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跟踪练习4 某小组8名同学参加一次知识竞赛，共答10道题，每题分值相同，每题答对得分，答错或不答扣分，各同学的得分情况见下表.
(1)如果答对的题数为$m$道($m$在1～10，且为整数)，用含$m$的代数式表示得分.
(2)在什么情况下得分为零分？在什么情况下得分为负分？
(1)如果答对的题数为$m$道($m$在1～10，且为整数)，用含$m$的代数式表示得分.
(2)在什么情况下得分为零分？在什么情况下得分为负分？
答案
(1)由6号同学的得分情况知，每答对一题得$\frac{100}{10}=10$(分).
设答错或不答每题扣x分，
那么从1号同学的得分情况，
可列方程为$8×10-2x=70$.
解得$x=5$.
所以答错或不答每题扣5分.
如果答对的题数为m，那么得分为$10m-5(10-m)$，即$15m-50$.
(2)如果得分为零分，那么解方程$15m-50=0$，得$m=\frac{10}{3}$.因为m为整数，所以在任何情况下都不可能得零分.
因为答对题数越少得分越少，所以当答对题数小于$\frac{10}{3}$，即答对题数为0,1,2,3时，得分为负分.
设答错或不答每题扣x分，
那么从1号同学的得分情况，
可列方程为$8×10-2x=70$.
解得$x=5$.
所以答错或不答每题扣5分.
如果答对的题数为m，那么得分为$10m-5(10-m)$，即$15m-50$.
(2)如果得分为零分，那么解方程$15m-50=0$，得$m=\frac{10}{3}$.因为m为整数，所以在任何情况下都不可能得零分.
因为答对题数越少得分越少，所以当答对题数小于$\frac{10}{3}$，即答对题数为0,1,2,3时，得分为负分.
解析
【分析】
解题时先从表格提取关键信息：首先看全对的6号同学得分，可直接算出答对单题的分值；再选有错题的同学得分数据，列方程求出答错或不答单题的扣分值；之后根据“总得分=答对总得分-答错/不答总扣分”就能写出对应代数式。第二问求零分就让代数式等于0解方程，结合m是整数的条件判断是否存在零分情况；求负分就让代数式小于0，结合m的整数取值范围即可得到结果。
【解析】
(1) 由学号6的同学答对10题得100分，可得答对1题的分值为：$\frac{100}{10}=10$分。
设答错或不答每题扣$x$分，根据1号同学得分情况列方程：
$8×10 - 2x =70$
解得：
$80-2x=70$
$2x=10$
$x=5$
即答错或不答每题扣5分。
若答对题数为$m$道，则答错或不答题数为$(10-m)$道，总得分：
$10m -5(10-m)=15m-50$
(2) 若得分为零分，令$15m-50=0$，解得$m=\frac{10}{3}$。
由于$m$是1~10之间的整数，$\frac{10}{3}$不是整数，因此不存在得零分的情况。
若得分为负分，即$15m-50＜0$，解得$m＜\frac{10}{3}$。
结合$m$为非负整数，可得$m=0、1、2、3$时得分为负分。
【答案】
(1) $\boxed{15m-50}$
(2) 任何情况都不可能得零分；当答对题数为0道、1道、2道或3道时，得分为负分。
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，不等式简单应用
【点评】
本题结合实际计分场景，考查了信息提取、方程求解以及结合实际条件分析问题的能力，解题时要注意答对题数$m$为整数这一隐含条件，避免得出不符合实际的结论。
【难度系数】
0.7
解题时先从表格提取关键信息：首先看全对的6号同学得分，可直接算出答对单题的分值；再选有错题的同学得分数据，列方程求出答错或不答单题的扣分值；之后根据“总得分=答对总得分-答错/不答总扣分”就能写出对应代数式。第二问求零分就让代数式等于0解方程，结合m是整数的条件判断是否存在零分情况；求负分就让代数式小于0，结合m的整数取值范围即可得到结果。
【解析】
(1) 由学号6的同学答对10题得100分，可得答对1题的分值为：$\frac{100}{10}=10$分。
设答错或不答每题扣$x$分，根据1号同学得分情况列方程：
$8×10 - 2x =70$
解得：
$80-2x=70$
$2x=10$
$x=5$
即答错或不答每题扣5分。
若答对题数为$m$道，则答错或不答题数为$(10-m)$道，总得分：
