
4. 解决(4)的推广问题时，同样沿用拆分角的思路，将∠AOD拆分为∠COD+∠COA，再加上∠BOC即可凑出∠AOB与∠COD的和，得到通用关系。
【解析】
(1)①
∵∠ACD=90°，∠DCE=35°，
∴∠ACE=90°−35°=55°，
又
∵∠BCE=90°，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=55°+90°=145°。
②
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=150°−90°=60°，
又
∵∠ACD=90°，
∴∠DCE=90°−60°=30°。
(2)∠ACB与∠DCE互补，理由如下：
∵∠ACE+∠DCE=90°，∠DCE+∠DCB=90°，
∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCB=180°，
又
∵∠ACE+∠DCE+∠DCB=∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE=180°，即∠ACB与∠DCE互补。
(3)∠DAB+∠EAC=120°，理由如下：
∵∠DAE+∠EAC=60°，∠EAC+∠CAB=60°，
∴∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°，
又
∵∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB，
∴∠DAB+∠EAC=120°。
(4)∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：
∵∠AOD=∠DOC+∠COA=β+∠COA，
∴∠AOD+∠BOC=β+∠COA+∠BOC=β+∠AOB=α+β。
【答案】
(1)①$\boxed{145}$；②$\boxed{30}$
(2)$\boxed{∠ACB+∠DCE=180°}$（或∠ACB与∠DCE互补）
(3)$\boxed{∠DAB+∠EAC=120°}$
(4)$\boxed{∠AOD+∠BOC=α+β}$
【知识点】
角的和差计算，补角的定义，角的数量关系探究
【点评】
本题以三角尺叠放为切入点，遵循从特殊到一般的探究逻辑，既考查了角的基本运算能力，也注重对推理归纳能力的检验，解题核心是准确拆分组合角，结合已知固定角的度数推导待求角的关系。
【难度系数】
0.7