$10m -5(10-m)=15m-50$
(2) 若得分为零分，令$15m-50=0$，解得$m=\frac{10}{3}$。
由于$m$是1~10之间的整数，$\frac{10}{3}$不是整数，因此不存在得零分的情况。
若得分为负分，即$15m-50＜0$，解得$m＜\frac{10}{3}$。
结合$m$为非负整数，可得$m=0、1、2、3$时得分为负分。
【答案】
(1) $\boxed{15m-50}$
(2) 任何情况都不可能得零分；当答对题数为0道、1道、2道或3道时，得分为负分。
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，不等式简单应用
【点评】
本题结合实际计分场景，考查了信息提取、方程求解以及结合实际条件分析问题的能力，解题时要注意答对题数$m$为整数这一隐含条件，避免得出不符合实际的结论。
【难度系数】
0.7
【例5】 A,B两店以同样价格出售一种商品,并推出不同的优惠方案:在A店累计购物超过100元后,超出100元的部分打九折;在B店累计购物超过50元后,超出50元的部分打九五折.顾客到两店购物花费一样时,消费情况为(
A.累计购物超过100元
B.累计购物不超过50元或刚好为150元
C.累计购物不超过50元
D.累计购物超过50元但不超过100元
总结 解决方案决策问题的一般步骤:
①根据分析设未知数,列出各种方案的代数式;
②根据问题中的等量关系,列出有关方案的方程并解方程;
③分别取大于、小于方程解的两个数作比较,在两种情况下有何结论,以此作为解决问题的依据;
④根据上面的结论作出决策,选择最优方案.
B
).A.累计购物超过100元
B.累计购物不超过50元或刚好为150元
C.累计购物不超过50元
D.累计购物超过50元但不超过100元
总结 解决方案决策问题的一般步骤:
①根据分析设未知数,列出各种方案的代数式;
②根据问题中的等量关系,列出有关方案的方程并解方程;
③分别取大于、小于方程解的两个数作比较,在两种情况下有何结论,以此作为解决问题的依据;
④根据上面的结论作出决策,选择最优方案.
答案
B
解析
【分析】
本题为分段优惠的方案决策类问题，解题需先根据两家店的优惠门槛（50元、100元）划分三个消费金额区间分类讨论：①累计消费不超过50元；②累计消费超过50元但不超过100元；③累计消费超过100元。分别在每个区间内表示出A、B两店的购物花费，再令两店花费相等列方程求解，最后验证解是否符合对应区间的取值要求即可。
【解析】
设顾客累计购物金额为$ x $元时，两店购物花费一样。
1. 当$ x ≤ 50 $时，A、B两店均未达到优惠门槛，均按原价收费，两店花费都为$ x $元，此时花费相等，符合要求。
2. 当$ 50 ＜ x ≤ 100 $时，A店未到优惠门槛，花费为$ x $元；B店超出50元部分打九五折，花费为$ 50 + 0.95(x-50) $元。
令两店花费相等：
$ x = 50 + 0.95(x-50) $
解得$ x=50 $，不符合$ 50 ＜ x ≤ 100 $的区间要求，故该区间内不存在符合条件的$ x $。
3. 当$ x ＞ 100 $时，A店超出100元部分打九折，花费为$ 100 + 0.9(x-100) $元；B店花费为$ 50 + 0.95(x-50) $元。
令两店花费相等：
$ 100 + 0.9(x-100) = 50 + 0.95(x-50) $
展开化简：$ 0.9x + 10 = 0.95x + 2.5 $
移项计算：$ 0.05x = 7.5 $
解得$ x=150 $，符合$ x＞100 $的区间要求，有效。
综上，累计购物不超过50元或刚好为150元时，两店购物花费一样。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的实际应用；分段计费问题；方案决策问题
【点评】
本题是典型的分段优惠类应用题，解题核心是按优惠分界点划分区间分类讨论，避免漏解；求出方程的解后要注意验证是否符合对应区间的取值范围，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
本题为分段优惠的方案决策类问题，解题需先根据两家店的优惠门槛（50元、100元）划分三个消费金额区间分类讨论：①累计消费不超过50元；②累计消费超过50元但不超过100元；③累计消费超过100元。分别在每个区间内表示出A、B两店的购物花费，再令两店花费相等列方程求解，最后验证解是否符合对应区间的取值要求即可。
【解析】
设顾客累计购物金额为$ x $元时，两店购物花费一样。
1. 当$ x ≤ 50 $时，A、B两店均未达到优惠门槛，均按原价收费，两店花费都为$ x $元，此时花费相等，符合要求。
2. 当$ 50 ＜ x ≤ 100 $时，A店未到优惠门槛，花费为$ x $元；B店超出50元部分打九五折，花费为$ 50 + 0.95(x-50) $元。
令两店花费相等：
$ x = 50 + 0.95(x-50) $
解得$ x=50 $，不符合$ 50 ＜ x ≤ 100 $的区间要求，故该区间内不存在符合条件的$ x $。
3. 当$ x ＞ 100 $时，A店超出100元部分打九折，花费为$ 100 + 0.9(x-100) $元；B店花费为$ 50 + 0.95(x-50) $元。
令两店花费相等：
$ 100 + 0.9(x-100) = 50 + 0.95(x-50) $
展开化简：$ 0.9x + 10 = 0.95x + 2.5 $
移项计算：$ 0.05x = 7.5 $
解得$ x=150 $，符合$ x＞100 $的区间要求，有效。
综上，累计购物不超过50元或刚好为150元时，两店购物花费一样。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的实际应用；分段计费问题；方案决策问题
【点评】
本题是典型的分段优惠类应用题，解题核心是按优惠分界点划分区间分类讨论，避免漏解；求出方程的解后要注意验证是否符合对应区间的取值范围，排除不符合题意的解。
【难度系数】
0.6
● 跟踪练习5 某校计划购买20个书柜和一批书架，现从A，B两家商场了解到：同型号的产品价格相同，书柜每个210元，书架每个70元.A商场的优惠方案为每买一个书柜赠送一个书架，B商场的优惠方案为所有商品打八折出售.设该校购买$ x(x＞20) $个书架.
(1)若该校到同一家商场选购所有书柜和书架，则到A商场和B商场需分别准备多少元货款(用含$ x $的式子表示)？
(2)若规定只能到其中一家商场购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样？
(3)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家商场自由选购，则至少需准备多少元货款？请说明理由.
(1)若该校到同一家商场选购所有书柜和书架，则到A商场和B商场需分别准备多少元货款(用含$ x $的式子表示)？
(2)若规定只能到其中一家商场购买所有书柜和书架，当购买多少个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样？
(3)若该校想购买20个书柜和100个书架，且可到两家商场自由选购，则至少需准备多少元货款？请说明理由.
答案
(1)根据题意，到A商场购买需准备货款$20×210+70(x-20)=(70x+2800)$元.
到B商场购买需准备货款$0.8×(20×210+70x)=(56x+3360)$元.
(2)由题意，列得方程$70x+2800=56x+3360$，解得$x=40$.
答：当购买40个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样.
(3)8 680元.理由如下.
因为A商场的优惠方案为买一个书柜赠送一个书架，相当于打七五折；B商场的优惠方案为所有商品打八折，
所以应该到A商场购买20个书柜，获赠20个书架，再到B商场购买80个书架.
所需货款为$20×210+70×80×0.8=8680$(元).
所以至少需准备8 680元货款.
到B商场购买需准备货款$0.8×(20×210+70x)=(56x+3360)$元.
(2)由题意，列得方程$70x+2800=56x+3360$，解得$x=40$.
答：当购买40个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样.
(3)8 680元.理由如下.
因为A商场的优惠方案为买一个书柜赠送一个书架，相当于打七五折；B商场的优惠方案为所有商品打八折，
所以应该到A商场购买20个书柜，获赠20个书架，再到B商场购买80个书架.
所需货款为$20×210+70×80×0.8=8680$(元).
所以至少需准备8 680元货款.
解析
【分析】
(1) 先梳理两个商场的优惠规则：A商场每买1个书柜赠送1个书架，买20个书柜可获赠20个书架，因此购买$x(x＞20)$个书架时，仅需额外支付$(x-20)$个书架的费用，加上20个书柜的总价即可得到A商场总货款；B商场所有商品打八折，先计算20个书柜和$x$个书架的原价总和，再乘0.8即可得到B商场总货款，分别整理为含$x$的代数式即可。
(2) 要求两家商场货款相等，只需令(1)中得到的两个代数式相等，建立一元一次方程，解方程求出$x$的值即可。
(3) 对比优惠力度：A商场买书柜赠书架的优惠比B商场全场八折力度更大，因此优先到A商场购买20个书柜，获赠20个书架，剩余所需书架到B商场购买八折商品更划算，代入计算即可得到最低货款。
【解析】
(1) 到A商场购买的总货款：
20个书柜费用为$20×210$元，赠送20个书架，还需购买$(x-20)$个书架，费用为$70(x-20)$元，因此总费用为：
$20×210 + 70(x-20) = 4200 + 70x - 1400 = 70x + 2800$（元）
到B商场购买的总货款：
20个书柜和$x$个书架原价总和为$(20×210 + 70x)$元，打八折后总费用为：
$0.8×(20×210 + 70x) = 0.8×(4200 + 70x) = 56x + 3360$（元）
(2) 令两家商场货款相等，列方程：
$70x + 2800 = 56x + 3360$
移项得：$70x - 56x = 3360 - 2800$
合并同类项得：$14x = 560$
解得：$x = 40$
答：当购买40个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样。
(3) 至少需准备8680元货款，理由如下：
A商场买书柜赠书架的优惠力度大于B商场全场八折，因此优先到A商场购买20个书柜，获赠20个书架，剩余需要的$100-20=80$个书架到B商场购买八折商品更划算。
总费用为：$20×210 + 70×80×0.8 = 4200 + 4480 = 8680$（元）
【答案】
(1) 到A商场需准备$\boldsymbol{(70x+2800)}$元，到B商场需准备$\boldsymbol{(56x+3360)}$元；
(2) $\boldsymbol{40}$个；
(3) $\boldsymbol{8680}$元。
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，方案优化
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景出题，既考查了代数式列写、一元一次方程求解的基础能力，也需要结合优惠规则灵活选择最优购买方案，贴近生活实际，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 先梳理两个商场的优惠规则：A商场每买1个书柜赠送1个书架，买20个书柜可获赠20个书架，因此购买$x(x＞20)$个书架时，仅需额外支付$(x-20)$个书架的费用，加上20个书柜的总价即可得到A商场总货款；B商场所有商品打八折，先计算20个书柜和$x$个书架的原价总和，再乘0.8即可得到B商场总货款，分别整理为含$x$的代数式即可。
(2) 要求两家商场货款相等，只需令(1)中得到的两个代数式相等，建立一元一次方程，解方程求出$x$的值即可。
(3) 对比优惠力度：A商场买书柜赠书架的优惠比B商场全场八折力度更大，因此优先到A商场购买20个书柜，获赠20个书架，剩余所需书架到B商场购买八折商品更划算，代入计算即可得到最低货款。
【解析】
(1) 到A商场购买的总货款：
20个书柜费用为$20×210$元，赠送20个书架，还需购买$(x-20)$个书架，费用为$70(x-20)$元，因此总费用为：
$20×210 + 70(x-20) = 4200 + 70x - 1400 = 70x + 2800$（元）
到B商场购买的总货款：
20个书柜和$x$个书架原价总和为$(20×210 + 70x)$元，打八折后总费用为：
$0.8×(20×210 + 70x) = 0.8×(4200 + 70x) = 56x + 3360$（元）
(2) 令两家商场货款相等，列方程：
$70x + 2800 = 56x + 3360$
移项得：$70x - 56x = 3360 - 2800$
合并同类项得：$14x = 560$
解得：$x = 40$
答：当购买40个书架时，无论到哪家商场购买所付货款都一样。
(3) 至少需准备8680元货款，理由如下：
A商场买书柜赠书架的优惠力度大于B商场全场八折，因此优先到A商场购买20个书柜，获赠20个书架，剩余需要的$100-20=80$个书架到B商场购买八折商品更划算。
总费用为：$20×210 + 70×80×0.8 = 4200 + 4480 = 8680$（元）
【答案】
(1) 到A商场需准备$\boldsymbol{(70x+2800)}$元，到B商场需准备$\boldsymbol{(56x+3360)}$元；
(2) $\boldsymbol{40}$个；
(3) $\boldsymbol{8680}$元。
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，方案优化
【点评】
本题结合生活中购物优惠的实际场景出题，既考查了代数式列写、一元一次方程求解的基础能力，也需要结合优惠规则灵活选择最优购买方案，贴近生活实际，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
